浅谈微积分发展史及极限若干计算法

1、山东财经大学学士学位论文山东财经大学本科毕业论文(设计) 题目： 浅谈微积分发展史及极限的若干计算法 学 院 数学与数量经济学院 专 业 信息与计算科学 班 级 信科0901 学 号 2009050213 姓 名 李 健 指导教师 徐鹏晓 山东财经大学教务处制二一三年五月山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 201

2、3 年 5 月 日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 2013 年 月 日 2013 年 月 日浅谈微积分发展史及极限的若干计算法摘 要本文简单地介绍了微积分的发展史，微积分学产生的背景、建立过程以及其产生重大的历史意义。此外，在文章中也对微积分学的理论知识、基本内容进行了介绍和与说明。及利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了

3、在解题过程中常遇见的一些问题。在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以例解，因此弥补了一般教材的不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余。关键词：微积分的发展史；无穷小量代换；洛比达法则；泰勒公式；定积分Introduction to calculus and limit the development of a number

4、 of calculation methodABSTRACTCalculus is simply introduced in this paper, the history of two important limits, and the use of dimensionless substitution, than to rule such as definite integral, Taylor formula, limit of method, and connecting with the concrete examples, pointing out some problems me

5、t in the problem solving process. In mathematical analysis, the beginning and end of the optim ization and limit, limit of the method is also crucial. This paper mainly discusses and summarizes the limit the general methods of adding using series convergence and by using special integral limit metho

6、d, and the characteristics of each method and the matters needing attention focus in detail, and with examples the case solution, thus make up for the deficiency of the general teaching material. Because this article through summarizes, the research on the limit of many of the details of the various

7、 methods for the specific comments, make the method more targeted, tricky, therefore, overcomes the drawback of encounter problems do not know how to start, can do it. Key words: the history of calculus; Dimensionless substitution; More than of laws; Taylor formula; Definite integral 目 录一、 引言1（一） 微积

8、分简介1（二） 产生背景1（三） 酝酿时期2二、 发展历程2（一） 牛顿的微积分2（二） 莱布尼茨的微积分3（三） 柯西与魏尔斯特拉斯的贡献3（四） 外国其他人的贡献4（五） 中国数学家的思想5三、 计算极限的若干方法5（一） 定义法5（二） 利用极限四则运算法则6（三） 利用夹逼性定理求极限6（四） 利用两个重要极限求极限7（五） 利迫敛性来求极限7（六） 用洛必达法则求极限7（七） 利用定积分求极限8（八） 利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9（九） 利用变量替换求极限9（十） 利用递推公式计算或证明序列求极限10（十一） 利用等价无穷小量代换来求极限11（十二） 利用

9、函数的连续性求极限12（十三） 利用泰勒公式求极限12（十四） 利用两个准则求极限13（十五） 利用级数收敛的必要条件求极限14（十六） 利用单侧极限求极限15四、 总结15参考文献161、 引言（1） 微积分简介数学的历史最早可追述到与我们极其遥远的社会发展初期。也许早于文字的形成，数的思想已在人们的生活中逐渐形成，虽然经历了长期的发展后，其体系分支的庞大与应用的广泛令世人惊叹，但至今为止却没有一个人能够为数学给出一个公认的定义。16、17世纪，资本主义社会崛起，生产力大大解放，机器化生产逐渐普及，促使科学急速发展。此时初等数学已不能满足社会的需要，于是数学进入了变量数学时期。在这一时期中，

10、虽然出现了解析几何，概率论和射影几何等新的分支，但几乎都被微积分过分强大的光辉掩盖了。其发展之迅猛，内容之丰富，应用之广泛，使人目不暇接。微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分。微分是由联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德在论螺线中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯在圆锥曲线论中讨论过圆锥曲线的切线等

11、等。关于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1629年费马陈述的概念，他给定了如何确定极大值和极小值的方法。随后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。与微分学相比而言，积分学的起源则要早得多。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中用穷竭法求出弓形抛物线的面积。他的数学思想中蕴含着微积分的思想，只是缺少极限的概念，但其思想实质却延伸到17世纪无限小分析领域中，预告了微积分的诞生。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。此后柯

12、西与魏尔斯特拉斯等人又对微积分进行了完善。微积分的发展同时推动了天文学和物理学前进的步伐，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。不仅如此，微积分在数学这一学科中同时又贯穿了多个分支体系，如极限、微分学、积分学、以及导数等。（2） 产生背景16、17世纪，资本主义社会崛起，生产力大大解放，机器化生产逐渐普及，促使科学急速发展。此时初等数学已不能满足社会的需要，于是数学进入了变量数学时期。在这一时期中，虽然出现了解析几何，概率论和射影几何等新的分支，但几乎都被微积分过分强大的光辉掩盖了。其发展之迅猛，内容之丰富，应用之广泛，使人目不暇接。在这一阶段中，许多科学问题急待解决，这些问题也就成了促使

13、微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力计算。牛顿在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16 世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的为求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法流数法。（3） 酝酿时期近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪，为了理解这一酝酿的背景，我们首先来简略的回顾一下这一时

14、期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。 首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空，得到了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。1638年，伽利略的关于两门新科学的对话出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。开普勒与旋转体体积、卡瓦列里的不可分量原理、笛卡儿“圆法”、费

15、马求极大值与极小值的方法、巴罗“微分三角形”、沃利斯“无穷算数”等均是在微积分酝酿阶段最具有代表性的工作。2、 发展历程（1） 牛顿的微积分牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版力学对话，开普勒发现行星运动规律-航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。然而当时牛顿在数学方面很大程度是依靠自学的。他学习了欧几里得的几何原本、笛卡儿的几何学、沃利斯的无穷算术、巴罗的数学讲义及韦达等许多数学家的著作。其中，对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术，它们将牛顿迅速引导

16、到当时数学领域的最前沿-解析几何与微积分。牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿的几何学，对笛卡儿求切线的“圆法”产生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小o记号用来表示x的无限小且最终趋于零的增量。牛顿的第一个微积分短评是于1669年在运用无限多项方程的分析学里给出的。在这部专著里他运用了几何和分析的无穷小量，并通过二项式定理扩展了其适用性。在这篇论文中，牛顿运用了一个无穷小矩形或者面积“瞬”的概念，并且发现了曲线的面积。奥里斯姆、伽利略、笛卡尔以及其他人均通过小单元之和求出总面积，而牛顿则是从单个点的变化率求出了面积。很难确切的指出牛顿是以何种方式看待这个瞬

17、时变化率的。对于一个彻底的经验主义者，数学是一种方法，而不是一种阐释。牛顿显然认为任何质疑运动瞬时性的企图都与形而上学有联系，因此就避免为它下定义。不过他仍然接受了这个概念，并以之作为其第二个以及更多微积分阐释的基础，这从流数法与无穷级数中可以看出来。在这本书里，牛顿介绍了他特有的符号和概念。其中，他认为他的变量产生于点、直线和平面的连续运动，而不是无穷小元素的集合，这种观点也出现在论分析里。牛顿把变化率称为流数，用字母上加点的“标记字母”表示；他称变化的量为流量。牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系进而将这两类运

18、算逐步统一成一个整体。在曲线求积法里，牛顿曾尝试消除无穷小量的所有痕迹。他没有将数学量视为由瞬或者很小的部分组成，而是把它们描述为连续的运动，采用最初比和最后比的方法。最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中，每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。1687 年牛顿发表了他的划时代的科学名著自然哲学的数学原理,流数术(即微积分) 是其三大发现之一。牛顿继承了培根的经验主义传统,特别重视实验和归纳推理的作用,他曾断言,自然科学只能从经验事实出发解释世界。这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积

19、极作用的。（2） 莱布尼茨的微积分莱布尼茨是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。1672年莱布尼茨赴巴黎,在那里接触到惠更斯等一些数学名流,引其进入了数学领域,开始微积分的创造性工作。1675 - 1676 年间,他从求曲边形面积出发得到积分的概念。1684年莱布尼茨发表了数学史上第一篇正式的微积分文献一种求极限值和切线的新方法。这篇文献是他自1673年以来对微积分研究的概括与成果,其中叙述了微分学的基本原理, 认为函数的无限小增量是自变量无限小变化的结果,且把这个函数的增量叫做微分

20、,用字母d表示，并得到广泛使用。还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大值、极小值及拐点方面的应用。两年后,又发表了一篇积分学论文深奥的几何与不变量及其无限的分析,其中首次使用积分符号“”,初步论述了积分(或求积) 问题与微分求切线问题的互逆问题。即今天大家熟知的牛顿- 莱布尼茨公式,为我们勾画了微积分学的基本雏形和发展蓝图。 牛顿建立微积分是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑,所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号,并有效地促进了微积分学的发展，特别是和巴罗的“微分三角形”有密切关系,莱布尼茨称它为“特征三角形”。 巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着

21、重要启发,对微分三角形的研究,使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题。莱布尼兹第一个表达出微分和积分之间的互逆关系。 将微分和积分统一起来,是微积分理论得以建立的一个重要标志。（3） 柯西与魏尔斯特拉斯的贡献微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成为了研究自然科学的有力工具。但微积分学中的许多概念都没有精确严密的定义，特别是对微积分的基础无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分，相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力。从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。微积分的严格化工作经过近一个

22、世纪的尝试，到19世纪初已开始显现成效。对分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念,并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华,也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献。与此同时，柯西还在此基础上创建了复变函数的微积分理论。柯西对定积分作了最系统的开创性工作,他把定积分定义为和的“极限”。在定积分运算之前,强调必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理。柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的分析教程(1821)、无穷小计算教程(1823)以及微分计算教程(1829)，它们以分析的严格化为目标

23、，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了在微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。 另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯是一个有条理而又苦干的人，在中学教书的同时，他以惊人的毅力进行数学研究。魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义，这就是今天极限论中的“-”方法。魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，

24、特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就首先要使实数系本身严格化。而实数又可按照严密的推理归结为整数（有理数）。因此，分析的所有概念便可由整数导出。这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作,数学分析的基本概念得到严格的论述.从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面,把微积分及其推广从对几何概念,运动和直观了解的完全依赖中解放出来,并使微积分发展成为现代数学最基础最庞大的数学学

25、科。（4） 外国其他人的贡献在十八世纪，微积分得到进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。英国的数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。推广莱布尼茨学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布·伯努利和约翰·伯努利担当的，他们的工作构成

26、了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生洛必达编入其微积分著作无穷小分析，现在通称为洛必达法则。此外法国数学家罗尔在其论文任意次方程一个解法的证明中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。他所发表的无限小分析引论、微分学、积分学称得上是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。除了伯努利兄弟和欧拉，在18世纪推进微积分及其应用贡献卓著的欧陆数学家中，首先应该提到法国学派，其代表人物有克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。在这一时期

27、中，微积分主要在以下几个方面深入发展：积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念的深化以及微积分严格化的尝试。这些数学家虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没，假如没有他们的奋力开发与仔细耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样春色满园，相反，也许会变得荒芜凋零。（5） 中国数学家的思想如果将微积分的发展分为三个阶段：极限概念，求积的无限小方法，积分与微分及其互逆关系。那么最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德等都作出了各自的贡献。然而对于这方面的工作，古代中国是毫不逊色于

28、西方的。极限思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学都不能比拟的。比如早在公元前7世纪，在我国庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著数书九章十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”

29、、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。特别是13世纪40年代到14世纪初，各主要（数学）领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有着微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具备了17世纪发明微积分前夕

30、的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制度造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学水平日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。3、 计算极限的若干方法（1） 定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例1: 按定义证明.解: 令,则让即可,存在,当时,不等式: 成立,所以（2） 利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,

31、为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例2: 求,其中.解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,原式 （3） 利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因

32、子的放大与缩小来获得所需的不等式。例3:求的极限。解: 对任意正整数n,显然有 , 而,由夹逼性定理得 （4） 利用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例4：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。解：（5） 利迫敛性来求极限设,且在某内有,则例5：求的极限解：. 且由迫敛性知 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并

33、且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。（6） 用洛必达法则求极限 洛必达法则为：假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：和的极限都是或都是无穷大；和都可导，且的导数不为；存在（或是无穷大），则极限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例6:求解: 是待定型 注：运用洛比达法则应注意以下几点1、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定

34、式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。（7） 利用定积分求极限设函数 在区间上连续，将区间分成个子区间在每个子区任取一点，作和式（见右下图），当时，(属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间的定积分。要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1、定积分的概念及性质。2、定积分的换元法和分部积分法，3、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公式。要求一般理解与掌握的内容有：4、广义积分的概念与计算。例7:求解: 设,则在内连续,所以, 所以原式难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法

35、。（8） 利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。例8：求的值解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以 还是无穷小量，即 （9） 利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例9： 已知试证证明：令则时，于是 易知当时第二

36、、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因（当时），故有界，即，使得。故（10） 利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质。例10（1）设，对，定义。证明 且时，（2）若c为任意的正数。置于（1）的递推公式中，给出，假设，则当时，解：（1）对任意的n, ，而且，因为 推得，因此，序列是单调递增且有界，它的极限存在，设为x，从递推公式中得到 解得，即。（2）因为且对任意的，可以在

37、上作归纳证明，对任意的，。由知，所以序列是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式可求的其极限为。（11） 利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理：设函数在内有定义，且有1.若则2.若则证明： 可类似证明，在此就不在详细证明了！ 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例11：求的极限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有，。另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，；，而推出的则得到的结果是错误的。小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。（12）