多元复合函数与隐函数求导ppt课件

1、第四节第四节 多元复合函数多元复合函数与隐函数求导与隐函数求导一、多元复合函数的求导法则二、隐函数的微分法一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。设函数设函数 ，)v , u( fz=而而u，v又都是又都是x，y的函数的函数),y, x(v),y, x(u=于是于是)y,x(),y,x(fz=是是 和和 复合而成的复合复合而成的复合函数，其中函数，其中u和和v为中间变量。为中间变量。)v , u( fz=)y, x(v),y, x(u=关于这个复合函数的导数我们有如下的定理：关于这个复合函数的导数我们有

2、如下的定理： 定理定理1：设函数：设函数 在点在点(x,y)处处有偏导数，有偏导数， 在相应的点在相应的点(u,v)处有连续的偏导处有连续的偏导数，则复合函数数，则复合函数 在点在点(x,y)处有偏导数，其满足：处有偏导数，其满足：)y, x(v),y, x(u=)v , u( fz=)y,x(),y,x(fz=yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz+=+= 设自变量设自变量x有一改变量有一改变量x,则相应地，则相应地，u和和v有改有改变量变量)y, x()y, xx(v)y, x()y, xx(u+=+=证明：证明： 只证第一个公式，第二个可同理证明。只证第一个公式，第二个可同理证明。函数

3、函数 在相应点在相应点(u,v)处相应于处相应于x的全增量的全增量)v , u( fz=)v ,u(f)vv ,uu(fz+=由于由于 有连续的偏导数，所以有连续的偏导数，所以)v , u( fz=)(vvzuuz)v ,u( f)vv ,uu( fz+ + =+=其中其中22)v()u(+=上式两边同除以上式两边同除以 得得xx)(xvvzxuuzxz+=当当 时，时，0 x xvxv,xuxu而而x)v()u()(x)(x)(22+=这样，就有这样，就有2222)xv()xu(x)v()u(,0)(+所以所以0 x)(因而必有因而必有xvvzxuuzxz+=yvvzyuuzyz+=成立。成

4、立。同理可证同理可证多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则。多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则。例例1 设函数设函数.yz,xz,2y-3xv ,yxu, vsinuz2=求求其中其中解：解：vcosu3vsinuy23vcosuy1vsinu2xvvzxuuzxz22+=+=+=)y2x3cos(yx3)y2x3sin(yx222+=-)2(vcosu)yx(vsinu2yvvzyuuzyz22+=+=-)y2x3(coxyx2)y2x3sin(yx22232=-对于具有三个中间变量的函数对于具有三个中间变量的函数),w, v ,u(fz =u，v，w分别是分别是x，y的

5、函数，有的函数，有其中其中xwwzxvvzxuuzxz+=ywwzyvvzyuuzyz解：解：令令22yxw, yx3v,xyu+=-例例2 设函数设函数xz),yxsin()yx3cos(ez22xy+=求求-那那么么wsinvcosezu=所以所以x2wcosvcose3wsin)vsin(ewysinvcosexwwzxvvzxuuzxzuuu+=+=-wcosvcosxe2wsinvsine3wsinvcosyeuuu+=-)yxcos()yx3cos(xe2)yxsin()yx3sin(e3)yxsin()y2x3cos(ye22xy22xy22xy+=-yz当然我们同理也可求当然我

6、们同理也可求得得yz下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导：下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导：（1）),t (v),t (u),v ,u(fz=那那么么dtdvvzdtduuzdtdz+=称之为全导数。称之为全导数。例例3 设函数设函数dtdz,eztcostsin2求全导数求全导数=解：解：令令vu2ez,costv,sintu=则则tsinetsintcos2e3tcostsin2tcostsin22=-故故)sint(eucost2uvedtdvvzdtduuzdtdzvu2vu22+=+=-)tsint2sintcos(e32tcostsin2=-（2）则则其其中中),y, x(

7、v),x(u),v ,u( fz=yvvzyzxvvzdxduuzxz=+=例例4 设函数设函数yz,xz),xyxln(tanz+=求求解：解：令令故故则则).vu(lnz,xyv,tanxu+=yvu1xsecvu1xvvzdxduuzxz2+=+=xytanxxsecy2+=xytanxxxvu1yvvzyz（3抽象函数的求导方法及记号抽象函数的求导方法及记号例例5 设设具具有有一一阶阶f),yxsin(,e ,yx(fzxy22+=连续偏导数，求连续偏导数，求yz,xz-那那么么)w, v ,u( fz =于是于是xwwzxvvzxuuzxz+=)yxcos(feyfx2fwxyvu+

8、=)yxcos(ffyefx2wvxyu+=解：解：),yx(sinw,ev,yxuxy22+=令令-ywwzyvvzyuuzyz+=)yxcos(ffxefy2wvxyu+=-)yxcos(fexf)y2(fwxyvu+=-例例6.yz,xz),y, x(u),u , x(fz=求求设设解：解：x)y, x(ffxuuzx)u , x( fxzux+=+=y)y, x(fyux)u , x( fyzu=注意：注意：上式中的上式中的 与与 不是一个概念。不是一个概念。xzxf例例7 设设yz,xz,y5x2u),u , x(fz23=求求-解：解：u2xfx6)u , x(fxuuzx)u ,

9、 x( fxz+=+=uf y10yux)u , x( fyz=-例例8 设设xz),xy,yx(xyfz=求求解：解：)xy,yx( fxxy)xy,yx(yf)xy,yx(xyfxxz+=)xy(x)xy,yx(f)yx(x)xy,yx(fxy)xy,yx(yf21+=)xy()xy,yx(fy1)xy,yx(fxy)xy,yx(yf221+=-)xy,yx(fxy)xy,yx(f x)xy,yx(yf221+=-二、隐函数的微分法二、隐函数的微分法隐函数存在定理隐函数存在定理1 设函数设函数F(x,y)在点在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连的某一邻域内具有连续的偏导数，且续的偏导数，

10、且0)y,x(F,0)y,x(F00y00=则方程则方程Fx,y）=0在点在点P0(x0,y0)的某一邻域内能够的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=fx,y），），它满足条件它满足条件y0=f(x0), 且有公式且有公式yxFFdxdy=-证明：仅推导公式。证明：仅推导公式。 由于方程由于方程Fx，y）=0满足定理中的条件，所满足定理中的条件，所以它可以确定一个单值函数以它可以确定一个单值函数y=f(x,y)，这时有这时有0)x( f , x(F=两边对两边对x求导得求导得0dxdyFF,0dxdyyFxFyx=+=+即即再由已知条件有再

11、由已知条件有yxFFdxdy=- 例例9 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数y=f(x)的导数。的导数。0 xyey=-解：解： 设设,xye)y, x(Fy=-那那么么, xeF, yFyyx=-所以所以xeyFFdxdyyyx=-隐函数存在定理隐函数存在定理2 设函数设函数F(x,y,z)在点在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具的某一邻域内具有连续的偏导数，且有连续的偏导数，且0)z ,y,x(F,0)z ,y,x(F000z000=则方程则方程Fx,y,z）=0在点在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=fx,y,z），它满足条件），