梁弯曲内力及强度计算

1、第6章 梁弯曲内力及强度计算§6-1 弯曲切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ，又有剪应力 。但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线aa1上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa1两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q的方向一致。由于对称的关系，横线aa1中点处的剪应力也必与Q的方向

2、相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想aa1线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于宽度b，剪应力的数值沿横线aa1不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q。2）剪应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所示，现欲求距中性轴z为y的横线aa1处的剪应力 。过aa1用平行于中性层的纵截面aa1cc1自dx微段中截出一微块（图6-6d）。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀

3、分布的剪应力 。微块左右侧面上正应力的合力分别为N1和N2，其中N1=IdA=A*My1M*dA=Sz *IzIzA（a）N2=IIdA=A*(M+dM)y1(M+dM)*dA=Sz (b) *IzIzA*II)为面积A中距中性轴式中，A为微块的侧面面积，I(为 y1处的正应力，Sz=*AydA。 1*由微块沿x方向的平衡条件x=0，得N1+N2bdx=0 （c）将式（a）和式（b）代入式（c），得dM*Szbdx=0 Iz*dMSz故 = dxbIz因dM=Q,=，故求得横截面上距中性轴为 y处横线上各点的剪应力为 dx*QSz= （6-3） bIz式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中

4、，Q为截面上的剪力； Iz为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；Sy为面积A对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图6-7），可取dA=bdy1，于是hy*S=y1dA=A*zbh2by1dy1=(y2) 24这样，式（6-3）可写成Qh2(y2) =2Iz4（图6-7b）。上式表明，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化在截面上、下边缘处，y=±h,=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为 23Q （6-4） max=2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的倍。2圆形截面梁在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa1两端处，剪应力的方

5、向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得max=式中A=4Q （6-5） 3A4d2，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的倍。 3工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为maxQ(Sz)max= dIZ式中（Sz）max为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.950.97）

6、Q，因此也可用下式计算max的近似值 Iz*(Sz)max可以从型maxQ h1d式中h 1为腹板的高度，d为腹板的宽度。§6-2 弯曲强度计算根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件max=Mmaxymax （6-6） Iz式中为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为max=式中 Mmax （6-7） WzWz=Iz （6-8） ymax

7、称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为长度3。国际单位用m3或mm3。对于宽度为 b、高度为 h的矩形截面，抗弯截面系数为=bh （6-9） Wz=h26直径为 d的圆截面，抗弯截面系数为 bh32Wz=d4=d332 （6-10）内径为 d，外径为 D的空心圆截面，抗弯截面系数为D4Wz=(1)4=D332d(1)， =D （6-11） 4轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 Wz可从型钢表中查得。对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。需要指出的是，对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的max一般发生在 Q