简易测量与三角函数值表

1、§簡易測量與三角函數值表主題1：三角函數值表1.三角函數值表：銳角的三角函數值已由以前的數學家，將其近似值算出並製成表，這叫做三角函數值表。三角函數值表為從到間（以為單位）的各種三角函數值，表中最左一行由上而下列有到的各角度，最上一列由左而右印有、各函數符號而表中最右一行由下而上列有到的各角度，最下一列由左而右印有、和各函數符號，此乃應用餘角關係編排的。例：之各函數值表如下列：函數角度.3529.9356.37722.6511.0642.833角度函數即又因為之餘角為故由函數值亦可查出角之大小，例如：，為銳角時，查得。，為銳角時，查得2.查表口訣：四十五度前向下查，與上排函數相對應。

2、四十五度後向上查，與下排函數相對應。3.內插法：(1)先找相鄰二數使其居間。(2)利用角度差之比=對應值之差的比，求出未知函數值即可。4.電算機：(1)DEG：將螢幕把單位調整成度。(2)鍵入角度數值。(3)鍵入函數(4)若要求，則再鍵入重要範例1.由查表得tan31°30¢ = 0.6128，tan31°40¢ = 0.6168，下列何者正確？(A) cot58°21¢ = 0.6132(B) tan31°32¢ = 0.6136(C) tan31°33¢ = 0.6140(D) cot58&

3、#176;23¢ = 0.6156(E) tan31°37¢ = 0.6162。【解答】(B)(C)(D)【詳解】依線性內插法得，每增加，的值增加0.0004，故選(B)(C)(D)隨堂練習.利用三角函數值表，下列敘述何者正確？(A) sec52°10¢ = 1.630(B) csc50°40¢ = 1.293(C) tan51°30¢ = 1.257(D) cot52°50¢ = 0.7581(E) cos51°20¢ = 0.7808。【解答】(A)(B)(C)

4、(D)【詳解】經查三角函數值表，得sec52°10¢ = csc37°50¢ = 1.630，csc50°40¢ = sec39°20¢ = 1.293tan51°30¢ = cot38°30¢ = 1.257，cot52°50¢ = tan37°10¢ = 0.7581cos51°20¢ = sin38°40¢ = 0.6248 ¹ 0.78082.利用三角函數值表，做下列各題：(1)

5、 cos16°10¢ = 。(2) tan73°20¢ = 。(3)利用內插法，求cot16°37¢ = 。(4)利用內插法，求sec74°42¢ = 。(5)設sin = 0.2876，為銳角，則 = 。（以分為最小單位）(6)設cos = 0.2989，為銳角，則 = 。（以分為最小單位）【解答】(1) 0.9605(2) 3.340(3) 3.351(4) 3.790(5) 16°43¢(6) 73°36¢【詳解】(1)查表知cos16°10¢ =

6、0.9605(2)查表知tan73°20¢ = 3.340(3)查表知cot16°30¢ = 3.376，cot16°40¢ = 3.340利用內插法cot16°37¢ = 3.376 + (3.340 - 3.376) ´ 3.351(4)查表知sec74°40¢ = 3.782，sec74°50¢ = 3.822利用內插法sec74°42¢ = 3.782 + (3.822 - 3.782) ´= 3.790(5)查表知sin16&

7、#176;40¢ = 0.2868，sin16°50¢ = 0.2896利用內插法=q = 16°40¢ +´ 10¢ 16°43¢(6)查表知cos72°30¢ = 0.3007，cos72°40¢ = 0.2979利用內插法=q = 72°30¢ +´ 10¢ 72°36¢隨堂練習.由查表得cot115°40¢ = - 0.4806，cot115°50¢ = -

8、0.4841，下列何者正確？(A) cot295°14¢ = - 0.4820(B) tan334°14¢ = - 0.4820(C) tan205°46¢ = 0.4827(D) cot244°16¢ = 0.4827(E) cot64°18¢ = 0.4834。 【解答】(C)【詳解】cot115°40¢ = cot (180°- 64°20¢) = - 0.4806Þcot64°20¢ = 0.4806同理co

9、t64°10¢ = 0.4841(A) cot295°14¢ = cot (360° - 64°46¢) = - cot64°46¢ = 0.4715(B) tan334°14¢ = tan (270° + 64°14¢) = - cot64°14¢ = - 0.4827(C) tan205°46¢ = tan (180° + 25°46¢) = tan25°46¢

10、= cot64°14¢ = 0.4827(D) cot244°16¢ = cot (180° + 64°16¢) = cot64°16¢ = 0.4820(E) cot64°18¢ = 0.4813隨堂練習.由查表得sin224°40¢ = - 0.7030，sin224°50¢ = - 0.7050，下列何者正確？(A) cos 45°18¢ = 0.7046(B) sin135°14¢ = 0.7042

11、(C) cos227°16¢ = 0.7038(D) cos314°48¢ = 0.7046(E) sin315°11¢ = 0.7048。 【解答】(B)(D)【詳解】sin224°40¢ = sin(180°+ 44°40¢) = - 0.7030Þsin44°40¢ = 0.7030同理sin44°50¢ = 0.7050(B) sin135°14¢ = sin(180°- 44°46

12、62;) = sin44°46¢ = 0.7042(D) cos314°48¢ = cos(270°+ 44°48¢) = sin44°48¢ = 0.7046主題2：簡易測量1.簡易測量：測量問題包括如何求山高、河寬、飛機的高度、船的遠近等等。這些數值不能直接測定，必須藉助三角學原理與定理。而一般解決測量問題的步驟，是就已知資料，利用作圖轉化成三角形中，邊與角的關係，求出所要的答案。本單元僅討論如何利用直角三角形來解決簡單的測量問題。2.測量的術語：(1)鉛直線：表示該點之重力（地球引力）方向之直線。(

13、2)水平線：垂直於鉛直線之直線(3)視線：觀測點與觀測物之連線(4)仰角：視線在水平線上方時(往上看)與水平線的夾角。(5)俯角：視線在水平線下方時(往下看)與水平線的夾角。仰角與俯角：均指視線與水平線之夾角，當視線在水平線上方時，稱為仰角，在水平線下方時，稱為俯角。(6)方位：觀測物所在之方向，稱為其方位，除了東、西、南、北四個主要方位外，還有其他方位。如北東即於觀測點面向北邊，朝東邊旋轉所達方向。其餘依此類推。(7)一周角=，。(60進位) 3.易測量解題步驟：(1)作圖形（平面圖或立體圖）。(2)標出已知量及假設未知量。(3)解出未知量 (以銳角的三角函數值解之)AB C解三角測量問題時

14、，遇直角三角形時，利用三角函數的定義(斜邊、鄰邊、對邊關係)及商高定理即可；若遇一般三角形，可利用正弦定理及餘弦定理。(1)已知線段及ÐC，求線段 使用 CA D B(2)已知及ÐA， ÐD，求 設， CA B使用，(3)已知及ÐA，求 使用 AD BE C(4)A分別向D、E觀看所得俯角與ÐADB及ÐAEC同為內錯角。 配合已知=定值，利用tanD，tanE可求得及重要範例1.下列有關測量的敘述，何者正確？(A)若自點P測點Q的仰角為32°，則自點Q測得點P之俯角為58°(B)自地面上P，Q兩點測得目標物R的俯角

15、各為a，b，若a > b，則(C)設自地面上四點P，Q，R，S測得同一目標的仰角都相同，則P，Q，R，S四點共圓(D)若點P在點Q的東23°南，則點P在點Q的南67°東(E)若點P在點Q的東23°南，則點Q在點P的西23°北【解答】(C)(D)(E)【詳解】(A)自Q測得P之俯角 = 自P測得Q之仰角 = 32°(B)距離目標物愈近，所測得仰角愈大(C)由P，Q，R，S測得仰角相同P，Q，R，S到目標等距四點共圓(D)就方位而言，東23°南 = 南67°東(E)如圖，P在Q的東23°南Q在P的西23°

16、;北隨堂練習.將一長為5公尺之竹竿，斜靠在垂直地面而高為3公尺的牆頭，有部分伸出牆外。假設竹竿與地面所成夾角為，竹竿伸出牆外部分（不計牆的厚度）於日正當中時，在地面的影長為acot + bcos（a、b為常數），則a = ，b = 。【解答】a = - 3；b = 5【詳解】如圖所示，竹竿 = 5，牆高 = 3而竹竿伸出牆外部分在地面上的投影為，則因為 = 5cos， = 3cot，於是可得 = 5cos - 3cot，故a = - 3，b = 5隨堂練習.距山麓a公尺處有一屋，一人在山坡上恰能見到屋後之一水井。若井和屋的水平距離為b公尺，山坡的傾斜角為a，此人與山麓的距離為c公尺，試求屋高。

17、【解答】公尺【詳解】如圖所示：A為水井，為房屋，E為山坡頂在AEF中，因為sina = c sina，cosa = c cosa在ABC與AEF中，由正切定義可得tanEAF =於是屋高為公尺隨堂練習.海中有一小島，其四周8浬內鋪設水雷，今有一船自西向東行駛，於A點見島在北60°東，繼續行駛5浬，見島在其北45°東，若此船航向不變，則此船是否會觸及水雷？【解答】會觸及水雷【詳解】如圖，令 = x由ABEADCx =6.8 < 8會觸及水雷2.一島在船之北30°東，此船往北行駛20公里後，發現島在南60°東，則船與島之最近距離為公里。【解答】【詳解】

18、設島為原點O，如圖由30° - 60° - 90° 定理知，隨堂練習.九三號軍艦在燈塔L之西南，八一四號軍艦在燈塔L之南15°西，且在九三號軍艦之東南，已知九三號軍艦與燈塔L相距20公里，則兩軍艦的距離為。【解答】公里【詳解】設A點表九三號軍艦的位置，B點表八一四號軍艦的位置，L點表燈塔的位置在LAB中，LAB = 90°， = 20，而ALB = 45° - 15°= 30°故於LAB中，= 20tan30° =公里3.從大馬路旁某大廈一窗口，測得馬路對面另一大廈屋頂的仰角為30°，屋基的俯角

19、為45°，已知馬路寬為40公尺，求對面大廈的高度= 公尺。 【解答】【詳解】DBE = 45°在CBD中，tan30° =Þ=Þ=+=+ 40 =隨堂練習.兩觀測站P與Q間之距離為r，經測量海中一個小島B，發現BPQ = ，BQP =，證明：B到的距離 =。【證明】如圖，作垂直於點C，令 = x = r - xtan =，tan = x tan = (r - x)tanx tan + x tan = r tanx =，而 = x tan =4.站在湖中小島的山峰上，看對岸的高峰仰角是30°，看湖面這高峰的鏡影俯角是45°，所

20、站的山峰高度為250公尺（從湖面算起），則對岸高峰的高度為公尺。【解答】250(2 +)【詳解】如圖所示ÞÞh = 250(2 +)隨堂練習.在水池中立一根竹竿，某人在離水面h公尺高度A測得竿頂的仰角為a，竹竿露出水面部分之鏡影端點的俯角為b，求證這竹竿露出水面上方部分的長度為。【證明】如圖所示，設表竹竿露出水面的部分，令其長為x公尺，表水平面依題意：E關於的對稱點為F，故 = x，又已知 = h故得 = x - h，而 = x + h在ADE中，因為EAD = a，所以tana =又在ADF中，因為DAF = b，所以tanb =¸，則可得xtana + hta

21、na = xtanb - htanbx(tanb - tana) = h(tana + tanb)故可得竹竿露出水面部分的長度為x =公尺5.某人在A處測得高樓頂之仰角為45°，前進100公尺到B處，再測得仰角為60°，則樓高為公尺。【解答】50(3 +)【詳解】設樓高為h，則由圖知h -= 100Þ(- 1)h = 100Þh = 50(+ 1) = 50(3 +)6.山上有一塔，塔頂有一旗竿，已知旗竿長10公尺，今於地面上某點測得山頂、塔頂、旗竿頂的仰角分別為30°，45°，60°，求山高 =公尺。【解答】【詳解】在DA

22、E中，設Þ在CAE中，在BAE中，ÞÞ隨堂練習.小山丘上架設一座高壓電線的鐵塔，塔高30公尺，在觀測點C測得塔頂的仰角為60°，塔底的仰角為45°，若C點至地面的高度為1公尺，且求得塔底離地面的高度為a + b公尺，（其中a，b為正整數），則數對(a，b) =。【解答】(16，15)【詳解】令= x，則= x，而30 + x =xx = 15(+ 1)所求= x + 1 = 16 + 15(a，b) = (16，15)隨堂練習.山上有一塔，塔頂有一旗桿，已知旗桿長為a公尺。今自地面上某點測得山頂、塔頂與旗桿頂的仰角分別是a，b，g。證明：山高h

23、 =。【證明】如圖，令山頂為C，塔頂為D，旗桿頂為E，且 = x， = d， = y在ABC中，d = x tana ，在ABD中，d + y = x tanb 在ABE中，d + y + a = x tang ， - 得a = x(tang - tanb)得d =隨堂練習.一飛機在高度為500公尺的水平面上等速東飛，地面開始觀測此飛機時，仰角為60°，5秒鐘後再觀測時，仰角只有30°，則：(1)此飛機的速率為每秒公尺。(2)由仰角30°觀測到仰角15°是經過秒。【解答】(1) 200(2) 5【詳解】(1)如圖，設由A點觀測到飛機從C點飛到D點tan6

24、0° =Þ= 500，tan30° =Þ= 1500= 1500 - 500 = 1000，故飛機的速率= 200（公尺 / 每秒）(2)在ABD中，= 1000公尺，在ADE中，=1000公尺經過了= 5秒7.有一人在一塔的正東A處，測得塔頂的仰角為60°，他走到塔的正南B處，再測得塔頂的仰角為45°，若A，B的距離為300公尺，求塔高。 【解答】公尺【詳解】令塔高公尺，則公尺，ABC為直角三角形ÞÞÞ8.A，B兩地相距1000公尺，自A點測得正北方一塔頂仰角為30°，自B點測得塔在正東方，塔

25、頂仰角為60°，則(1)此塔高度為 公尺。(2) A點到此塔底之距離為公尺。【解答】(1) 100(2) 300【詳解】(1)如圖，設塔高= x公尺tan30° =Þ=x公尺，tan60° =Þ=公尺ABQ中，+=(x)2 + ()2 = 10002Þx2 = 300000Þx = 100（x > 0）(2)=´ 100= 300公尺隨堂練習.一塔高為150公尺，在塔的北60°東A處和南30°東B處各有一觀測站，測出的仰角分別為75°和45°，試求A、B兩點間的距離。【解答】150()公尺【詳解】如圖所示，塔高 = 150公尺在CDA中， = 150cot75° = 150(2 -)公尺，而在CDB中， = 150cot45° = 150公尺因為ADB = 90°，故由畢氏定理可得= 150= 150() = 150()公尺9.在一公路上之三相異點A，B，C，測得電信局發射塔的仰角分別為30°，45°，60°，若= 100，則發射塔的高度為。 【解答】50【詳解】設發射塔高度為h，則=h，= h