电磁学课后部分习题答案解析

1、电磁学课后部分习题答案解析1.2.2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q.在两者距离一定的前提下，他们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答：设一个点电荷的电荷量为,另一个点电荷的电荷量为,两者距离为r,则由库仑定律求得两个电电荷之间的作用力为 令力F对电荷量q的一阶导数为零，即 得 即取 时力F为极值，而 故当 时，F取最大值1.2.6 两个电荷量相等的同性点电荷相距为，在两者连线的中垂面上置一试探点电荷, 求受力最大的点的轨迹.解答:如图(a)所示,设有两个电荷量为q的点电荷 ,坐标分别为(-,0,0)和(,0,0),试探点电荷置于二者连线的中垂面Oyz上坐标为(0,y,z). 为原点O至

2、试探点电荷的失径,距离为 ,如图(b)所示.根据对称性, 所受合力的方向与失径r平行或反平行.其大小为 求上式的级值,去F对r的一阶导数并令其为零,的方程 求得 求二阶导数并带入,得 说明此时F取极大值因此,受力最大的点的轨迹是在中垂面上的圆心坐标为(0,0,0)半径为的圆.1.3.6 附图中均匀带电圆环的半径为R,总电荷量为q (1)求数轴线上离环心O为x处的场强 (2) 轴线上何处场强最大?其值是多少? (3)大致画出E-x曲线.解答:设圆环的带电线密度为 如图(a)所示,圆环一小段到轴上一点的距离为,即有,该小段对点产生的场强大小为 根据对称性,点场强仅有分量, 在轴的分量大小为点场强为

3、 （2）应求并令其值为0，求得当，E取极值，而，根据对称性，位于轴上点的场强取最大值，其值为 （3）如图（b）所示。1.3.8 把线电荷密度为的无限长均匀带电线分别弯成图(a).(b)所示的两种形状.若圆弧半径为R,求两图中的O点的场强. 解答: 习题1.3.8附图（1）先求竖直半无限长段带电线在点产生的场强，由习题1.3.7（2）可知得 故同理,水平无限带电线在O点产生的场强为 对于圆弧带电线O点的场强, 同理得 故 解得 (2)利用(1)的结论. 图b, A-的带点直线在O点的场强为 B-的带点直线O点的场强为根据对称性,圆弧带电O 点的产生的场强仅有x分量,即 故带电线在O点产生的总场强

4、为1.4.6 电荷以体密度分布在半径R的球内,其中为常量,r为球内某点与球心的距离. (1).求球内外的场强? (2).r为多大时场强最大?该点场强 解答：（1）以带电球心为心,在球内以r为半径作一高斯面,它所包围的电荷量为 由于电荷分布满足球对称性,因此在球面上的电场方向仅为径向,其大小相等,即 求得求内的场强为 以带电球为心,在球外以r(>R)为半径作一高斯面,它包围的电荷量为 求的球外的场强为 (2)显然, 不从在极值现求的极值,令 即当时. 取极值.又因 故场强最大值 1.4.8在球心为O 半径为a、电荷体密度为的均匀带电体内偏心挖去一个半径为b 的小球(球心为),如附图所示.

5、(1) 试怔空心内存在均匀电场并写出场强表达式（以c代表从O到的矢量）； (2)求、连线延长线上M点和P点的场强和解答: 图为挖空腔,T为空腔这任意一点,空腔这电荷分布可看作电荷体密度为的实心均匀带电球再偏心位置处加上一个电荷体密度为的均匀带电的叠加结果.因此.空腔这任意T 的场强应该等于一个电荷体密度为的均匀带电球在T点产生场强与电荷密度为的均匀带电球产生的场强与均可利用高斯定理求得, 即 ，式中: 为从大球圆心指向T点的矢径; 为从圆心指向T点的矢径. 空腔中任意点 T的场强为 因T点为空腔中任意一点,c为一常矢量,所以空腔内为一均匀电场（2）M点为大球内一点,根据叠加原理得 P点为大球外

6、一点,根据叠加原理得1.6.3附图中A与O，O与B，B与D的距离皆为L，A点有正电荷q，B点有负电荷-q。C（1）把单位正点电荷从O点沿半圆OCD移动到D点，电场力做了少功？（2）将单位正点电荷从D点移到无穷远处电场力所做的功为多少？解答：1）单位正电荷位于A点正电荷和B点负电荷的场中，它在O点所具有的电势能为 同理，它在D所具有的电势能为 将单位正电荷从O点移到D点电场力所做的功与路径无关，则 2）因为将单位正点电荷从D点移到无穷远处电场力所做的功为： 则单位负点电荷从D点移到无穷远处电场力所做的功为 1.6.6求1.4.8题中O,O,P,M各点的电势。解答:均匀电荷密度为的实心大球的电荷量

7、挖去空腔对应小球的电荷量 电荷密度为的大球在M点的电势为电荷密度为-的小球在M点的电势为 则M点的电势为 电荷密度为大球在P点的电势为 电荷密度为-小球在P点的电势为 P点的电势为 电荷密度为大球在O点的电势为电荷密度为-的小球在O点的电势为 电荷密度为大球在点的电势为 电荷密度为-小球在点的电势为 点的电势为 2.1.3 3块平行金属板A、B、C构成平行板导体组.以S代表各板面积，x及d分别代表A、B之间及B、C之间的距离.设d小到各板可视为无限大平板.令B、C板接地，A板电荷量为Q，略去A板的厚度，求：（1） B、C板上的感应电荷；（2） 空间的场强及电势分布.解答：（1）设各板表面的面密

8、度由左至右电荷为，即有.由于B、C板接地，故两板的外侧电荷面密度.设A、B板的距离为x，则A、C间的距离为d-x，因，故有 式中： ， 得 因 联合解得 , 从而知 求得B板的电荷 C板的电荷 （2）各区的场强分别为 ， ， 设r为A到场点的距离，则各区的电势分别为，2.1.5 半径为R的金属球经电压为U的电池接地，球外有一与球心距离为2R的点电荷q，求球面上的感应电荷q。解答:金属球内为等势区,电势值为U.面上各点的感应电荷面密度分布不均匀,设球上电荷的总电荷量为q,取球心O,该点的电势为所有电荷在该点电势的总贡献,按电势叠加原理解得 2.2.3 半径为RA的金属球外罩一同心球壳金属球壳B，

9、球壳极薄，内外半径均可看作RB，已知AB的电荷分别为QA和QB。（1）求A的表面S1及B的内外表面S3S3的电荷q1q2q3；（2）求A和B的电势VA和VB；（3）将球壳B接地，再回答（1）（2）两问；（4）在（2）问之后将球A接地，再回答（1）（2）两问；（5）在（2）问之后在B外再罩一个很薄的同心球壳C（半径为RC），再回答（1）（2）两问，并求C的电势VC。解答:(1)A的表面及B的内外表面的电荷量分别为 （2）用场强E积分求A的电势VA，即 球壳B的电势VB可用球壳场强沿径向积分求得（3）将球壳B接地后，导体A的表面及B的内、外表面的电荷量分别为可求得导体A的电势为因导体壳B接地，故B

10、的电势为 (4)在（2）问之后将导体A接地后，球A的表面及B的内外表面的电荷量分别为 根据电势叠加原理，有解得 B的内外表面的电荷量分别为 A的电势为 B的电势为 （5）在（2）问之后在B外再罩一个很薄的同心金属球壳C（半径为Rc）后，A的表面及B的表面的电荷量不变.由于同心金属球壳C的存在,球壳C的内、外壁的电荷量分别为和.因此按电势叠加原理，金属球壳C的存在对A和B的电势的贡献均为0.和分别为 球壳C的外壁的电荷量为，故球壳C的电势为 2.3.2 平板电容器两极板A、B的面积都是S，相距为d.在两板间平行放置一厚度为x的中性金属板C，则A、B仍可看作一个电容器的两极板.略去边缘效应.(1)

11、 求电容C的表达式;(2) 金属板离极板的远近对电容C有无影响？(3) 设末放金属板时电容器的电容，两极板间的电势差为10V，A、B不与外电路连接，求放入厚度的金属板后的电容C及两板间的电势差U.解答:(1)平行放置一厚度为x的中性金属板后,在金属板上、下将出现等值异号的感应电荷，电场仅在电容板极与金属板之间，设电荷面密度为，电场为A、B间电压为 A、B间的电容C为 (2)金属板离极板的远近对电容C没有影响. （3）设未放金属板时电容器的电容为 放金属板后，板间空气厚度为 此时电容器的电容为 由于A、B不与外电路连接，电荷量不变，此时A、B间电压为 2.5.2 3个点电荷的相对位置，计算：（1

12、） 各对电荷之间的相互作用能；（2） 该电荷系统的相互作用能。解答：将3个电荷分别编号为1.2.3，如图2.5.2所示。 （1） 按定义 电荷1与电荷2之间的相互作用能为 电荷1与电荷3之间的相互作用能为 电荷2与电荷3之间的相互作用能为(2)电荷系统的相互作用能为 2.5.4一均匀带电体(非导体)半径为R,总电荷量为Q,求其静电能. 解答: 均匀带电体的电荷体密度 ,距球心 r 处的电势为 均匀带电球的静电能为3.2.1.偶极距为p的偶极子处在外电场E中: (1) 若E是均匀的,p与E的夹角为何值时电偶极子达到平衡?此平衡是稳定平衡还是不稳定平衡? 图3.2.1(2) 若E是不均匀的,电偶极

13、子能否达到平衡? 解答: (1) 如图3.2.1所示,偶极子的电荷量q 和-q所受的电场力分别为qE 和-qE,大小相等,合力为0,但所受的力矩为 M=p×E当且仅当=0和=时,电偶极子的力矩为0,达到平衡状态,但在=0的情况下稍受微扰,电偶几极子将受到回复力矩回到平衡位置上因此, =0时,是稳定平衡,但在=的情况是不稳定平衡. (2)若E不均匀,一般情况下,偶极子的电荷量q 和-q所受的电场力不 0,电场力将使偶级帐子转向至偶极矩p 与场强E平行的情况由于电场不均匀,偶极子所受的合力不为0,因此,偶极子不能达到平衡状态3.4.2 附图中A为一块金属，其外部充满电介质，已知交界面某一

14、点的极化电荷面密度为，该点附近电介质的相对介质常量为r求该点的自由电荷面密度o.解答： 紧靠导体A表面的极化电荷面密度与该处的极化强度矢量在导体面法线上的投影为的关系为 式中：法线的方向为导体的外法线方向.利用关系与,得 紧邻该导体面S作一贯通导体表面的小柱面，根据电介质中的高斯定理可证得紧靠导体A的表面电介质的电位移矢量在导体面的外法线投影 从而有 解得 3.5.3平板电容器两极板相距为d，面积为S，其中放有一层厚度为t ,相对介点常量为r的均匀电介质，电介质两边都是空气（见附图）。设两极板间电势差（绝对植）为U，略去边缘效应。求：（1）：电介质中的电场强度，电位移和极化强度； （2）：极板

15、上自由电荷的绝对值; (3 ) :极板和电介质间隙中（空气中）的场强;(4 ):电容C.解答:（1）：介质板用“2”标记，其余空气空间用“1”标记，单位方向为由高电势指向低电势，两极间的电势差（绝对值）无论在空间1还是在2中，其电位移矢量相等，故有得 即 解得 (2)因，故极板上自由电荷的电荷量（绝对值）为 (3)极板和介质间隙中（空气中）的场强，故 (4)电容为 3.7.2 将半径为R 、电荷量为q0的导体置于绝对介电常数为的均匀无限大电介质中,求电介质内任一点的能量密度.解答:距球心r处的电位移矢量和电场能量强度分别为 电介质内任一点的能量密度为 4.3.2 用电阻率为（常量）的金属制成一

16、根长度为L、底面半径分别为和的赘台导体 （1）求它的电阻； （2）试证当时，答案简化为（其中S为柱体的横截面积）.解答：按电阻定义 因长度是半径r的函数，故 元电阻为 求得锥台形导体的电阻为 （1） 当时，电阻为 4.4.7 求附图中A、B、D、E各点的电势.解答：因的支路被导线短路，故加在电阻与串联的电路两端电压就是电池的端电压，因电池的负极接地，A点的电势为 从图中可见的负极及的正极接地，故 4.5.1附图求电流及的阻值.解答:列出节点方程及选两个网孔的闭合回路的电流正方向为顺时针方向,得 代入数据,解得 的电流方向与图中设定的正方向相反.5.2.4截流导线形状如附图所示(直线部分伸向无限

17、远),求O点的B.解答：(a) 设两直线截流导线在O点激发的磁场分别为B1和B2,圆弧截流导线在O点激发的磁场为B3,则 故合磁场为 磁场大小为 (b) 设平行x轴的直线截流导线在O点激发的磁场为B1,平行z轴的直线截流导线在O点激发的磁场为B2,圆弧截流导线在O点激发的磁场为B3,则 故合磁场为 磁场大小为 (c) 设平行x轴正方向的直线截流导线在O点激发的磁场为B1,平行x轴负方向的直线截流导线在O点激发的磁场为B2,圆弧截流导线在O点激发的磁场为B3,则 故合磁场为 磁场大小为 5.2.10 附图中的A、C是由均匀材料制成的铁环的两点，两根直长截流导线从、C沿半径方向伸出，电流方向如图所

18、示。求环心处的磁场。解答：设在铁环的优弧长度的电流为I1，劣弧长度的电流为I2，因为电阻与长度成正比，所以有 电流I1与I2在O点产生的磁场分别为 ， 由此得 B1=B2 电流I1与电流I2流向相反，因此二者在O点产生的B1与B2方向相反，故 B=B1+B2=05.3.2 两无限长截流直导线与一长方形框架共面（见附图），已知，I=100A求框架的磁通量。解答： 左、右侧电流I在长方形框架产生的磁通量分别为与，设框架面积的法线方向取垂直纸面向里，因，则有 框架的磁通量为5.4.4 电流以密度沿Z方向均匀流过厚度为2d的无限大导体平板,求空中各点的磁场.解答: 根据对称性，空间各点的磁场的方向平行Oxz面且仅有x分量,在y>0空间沿x轴的负方向；在y<0空间沿x轴的正方向（1） 求板内磁场:在板内以y=0平面为对称面,距此面相同距离作平行Oxy面逆时针方向的矩形路径,如图所示,通过此路径包围面积的电流 根据安培环路定理 解得 考虑的方向，有 （2）求板外磁场:在板外以Y=0平面为对称面,距此面相同距离作平行Oxy面的逆时针的矩形路径,如图5.4.4(a)所示,通过此路径包围面积的电流 根据安培环路定理 解得 考虑的方向，有 （y>0,取负号；y<0，取正号）5.6.5 半径R=0.2m、电流I=10