排列组合的主要题型及解答方法,DOC

1、仅供个人学习参考、相邻问题捆绑法例 16 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种A.720B.360C.240D.120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有-种排法。由分步计数原理可知，共有：亠=240 种不同排法，选 Co评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可 yy I整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。X-* - I /_二、相离问题插空法I I / /例 2 要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有 多少不

2、同的排法?（只要求写出式子，不必计算）解：先将 6 个歌唱节目排好，其不同的排法为种;这 6 个歌唱节目的空隙及两端共 7 个位置 中再排 4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为I-八：种。评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。 此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。三、定序问题缩倍法L例 3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3 面红旗、2 面白旗，把这 5 面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是_ （用数字作答）。解：5 面旗全排列有 种挂

3、法，由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是八J=10（种）。评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。仅供个人学习参考四、标号排位问题分步法例 4 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（?）种A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种解：此题可以看成是将数字 1, 2, 3, 4 填入标号为 1, 2, 3, 4 的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将 1 填入 2 至 4 号

4、的 3 个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3 个方格，又有 种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有 1 种填法。故共有 3X3X仁 9 种填法，而选 Bo.JF/jr*、评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。f -1 -_ _五、有序分配问题逐分法例 5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2 人承担，乙、丙各需由 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有（）种A.1260B.2025C.2520D.5040解：先从 10 人中选出 2 人

5、承担甲项任务，再从剩下 8 人中选 1 人承担乙项任务，最后从剩下7 人中选 1 人承担丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有1 =2520 种，故选Co评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。六、多元问题分类法例 6 由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A.210 个 B.300 个 C.464 个 D.600 个解：按题意个位数只可能是 0, 1, 2, 3, 4 共 5 种情况，符合题意的分别有IH, 个。合并总工有 +二仅供个人学习参考1=300（个），故选Bo评注：元素多，取出的

6、情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后 总计另解：先排首位，不用 0，有*种方法；再同时排个位和十位，由于个位数字小于十位数字， 即顺序固定，故有 1 种方法；最后排剩余三个位置，有 r 种排法。故共有符合要求的六位数=300（个）。七、交叉问题集合法例 7 从 6 名运动员中选出 4 名参加 4X100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共 有多少种不同的参赛方法？解:设全集 U=6 人中任取 4 人参赛的排列,A=甲跑第一棒的排列,B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有caid（ll） - card（直）-亡 ard（E） + car

7、d（Ari E）直:-直:+ 掘=252（种）。评注：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：=card（A）+ card（B）-caid（A 来求解。八、定位问题优限法例 8 计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同 一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）占 4 心上AA * A厂辻 5巴 2 匕*巴占A.豆 4 旦 dB.且 m 旦 4 耳 3且*豆 5J - I %1IT I厂一解：先把 3 种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，则油画与国画有 八-种放法。再考虑

8、油画之间与国画之间又可以各自全排列。故总的排列的方法为:V 种，故 选 D。评注：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。九、多排问题单排法仅供个人学习参考例 9 两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座（每人一座位），则不 同的坐法种数为（）A.：；： B.:C.D.:;解：此题分两排坐，实质上就是 8 个人坐在 8 个座位上，故有J 种坐法，所以选 D。评注：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。十、至少问题间接法例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种I

9、A.140B.80C.70D.35解析：在被取出的 3 台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意，故符合题意的取法有、_厂一 =70 种，选 Co评注：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。本题所用的解法是间接法，即 排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。I Fs十一、选排问题先取后排法I例 11 四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）。解：先从四个小球中取两个放在一起，种不同的取法；再把取出的两个小球与另外两个小球Is-看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有种不同的放法。依据分步计数原理，共

10、有种不同的方法。、 T评注：这是一道排列组合的混合应用题目， 这类问题的一般解法是先取（组合）后排（排列）。本题正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体，如果考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误。十二、部分符合条件淘汰法仅供个人学习参考例 12 四面体的顶点及各棱中点共有 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（）A.150 种 B.147 种 C.144 种 D.141 种解：10 个点中取 4 个点共有；种取法，其中同一侧面内的 6 个点中任取 4 个点必共面，这样 的面共有 4 个;又同一条棱上的 3 个点与对棱的中点也四点共面，共有 6 个面;再各棱中点共 6 个点C 器 _ 4CJ