导数与定积分

1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座38)导数、定积分一课标要求：1 导数及其应用(1 )导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数 概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 通过函数图像直观地理解导数的几何意义。(2) 导数的运算 能根据导数定义求函数 y=c, y=x, y=x2, y=x3, y=1/x , y=x的导数； 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f (ax+b)的导数； 会使用导数公式表。(3) 导数

2、在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求 不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最 大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。(4 )生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中 的作用。(5)定积分与微积分基本定理 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的

3、基本思想，初步了解定积分的概念； 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义。(2 )定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实 际问题要很好的转化为数学模型。三要点精讲1 .导数的概念函数y=f(x),如果自变量 x在x0处有增量lx，那么函数 y相应地有增量 =y=fLy(x0+=x ) - f (x0)，比值 叫做函数y=f (x)在x0到x0+=x之间的平均变化率，即 0= f(X。* 心X)- f(X。)。xx如果当 x > 0时，y有极限，我们就说函数y=f(x)在点X。处可导，并把这个也x极限叫做f (x

4、)在点x 0处的导数，记作f' (x0 )或y'x4。0y f (Xo . ：x) - f (Xo)即 f (x0) = lim = lim -。2 & 3Z说明：(1) 函数f (x)在点x0处可导，是指Ax 、 0时，二X有极限。如果 卫 不存在Ax氐x极限，就说函数在点 x0处不可导，或说无导数。(2) lx是自变量x在x0处的改变量，=x严0时，而Ly是函数值的改变量，可 以是零。由导数的定义可知，求函数y=f (x)在点x0处的导数的步骤：(1) 求函数的增量 y =f (x0+ . ：x) f (x0);(2) 求平均变化率旦=住0旳-心0)；(3) 取极限

5、，得导数f'(x)= l叫.y。2 导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线 y=f (x)在点p( x0 ,f( x0) 处 的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x)在点p( x0 ,f( x0)处的切线的斜率是f'( x0 )。 相应地，切线方程为 y y0=f/ (x0) (x x0 )。3 常见函数的导出公式.4 两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和 (或差)，即： (U 二 V)= u - v.法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导

6、数，即：(uv)u'v uv'.若C为常数则(Cu)'二Cu.法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：U =u'v；uv'(八0)。如 V形如y=f(X ) 1的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求导一一回代。法则：y / I x = y z I U uz | X5 .导数的应用(1) 一般地，设函数 y = f (x)在某个区间可导，如果 f'(x)0，贝V f (x)为增函 数；如果f'(x) ：0，贝U f(x)为减函数；如果在某区间内恒有 f'(x)=0，贝

7、U f (x)为 常数；(2 )曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3) 一般地，在区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值。求函数？(x)在(a,b)内的极值；求函数？(x)在区间端点的值？(a)、？(b)；将函数？(x)的各极值与？(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6 .定积分(1) 概念设函数f(x)在区间a, b上连续，用分点 a= X0<X1<<xl 1<xi<xn= b把区间a, bn等分成n个小区

8、间，在每个小区间务1,片上取任一点Ei(i = 1,2,n)作和式匚=瓦f (Ef(X)在区间i =1x (其中 x为小区间长度)，把门78即厶XT 0时，和式In的极限叫做函数bba, b上的定积分，记作：.f (x)dx，即.f (x)dx = lim f ( E x。aa.这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a, b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：.0dx = C；3 / 13xmdx =xm 1 + C (m Q, m 1)；m +11dx= In x + C;xexdx = ex + C；xx aa dx =+

9、 C; cosxdx = sinx+ C；In asin xdx = cosx+ C (表中C均为常数)。(2) 定积分的性质bb kf (x)dx = k f (x)dx (k 为常数)；aabbb f(x) 士 g(x)dx二 f(x)dx 士； g(x)dx ；a' aabcbf (x)dx = a f (x)dx + C f (x)dx (其中 av cv b)。(3) 定积分求曲边梯形面积由三条直线 x= a, x= b ( a<b), x轴及一条曲线 y= f(x) b(f(x) > 0)围成的曲边梯的面积 S f (x)dx。a如果图形由曲线 y1= f#x)

10、, y2 = f2(x)(不妨设f1 (x)>f2(x)> 0),及直线x= a, x= b ( a<b)围成，那么所求图形的面积bbS= S曲边梯形 amnb S 曲边梯形 dmnc = f1 (x)dx f2(x)dx。LaLa四典例解析题型1:导数的概念1 2例1 已知s= gt , ( 1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒各段内21 2s =s(3.1) -s(3)g3.121 2-尹3= 0.3059：s指时间改变量。s 0.3059辻 1= 3.059。平均速度；(2)求t=3秒是瞬时速度。解析：(1) 3,3.1 |.进=3.1-3 =0.1

11、,氏指时间改变量;v =5 / 13其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。（2 ）从（1）可见某段时间内的平均速度-s-.s随变化而变化，.vt越小，越接.4.st近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是.讥）0时，一的极限,AtsV= lim t = lim.X7.jos(3：t) s(3)：t二 lim02g(3几知2At(3)7 / 131=2? 1叽0 （ 6+ ：t）=3g=29.4（米 /秒）。题型2 :导数的基本运算例 3. (1) 求 y = x(x21 13)的导数;x x(2

12、 )求y 二(x 1)(11）的导数;x x(3)= x-sin cos-的导数;2 22(4)y= x的导数;sin x(5)y= 3x2x、x5x-9的导数。解析:y = 3xx3'(2)先化简，y=Qx_ Vxx:-11-x21x_2-x"22-x-22T2、xxy = x -sin cos22先使用三角公式进行化简.1=x - sin x2二 x(sin x)二 1 cosx.2(4) y'2 2 2(x )'sin x-x * (sin x)' 2xsin x-x cosx ；sin2 xsin2 x3(5)y = 3x2 x +5 19x3

13、二 y'=3 * (x2 ) x7 +5z-9i(x2 )7 =3- 1 -x2 1 + 0 9 * () x 221 .x sin x217 / 13=9Jx(1 + A)_1 °2x2点评：(1 )求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导， 这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可 以避免使用商的求导法则，减少运算量。例4 写出由下列函数复合而成的函数：2(1) y=cosu,u=1+ X (2) y=lnu, u=lnx解析：(1) y=

14、cos(1+ X 2)；(2) y=ln(lnx)。QII I点评：通过对y= (3x-2 )展开求导及按复合关系求导，直观的得到yx = yu ux 给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型3 :导数的几何意义例5. (1)若曲线 y=x4的一条切线丨与直线x，4y-8=0垂直，贝U l的方程为( )A. 4x-y-3=0 B . x 4y-5 = 0C. 4x-y 3 = 0 D . x 4y 3 = 0(2) (06全国II )过点(一1, 0)作抛物线y =x2 X 1的切线，则其中一条切线为( )(A) 2x y 2=0 (B) 3xy 3=0 (C) x y1=0 (

15、D) x-y1=0解析：(1)与直线x 4y - 8 = 0垂直的直线丨为4x-y，m=0 ,艮卩y=x4在某一 点的导数为4,而y'4x3，所以y=x4在(1 ,)处导数为4,此点的切线为4xy 3=0, 故选A;(2) y =2x 1 ,设切点坐标为(Xo，yo),则切线的斜率为2 Xo 1 ,且 y° =Xoxo1，于是切线方程为y- X。- X。-1 = (2 xo 1)(X- Xo)，因为点(一 1,0)在切线上，可解得 Xo = o或4,代入可验正 D正确，选D。点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例6. (1)半径为r的圆的面积S(r) =7： r2,周长C

16、(r)=2二r,若将r看作(o ,+ ) 上的变量，则(2)' = 2nr,C3式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆 的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(o ,+ )上的变量，请你写出类似于O 1的式子：C?式可以用语言叙述为：。1 2(2) (o6湖南卷)曲线y 和y=x2在它们交点处的两条切线与X轴所围成的三x角形面积是。解析：(1) V球=4 二 R3，又(-7： R3) = 4二 R2 故0 式可填(4 - R3) =4二 R2，用3 33语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；1 2(2) 曲线y 和y = x在它们的交点坐标是(1, 1),两条切

17、线方程分别是 y= x+2x3和y=2x 1,它们与X轴所围成的三角形的面积是-o4点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很 好的效果。题型4:借助导数处理单调性、极值和最值例7. ( 1)对于R上可导的任意函数f (x),若满足(X 1) f ( X)却，则必有()A . f(o)+ f(2)：2f(1)B. f ( o)+ f( 2)乞2f(1)C . f( 0)+ f( 2)_2f(1)D. f (0)+ f (2) 2f (1)(3) 已知函数f x二匚Xe，x。(i)设a 0，讨论y = f x的单调性；(n)1 -x若对任意x，0,1恒有f x1,求

18、a的取值范围。解析：(1)依题意，当x_1时，f (x) _o,函数f (x)在(1 ,+：)上是增函数； 当X ：1时，f ( x) _d0, f (x)在(一 ：，1)上是减函数，故f ( x)当x= 1时取得最小值, 即有 f (0)扌(1), f (2(1),故选 C;2ax +2a(3) ： ( I )f(x)的定义域为(一m ,1) u (1,+ m)对 f(x)求导数得 f '(x)= eax°(1 x)(i )当 a=2 时，f '(x)= (1 在(m ,1), (1,+ m ).为增函数；2x2 2 e一2x, f '(x)在(一m ,0)

19、, (0,1)和(1,+ m )均大于 0,所以 f(x) x)a 2, x2=片；(ii)当 0<a<2 时,f '(x)>0, f(x)在(a ,1), (1,+ m)为增函数.；a2 a 2为(iii)当 a>2 时，0<-2<1,令 f '(x)=0 ,解得 xi = ax(-m，仔/a 2/a 2(7 a NT)(1,+ m )f '(x)+一+f(x)/当x变化时,f '(x)和f(x)的变化情况如下表：a2,1), (1,+ m )为增函数，f(X)在(一f(x)在(-m , / 守,(减函数。(H )( i )

20、当 0<aW 2 时，由(I )知：对任意 x (0,1)恒有 f(x)>f(0)=1 ;1 a 2(ii )当 a>2 时，取 xo= (0,1),则由(I )知 f(Xo)<f(O)=1 ；ax>1且e 1,1+x(iii)当a< 0时，对任意x (0,1),恒有 "Ix1+x1+x得：f(x)=e ax>>1.综上当且仅当 a ( m ,2时,对任意x (0,1)恒有1 x 1 xf(x)>1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例8. (1) f(x) =X3-3X2 2在区间

21、1-1,1 上的最大值是()(A) 2(B)0(C)2(D)4(2)设函数 f(x)= 2x3 -3(a -1)x2 1,其中 a-1. (I)求 f(x)的单调区间；(n)讨论f(x)的极值。解析：(1) f (x) =3x2 -6x=3x(x-2)，令 f(x)=O可得 x = 0 或 2 (2 舍去)， 当一Vx ：0时，f (x) 0,当0：x叩 时，(x) ：0，所以当x= 0时，f (x)取得最大值 为2。选C;(2)由已知得 f'(x) =6xx(a-1) 1，令 f'(x)=0，解得为=0,X2 =a-1。(I)当 a =1 时，f (x) =6x2 , f(x

22、)在(-： -)上单调递增；当 a 1 时，f (x) =6x |_x-a-1)I, f '(x), f (x)随 x 的变化情况如下表：x(皿,0)0(0,a-1)a 1(a 1,畑)f'(x)+00+f(x)匚极大值极小值匚从上表可知，函数f (x)在(-：,0)上单调递增；在(0,a-1)上单调递减；在(a -1j：)上单调递增。(n)由(I)知，当a =1时，函数f (x)没有极值；当a 1时，函数f (x)在x =0 处取得极大值，在 x=a-1处取得极小值1_(a-1)3。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用 数学知识解决实际问题

23、的能力。题型5 :导数综合题例9 设函数f (x) =-X3 3x 2分别在为、X2处取得极小值、极大值.xoy平面上点 A、B的坐标分别为(x1, f (x1) > ( x2, f (x2),该平面上动点 P满足PA?PB=4,点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点.求(I) 求点A B的坐标；(II) 求动点Q的轨迹方程.解析：(I)令f(x) = (-x3 3x 2-3x23 = 0 解得 x 二 1 或x - -1 ；当 x-1时,f(x) ： 0 ,当 一1 ： x ： 1时,f (x)0 ,当 x 1 时，f (x)： 0。所以，函数在X - 一1处取得极小值，在X =1

24、取得极大值，故Xi = -1, X2 =1,f(1)=0, f(1)=4。所以，点A、B的坐标为A（ -1,0）, B（1,4）。(n)设 p(m, n), Q(x, y),2 2PA * PB - -1 - m, -n * 1 - m,4 - n =m -1 n -4n=4，kpQ-1，所以2y -n 1=x - m 2又PQ的中点在y =2（x -4）上，所以消去m,n得x -8 i y 2 2 = 9。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型6 :导数实际应用题例11. （06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部 的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长 为3m的正六棱锥（如右图所

25、示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心。1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值 的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO为X m,则由题设可得正六棱锥底面边长为,32 （X -1） 8，2x-x2 （单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：R1）:32 （x -1）2 =6亡匕.8 2x-x2）2 =爭（8 2x-x2）。帐篷的体积为（单位：m5）:V(x)二込(8 2xd)町-1) 1 止2卜32(16 12x -x3)求导数，得V （x）二于（12亠）；令V (x) =0解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当 1<x

26、<2 时，V(X). 0 ,V(x)为增函数；当 2<x<4 时，V(X):：: 0 ,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO为2m时，帐篷的体积最大。点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。 题型7:定积分例13.计算下列定积分的值(1)：(4x-x2)dx ； ( 2) ：(x-1)5dx ；jiji(3) o2 (x sin x)dx ； ( 4)2_.cos2 xdx ;"2解析：(1)1 6 5 2 5 1 621(2) 因为(x 1)6" = (x 1)5，所以(x1)5dx = 6(x 1)66；(3)1 +cos 2sJ_sCOS zdK =寸血兰12x2K=I1241 22x为时间t内通过的距离，媒质例14. (1) 一物体按规律 x = bt3作直