线性代数期末考试重点

1、 线性代数的主要知识点 n 阶行列式展开式的特点：共有 n!项，正负各半; 每项有 n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； 每一项的符号为（-1） m行）列） 3. 计算方法： 1. 对角线法则 2. 行列式的按行（列）展开 （另有异乘变零定理） 第二部分矩阵 1. 矩阵的乘积 注意：不满足交换率（一般情况下 不满足消去率（由 由 AB=0 不能得出 若 AB=BA 则称 2. 矩阵的转置 3.矩阵的多项式 设W（X）=a0 + aix屮+anxn, A 为 n 阶方阵，则 W(A) =aoE+a1A+ +anAn 称为 A 的 n 次多项式。 对与对角矩阵有关的多项式有结论如下: (1)如果

2、A = PAP，则 W(A) =aoE +a1A+anAn =PaoEP+Pajpd 十+panP，= P(A)P (2)若 A =diag(ai,a2,an)，则 (A) = diagWa),申(aj) 4. 逆矩阵：n阶矩阵 A, B，若AB = BA = E，贝 U A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵 A 可逆 H A HO ； =r（A） = n （或表示为R（A） = n ）即 A 为满秩矩阵; -A 与 E 等价； U A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积; -A 的列（行）向量组线性无关；第一部分 行列式 概念： 1. 2. 元素的余子式以及代数余子式 Aj =(-1廿Mj 行列式的

3、性质 AB H BA ） AB=AC 不能得出 B=C） A=0 或 B=0 A 与 B 是可换矩阵 满足的法则：（A +B）T =AT +BT ,(kA)T =kAT ,(AB)T = BTAT U A的所有的特征值均不等于零 求法：伴随矩阵法： A，= 初等变换法rEW斗 g 或幼初等 性质：（1）矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的 （2） 设A是n阶矩阵， 则有下列结论 若A可逆， 则A二也可逆， 且（A ） =A 若A可逆，则AT也可逆，且（AT），=（A）T 若A可逆，数k H0，则kA可逆，且（kA） 若A.B为同阶矩阵且均可逆，则 A.B也可逆, 5. 方阵 A 的行列式: AIA

4、 伴随矩阵具有性质： AA* = A* A = AE * d * -! I * -! -! * A =|A ”A (A)4= A (A ) = (A )等 A 7.初等矩阵：由单位矩阵 E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为： E（i（k） （E 的第i行乘以不为零的数 k ） E（ij （k）（把 E 的j行的k倍加到第i行上） 初等矩阵具有下述性质： 初等矩阵的转置仍为初等矩阵； 初等矩阵都是可逆矩阵， 其逆矩 满足下述运算规律（设 A,B为n阶方阵，A为数） 6.伴随矩阵：行列式 入1 A12 A21 A22 An A2n A的各个元素的代

5、数余子式 Aj所构成的如下的矩阵 ，称为矩阵 A的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） (1) E（i, j）（互换 E 的第 i、j 列） 初等列变换 i E - * ! 2 E 是单位矩阵 AB| =|A B 常见的公式有： A* =|A (2) 阵仍为初等矩阵且 E(i, j)，=E(i, j)、Ei(k)d =Ei(k7)、Eij (k)，= Ei, j (k); 把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上去；记为 行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系: 9. 阶初等矩阵； 阶初等矩阵

6、B,就称矩阵 A 与矩阵 B 等价。 A 与 B 行等价； 设A, B为m X n矩阵 A与B行等价=3 m阶可逆矩阵P，使得PA = B A与B列等价 U 3 n阶可逆矩阵Q，使得AQ = B A,B等价=3 m阶可逆矩阵P， n阶可逆矩阵Q，使得PAQ = B 利用矩阵的初等变换解矩阵方程 初等矩阵的行列式分别是 -1, k, 1。 &矩阵的初等变换：初等行变换 :下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 对调两行; 记为 Arj 对换第i与j行 以数k H0乘某一行中的所有元素; 记为n X k第i行乘k ri + krj第j行k倍加到第i 设 A 是一个 mx n矩阵, A 的左边乘以相应的

7、 A 的右边乘以相应的 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 矩阵的等价：如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵 且若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵 B,就称矩阵 若仅经过初等列变换，就称 A 与 B 列等价。 AX =B , X = AB，可以: （A 治）一初岂行至换（E：AB） XA =B , X =BA，可以: （AT治T） 一 初等J行马（E XT），从而解出 X。 10.矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为 r(A)或 R( A) 初等行变换 求法：A - 了行阶梯形矩阵 B，R（A）=B 的非零行的行数。 相关公式：若 A 是mXn矩阵，则

8、 0R(A)兰 minn,m R(AT) =R(A) 若设A为mn矩阵，Pm ,Qn均为可逆矩阵，则r（A）=r（PAQ） ，贝y maxR(A), R(B) WR(A,B) WR(A)+R(B) 若A,B均为mn矩阵，则R( A + B)乞R( A) + R(B)R(A) = R(B) R(AB) min( R(A), R(B) 若 Am刈B叹=O，贝y R(A) + R(B)S 向量 P 能由向量组 A 线性表示二 方程组+*22十Xmam = P 有解 X2 11.分块矩阵：主要记住： (1)分块对角矩阵：设 A为n阶方程，若 A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵

9、，且非零子块都是方块，即 A = As丿 其行列式与逆矩阵具有下述性质: |A =|A|A2|As 第三部分向量组 1.线性组合：给定向量组 A： a 1,(X2,，ctm，对于任意一组实数，称向量 kk- kmm为向量组的一个线性组合， k1,k2,km称为该线性组合的系数。 A2 若A H0,(i =12，S)，则A H0，故A可逆，并有 :A AJ A； As丿 设A是m阶方阵，B是n阶方阵”且 A = a B= b,则 A=ab 另有：(2)设有分块矩阵H = A 其中A, B分别为m阶、 P B n阶可逆矩阵，则矩阵 H 可逆且宀可 -Afl (3)设有分块矩阵 H*即其中A,B分别

10、为m阶、n阶可逆矩阵，则 矩阵H可逆且H 点AB0 R(AB) m，使得 则向量 P 是向量组 A 的线性组合，也称向量 P 可以由向量组 A 线性表示P = )1% + 几2口2 +Amm + u 矩阵 A=(a 1卫2,，ttm )的秩等于矩阵 B=(a1,a2,，dm , P )的秩 2.等价：设有两个向量组 A 口1,口2,，Gm 及 B： P1,卩2,，氏，若 B 中的每个向量都可 以由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能互 主要结论： (1)矩阵 A 与 B 若行等价，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价; 若矩阵 A

11、与 B 若列等价，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价 (2)向量组 B: b1,b2/- bl能由向量组 A：a1,a2 am线性表示二存在矩阵 K，使得 B=AK 二 方程 AX=B 有解二 R(A) = R(A,B) (3)向量组 A: ai,a2,am 与向量组 B： bi,b2,b 等价二 R(A) = R(B) = R(A, B)， 其中，A,B 是向量组构成的矩阵 (4)向量组 B: b1,b2 - b能由向量组 A： a1,a2/- am线性表示，则 R(bi,b2,bi)ER(ai,a2,am) 3. 线性相关与线性无关 对向量组 A： %巴2,Qm，如果存在不全为零的一

12、组数 k1,k2,km，使得: k10t1 +k2a2 +kmm =0 则称向量组 A 是线性相关的，否则称为线性无关， 也就是说当且仅当k1,k2,，km都是零时才能使(川)式成立，则 旳,，dm线性无关。 主要结论: 口1,口2,，Otm线性相关二 齐次线性方程组有非零解 二 它所构成的矩阵 A = am )的秩小于m ； (3) m 个 n 维向量，当维数n m时，向量组一定线性相关。特别地, 线性相关；相线性表示，则称这两个向量组等价。记为: (口1,02,，am)B( p1,p2； ,Ps) (1)向量组 同样 线性无关二 仅有零解二 R(A) =m (2)门个 n 维向量 a4 =

13、(a11,a12, ,a1n (a21 , a22 , ,a2n) n (an1,an2, ann ) aii ai2 a1n 线性相关二行列式 a21 a22 a2n =0 , 线性无关二行列式 an1 an2 ann n +1个n维向量必 主要结论：(1)如果向量组 ，叫与向量组 匕*2,，Pt等价，则它们的秩相等(4 )若向量组 A： a 1,(/2,，Otm 线性相关=向量组 B： (/1,口2,，dm,Gm 屮一定线性相关; 反之，向量组 B 若线性无关=向量组 A 线性无关 或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关; (5 )若向量组 A: a 1,2,，t

14、tm 线性无关，而向量组 B： oha?,，otm，P 线性相关=P 必能由向量组 A 线性表示，且表达式唯一 (6)若 r 维向量组 线性无关，则在每一个向量上再添加 n-r个分量所得到 的n维向量组a11,ot21，otm1也是线性无关的 (7)向量组A: a 1,(2,，otm 线性相关 U 其中至少有一个向量是其余 m-1个向量的线性 组合；线性无关二 每一个向量都不能由其余向量线性表示。 (8)如果向量组 A: a 1,口2,，ots 可由向量组 B: p1,p2,，卩t线性表示，并且 SAt 二 向 量组 A: a 1,5，cts线性相关; (逆否命题：A : %,2,，Ots线性

15、无关且可由向量组 Bp1,p2,Pt线性表示=St ) 4.最大(极大)线性无关组：设有向量组 A,如果在 A 中能选出r个向量a 1a2ar , 满足(1)向量组Ao : %,(/2,，线性无关; (2)向量组 A 中任意r+1个向量(如果 A 中有r+1个向量的话)都是线性相关的 那么称口1,口2,Qr 是向量组 A 的一个最大(极大)线性无关部分组 条件(2)也可以改为：向量组 A 中任意一个向量都可以由 a1a2 ar线性表示, 结论： 一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个 一个向量组的极大无关组不是唯一的 若向量组01,2,，s线性无关，其极大无关组就是其本身

16、 任一向量组和它的极大无关组等价 向量组ai,a2,，Gs中任意两个极大无关组等价 5.向量组的秩：向量组(/1卫2,，叫中极大无关组所含向量的个数 r称为向量组 A 的秩。 1,52, 记为：r (叫冬，叫) 2, 1,2, 7.向量的内积: + y, z= X, zy,z 1 当 x = o 时，X,x = o ;当 xo 时，xx.o 施瓦茨(Schwarz)不等式X, y X, x】y, y 向量的正交-当X, y】=0时，称向量X与y正交. (5)正交向量组 两两正交的非零向量组称为正交向量组 正交向量组的性质(2)如果向量组 创，,，Gs 可由向量组01,02，氏线性表示，且 1,

17、口2,，业)=r , r(p1, p2,，Pt) = P，则 rn 二 f aii 勾2 ain 若记：a i ：= a2i b h ,a 2 = a22 b h ，叫= a2n b h ,b = b2 b 1 帥丿 m2丿 Smn丿 jbm 则方程组的矩阵表示形式为: ，则方程组的向量形式为: (6)施密特(Schimidt 取 d =a1; b2 =a2 bi,b2,br两两正交, 且bi,b2,br与ai,a2,ar等价 线性方程组 J aiiXi +ai2X2 a2iXi +a22X2 + +ainXn =bi + a2n Xn = b2 2n n 2其系数矩阵与增广矩阵分别记为: Ax = b Xi% + %22 +Xb 判定定理: n元非齐次线性方程组 r(A) = r(A) 且有唯一解 U r(A) =r(A) = n ，有无穷多解 U r(A) = r(A) V n I a2i Xi + a22 X2 对应的齐次线性方程组 aiiXi +ai2X2 +ainXn =0 屮+ a2nXn =0 称谓原方程组的导出组。 amiXi +ami2X2 片+ amnXn =0 有结论：n元齐次线性方程组仅有零解 U 系数矩阵的秩 r( A) = n n元齐次线性方程组有非零解 二 系数矩阵的秩r(A)： n 若系数矩阵 A