新高二数学联赛班暑假第1讲平几变换(一)

1、第 1 讲平几变换（一）几何变换事实上已经属于高等几何的范畴，涉及到现代的数学工具和思想用变换的思想来考察平几问题，可以让以前显得神秘莫测的“添加辅助线”变得理所当然，而且会得到很多更深刻的结论， 这当然对我们证明问题帮助极大本讲和下一讲我们将一起来研究一些常用的几何变换，除了上述的三种变换，还有位似变换，反演变换（* *），配极变换（*）以及上述常用变换复合而成的复合变换，例如位似旋转变换等等 后面两种变换中，反演变换只会在冬令营及其以上赛事中用到，而配极变换一般来说只有国家队级别才会涉及到 所以，暑期班中我们不会涉及到后两者 有兴趣的同学可以自行阅读相关参考书 学习几何变换之后，我们会从一

2、个崭新的角度来分析问题，例如两个同向相似三角形，在变换的 角度下我们认为是其中一个三角形绕平面某点作位似旋转变换而得到另一三角形 同时，某种特定的几何变换可能还会有不少优良的性质，例如保角性，特定线保持平行等等 这些性质对我们证题的帮助很大. .对于添加辅助线，大家学完后会发现，基本上绝大部分辅助线的添加从本质而言就是构造某种特 定的几何变换，从而实现条件的聚集 高中数学联赛课程学理科到学而思暑假班第 1 讲学生版【例【例 1 1】 设P是平行四边形ABCD内部一点，且APB CPD 180，求证:【例【例 2 2】 设P是平行四边形ABCD的内部一点，若ABP 2 ADP, 求证：ABBP

3、CP.1.1平移【例例3 3】设D、E是 三角形.ABC的边BC上两点，且BD EC,BAD【例【例 4 4】在ABC中,B内的旁切圆与CA相切于D,EAC，求证：ABC是一个等腰C内的旁切圆与AB相切于E,M和N分别CBP PDC.DCP 2 DAP,A的平分线平行.为BC和DE的中点，求证：直线MN平分ABC的周长，且与www.speiyoii.cowww.speiyoii.cornrn学理科到学而思高中数学联赛课程1.2对称暑假班第 i 讲学生版I I【例【例 7 7】 设四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在 求证：AD BC AB.证明蝴蝶定理：设一圆的圆心0在已知直线I上的射影为M

4、CD交圆于A、B、C、D，再设直线AD、C分别与直线【例例5 5】经典精讲ANP求证：APO 90，点 Q Q 在线段NP上，过点 Q Q 任作一直线分别交AB、AC于点E、F, OQEOQE 9090 当且仅当 QEQE QFQF .设N为BAC的平分线上的一点，点P和点0分别在直线AB和AN上，其中【例例6 6】在ABC中，AD为A的平分线,CE为AB边上的高，已知CDA 45，求BED的度数.CP【例例，过M任作圆的两条割线AB、I交于P、Q Q，则 PMPM MQMQ .AB上，且与四边形的其余三边相切.( (选讲) )在ABC中，AB AC,A 20，点D、E分别在腰AB、AC上，且

5、DCB 50，求DEB.【例9 9】(IM042-1IM042-1 )ABC为锐角三角形， 外心为 O,O, P P 在 BCBC 上, APAP 是高， 若BCA证明：CABCOP 90.ABC 30,高中数学联赛课程【例CBE 60,1.3旋转【例【例 121121 设E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD交于P、Q Q两点，且BE DF EF,求证：五边形 PECFQPECFQ 内接于圆.（第2 29 9届IMO加拿大国家队培 训）【例【例 111111ABC是一个正三角形，与BC平行的一条直线分别交边的中点，0是ADE的外心，求CMO的各角.AB、AC于D和E,M是线段BE【例 1313】 在ABC中，AB AC,P是ABC的内部一点， 求证:PB PC.www.speiyau.conwww.speiyau.conrtrt学理科到学而思【演练 1 1】在梯形ABCD中，AD II BC,E、 求证：AB CD.F是底边BC上两点，且BE FC,BAE FDC,C C高中数学联赛课程APB CPA的充分必要条件是【演练 2 2】 设线段AB与CD相等，且其交角为60，求证:ACBDAB【演练 3 3】 在ABC中，C 2 B,D是