从Fourier级数到Fourier变换.

1、从 Fourier 级数到 Fourier 变换一、级数产生的实际需求：引例：一根单位长的木棍，每日截去一半，现在来看逐日所截下的长度。如：十日内累计共截下的长度11111s102223L121210210 ，一般地， n 日内累计共截下的长度11111sn2223L1212n2n ，如此无限地继续下去，累计共截下的长度表示为111L1Ls22232n21因为这根木棍总也截不完， 所以截下来的累计长度就是无穷个数相加的和。 虽然我们无法把无穷个数加起来， 但是按照近代极限的观点， 逐日所截下的累计长度就等于当 n时，和数111L12122232n的极限，即slim snlim(11n )1nn

2、2对于这类无穷多个数的求和问题，有下面的定义：定义 1 设给定一个数列 u1 ， u2， u3 ， L， un ， L ，则表达式u1u2u3LunL称为无穷级数 ，简称级数，记作 n1un，即unu1u2u3L unL(5.1)n 1其中，第 n 项 un 称为级数的一般项 或通项。 un 是常数的级数称为 常数项级数 ，简称数项级数 ； un 是函数的级数称为 函数项级数 。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初

3、等函数，以及进行近似计算等。二、 Fourier 级数的特点和性质性质 1局部性定理函数 f ( x) 的 Fourier级数在 x 点的收敛和发散情况， 只和 f (x) 在这一点的充分邻近区域的值有关。性质 2可积和绝对可积函数的Fourier系数 an , bn 趋向于零，即lim 1f ( x) cos nxdx0， lim 1f ( x) sin nxdx 0 。nn性质 31sin 2n1 u1sin 2n 1 u积 分(u)2udu ，(u)2du 的 收 敛 情 况 相 同 ， 即02 sin02u2lim 1(u)(11 ) sin 2n1 udu 0 。n0uu22 sin

4、2这里 (u)f ( x u)f ( x u) 2s 。从现代数学的眼光来看， 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。 它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。 在不同的研究领域， 傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅立叶变换属于调和分析的内容。 " 分析 " 二字，可以解释为深入的研究。 从字面上来看， " 分析 " 二字，实际就是 " 条分缕析 " 而已。它通过对函数的 " 条分缕析 " 来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看， " 分析主义

5、" 和" 还原主义 " ，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。 比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子， 而原子不过数百种而已， 相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。 " 任意 " 的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式， 而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类， 这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！ 奇妙的是 ,

6、现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质 , 使得它如此的好用和有用 , 让人不得不感叹造物的神奇 :1. 傅立叶变换是线性算子 , 若赋予适当的范数 , 它还是酉算子 ;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出 , 而且形式与正变换非常类似 ;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数 , 从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解 . 在线性时不变的物理系统内 , 频率是个不变的性质 , 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取 ;4. 著名的卷积定理指出 : 傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算 ,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的

7、傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出 ( 其算法称为快速傅立叶变换算法 (FFT).正是由于上述的良好性质 , 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。自然界的许多现象都具有周期性或重复性，因此用周期函数来逼近它们就极具意义例如，心脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形波和三角波以及由空气分子的周期性振动产生的声波等等都属于周期现象， 它们的合成与分解都大量用到三角级数三、从 Fourier 级数到 Fourier 变换傅里叶级数针对的是周期函数， 傅里叶变换针对的是非周期函数， 本质上都是一

8、种把信号表示成复正选信号的叠加， 都有相似的特性， 因为两种傅里叶表示都利用了复正选信号，这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号表示的特征的方法。四、 Fourier变换的应用众所周知， Fourier 级数作为较 Taylor 级数复杂的一类特殊的函数项级数，是继 Taylor 级数之后，形成了在理论上以及在许多应用方面， 如在电学、力学、声学、热力学等物理学及工程技术中， 都极为重要的函数项级数， 它同 Taylor 级数一样是研究函数的一个有力工具。弦振动方程的初边值问题的Fourier方法考察波动方程的初边值问题：2u22ut 2ax2f ( x, t)t 0 : u( x),u( x)tx 0 : u 0x l : u 0利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问题：2u1a22u102u2a22u2f ( x, t)t 2x2t 2x2( ) t 0 : u1(x), u1(x)( ) t0 : u20, u20ttx 0和 x l : u0x 0和 x l : u201而且显然有 uu1u2 .对于