复变函数：第5章留数2ppt课件

1、第第4章级数章级数本章的学习目标了解幂级数的概念;会求泰勒级数;会把函数在展开成幂级数;知道幂级数和罗伦级数的区别与联系;会求函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数.4.1 幂级数幂级数4.1.1幂级数的概念 同实变函数一样,关于幂级数也有:1.收敛圆与收敛半径2.级数在其收敛圆内有如下性质:1)可以逐项求导.2)可以逐项积分.3)在收敛圆内, 幂级数的和函数是解析函数.例例1求求 的收敛半径的收敛半径(并讨论在收敛圆并讨论在收敛圆周上的情形周上的情形)解: 因为所以, 收敛半径即原级数在圆内 收敛,在圆外发散. 在圆周 上,原级数收敛, 所以原级数在收敛圆内和收敛圆周上处处收敛.132nnz11

2、limlim31nnCCnnnn1R1z1z233111nnznn4.1.2泰勒级数泰勒级数l我们经常利用泰勒展开式的唯一性及幂级数的运算和性质(级数在其收敛圆内可以逐项求导,可以逐项积分)来把函数展开成幂级数,即利用间接的方法, 把函数展开成幂级数.4.1.2泰勒级数泰勒级数l 定理一 若函数 在圆盘 内解析,那么 在该圆盘内可展成的幂级数,这种展式是唯一的,且为l (4.1.3)l 或l 其中l 这个公式(4.1.3) 称为 在 的泰勒展开式, 它的右端称为 在 的泰勒级数, 称为泰勒系数. zfRzz0 zf nnzzczzczzcczf0202010 nnnzzczf00 ., 2 ,

3、 1 , 0,!0nnzfcnn zf zf0z0z0,1,2,ncn 利用泰勒展开式利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系我们可以直接通过计算系数数,把函数展开成幂级数把函数展开成幂级数. (4.1.4) (4.1.5) (4.1.6) (4.1.7)!21! 4! 21cos242nzzzznn! 3! 2132nzzzzenz!121! 5! 3sin1253nzzzzznnnnzzzz11112RRR1Rl1. 只要函数 在圆盘 内解析, 就可在 展开成泰勒级数;l2. 此时泰勒级数, 泰勒展开式, 的幂级数为同意语;l3. 假设 在 平面内处处解析,那么;l4. 假设 只在区域 内解

4、析, 为内 的一点, 那么 在 的泰勒展开式的收敛半径 等于 到的 边界上各点的最短距离;l5. 假设 在 平面上除若干孤立奇点外内处处解析,那么 等于 到最近的孤立奇点的距离.0z zf zf zf zf zf zfRzz00z0z0z0z0z0zz zzRDDDRR例例2把函数把函数 展开成展开成 的幂级数的幂级数 l解: 函数 在 内处处解析, l由公式(4.1.7)l把上式两边逐项求导,即得所求的展开式211z211zz1z1,11112zzzzznn. 1nzzzzznn罗伦级数罗伦级数 定理二 设函数 在圆环域 ,内处处解析,那末 (4.2.1)其中 (4

5、.2.2) zf201RzzR nnnzzczf0 , 2, 1, 0,2110ndzficcnn4.2 罗伦级数罗伦级数l幂级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域: 内的罗伦级数也具有.l1.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项求导,l2.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分,l3.在收敛圆环域内的罗伦级数的和函数是解析函数 201RzzR求罗伦展开式的系数求罗伦展开式的系数l罗伦展开式的系数 用公式(4.2.2)计算是很麻烦的,由罗伦级数的唯一性,我们可用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法展开,这样往往必将便利(即间接展开法).l同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不

6、同; 由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同. ncnc例例3把函数把函数 展开成展开成 的级数的级数 解: 因为所以 zezzf13z! 3! 2132nzzzzenz .0,! 51! 41! 31! 2! 31! 211122332313zzzzzzzzzzezzfz例例4把函数把函数 在收敛圆环域在收敛圆环域 内展开成罗伦级数内展开成罗伦级数.解: 因为所以, .222212121121213322nnzzzzzz 211zzzf10 z zzzzzf2111211,11132nzzzzz nzzzzzf321nnzzzz222212133222137

7、248zz10 z例例5把函数把函数 在收敛圆环域在收敛圆环域 内展开成罗伦级数内展开成罗伦级数.解: 因为所以, .222212121121213322nnzzzzzz 211zzzfnnzzzz2222121332221 z zzzzzzzzf211111211121121111111111zzzzzz 21111zzzzf842111121zzzzznn21 z例例5把函数把函数 在收敛圆环域在收敛圆环域 内展开成罗伦级数内展开成罗伦级数.解: 因为所以, 21111111111zzzzzz24211211121zzzzzz 211zzzf 21111zzzzf z2 zzzzzzzzzf21