和差化积和积化和差

1、龙文教育学科教学案教师：赵仁廷学生:董笑阳日期：2012-12-02星期:旦时段:8 : 00-10 ：00课题三家函数2学 目标 与 考点<7 八、 分析1. 理解积化和差公式的推导过程，注意其他公式的产生只是它的变形2. 掌握积化和差的计算和运用，大纲中属于核心 C要求内谷3. 理解辅助角公式的由来并会运用4. 了解三角变形的角变形技巧，是三角变形的核心学 情分 析这部分内容是三角函数的核心内容，是处理三角运算的核心，体现着很多的 转化思想，含有咼次向低次转化，不统一向统一，化繁为简的诸多等价转化 核心思想，是化三角函数类型为单一三角函数名函数的基础，其地位是承上 启下的作用。理解余

2、弦和差化积公式推导的过程是数形结合的完美体现，同 时回忆前面所学的许多内容都是数形结合得到的定义，要求能够理解许多的 公式的原始公式，定义是数形结合得到的结果。对公式要求不但会正用，还 要会逆用，变形用，甚至连用。学 习重 难点1. 理解积化和差公式的推导过程，注意其他公式的产生只是它的变形2. 掌握积化和差的计算和运用关键点：了解三角变形的角变形技巧，是三角变形的核心 遗忘点：1的妙用教学方法授课，典型题讲解，强化练习教学提纲与过程第一部分:教学提纲（一）授课（45分钟一55分钟）（二）典型题讲解（45分钟一55分钟）（三）课堂练习（30分钟一35分钟）第二部分：教学过程 和差化积公式的推导

3、：一、公式体系1、和差公式及其变形：13 / 9(1)sin (：£ 二)二 si nt cos I -二 cos 篇 sin :sin： cosl：二cos： sin ： = sin(圧二)cos(、£ 二 I') =cos： cosl： -sin ： sin :cos： cosl： -sin ： sin 一： = cos© 二 l:)tan(二 I )tan :tan 1：,=tan(:亠，)(1-tan 二 tan :)tan :-ta n -二 tan(- I ')(1tan ： tan -)2、倍角公式的推导及其变形:(1) si n2：

4、 - si n(：) = si n ： cos.工"cos:二 2sin ： cos:二 sin ： cos： = 1 sin2：2二 1 zsin2： - (sin：二 cos： )2 cos2：二 cos(：: ) = cos：cos：- -sin ： sin:2 . 2 =cos 二一sin :=cos2： - cos2 < -sin2 ：= (cosx ' sin ： )(cos：-sin ：)2 2：= cos2： = cos -sin :-二 cos2 ： -(1 - cos =2 cos2 ：- -1项得1 cos 2：1 cos2：2cos :a【因为：

5、是的两倍,2所以公式也可以写成a -12因为4是2 -的两倍,c2cos ： = 2 cos2 a或 1 cos ： = 2 cos 一2所以公式也可以写成2cos4： = 2cos 2：-1 或 1 cos4-2=2 cos 2 -1 cos：2«=cos1 - cos 4-2cos 2-2 2=cos2： =cos sin :2 2=(1 -sin ： ) - sin : =1 2sin2 :21 -cos2：二 2sin :a【因为:-是 的两倍，所以公式也可以写成22 «cos - =1 - 2 sin 一22或 1 - cos ：二 2 sin1 - cos：.

6、2 :sin2 2因为4是2的两倍，所以公式也可以写成2 、 2 、cos4: =1-2sin 2:或1-cos4: = 2sin 2二或1 -cos4:. 2 r:sin 2:】2辅助角公式推导的应用：方法借助下面的理论3和1的妙用有关。(1) N1H(3) 2 %in « + 2 cuittr = (4) win 2a cos 2a =-Kin cr -+ cox itCD2 Kin a 2 伍cot a1的妙用：却论':%in +COS '£1=1应用恬例例1已知住址第-魏限角'叱简下式Vl + 2<n arcus or例2：已如tana

7、 - 3.求macosa的创別洽二t urn = 1 ( tar45' = I )4应用举例dr m J + urn 15"例3：床位苻1 tan 13理论三I ?g«sine + 6costf的三角函数式的化简与求爆值间题典型例题：例 1: sin20"sin50 ；+cos20©sin40"=tan280 tan3203(1 tan280 tan320)思维点拨：对具体求值问题，往往需要凑特殊角去解决求值问题。变形 1: sin20"cosa+cos20"sina = b,sin(a+5&)=变形2： t

8、an20° 十tan40° +亦tan20° tan40° =.变形3 :已知 都是锐角，sin - - 4,cosp -05，求sin 1的值513变形4 :已知a, P都是锐角，sin a =兰5, cos B = *10，求角a + P的弧度 510变形5: ABC中，角A、B满足(1 tan A)(1 tanB) =2，求A+B的弧度例 2:已知 cos(= a) =3, = vg < ,sin(匹 + E) =< ,求sin(o + 0)的值45 44413435-12-变形1：已知 cos(-：) ,si n( - l-：,),0

9、1 , 求 sin (：；亠J 的值454134、卄/3 二3 二3-12-变形 2 :已知 cos( ),sin( ：)= ,0,求 sin(很亠卩)的值45 444134思维点拨：对于涉及三角变换求值问题，要抓住角的变形，去和理的凑，注意角的关系，如-(-：- ：，：=(二-(：,) p _)等等。当然可以一步凑到位，如44果不能可以凑到可以运用诱导公式去求解。切记角范围影响三角函数的取值。例3:弦化切，即已知tan，求与sin, cos相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以cos：或cos2 等(1)已知 tan ： - 2，求sin：- -5cos：3sin 二、cos-：1 si

10、n 2篇;" cos2：1 sin 2：- -cos2-：i3sin 2cos 的值(2)切化弦，再通分，再弦合一(1)、化简： sin50°(1 + J3tan100)(tan100-1)0cos100sin 35sin 2 xx(2)、证明： (1+tanxtan )=tanx2cosx2例3.具体求值问题:(1)sin7o cos15° sin8° cos7° - sin15o sin8o(2) sin220o +co$ 80° + j3sin20o cos80o思维点拨：对于型如 a sin x不b cosx，可化为 ja匚也

11、能达到和差化积的形式之目 的， 对于 高 次 幕 需 要 降 幕 去 处理 问 题 分析：（1）屮注盘厂与1亍和犷的黄系；2）屮疑常见的想法是降话扩附及积化刚差的应用.但对偶式的应用可能便问題曼19更简单.2cos4 x-2cos2 x -例4:化简：2H2 兀2tan(- x)sin (才 + x)思维点拨：对角、函数名、式子结构化同例：5 :综合运用：化简 2si n22 cos4巩固练习:1、sin 20'cos40” cos20'sin 40"的值等于()1A.4B.2C. 122、若 tan =3 ,tan则tan（- J等于（）3、5、6、A. -3B.

12、31C.31D.3已知 0 ： A ：2且 cos Ah3 ,5那么sin2A等于（）A.257B.2512C.2524 D.25已知tan(o + P) = 2,tan( P53B.22ji-4)131813C.221二,则tan（一）的值等于 443D.18sin 165o=C.6.27、sin 14ocos16o+sin76ocos74o 的值是(.3A .2，3C.2D.- 14&已知 x ( 一,0) , cosx ，则 tan2x =25JTA.24B.9、sinji3 cos 一的值是1212A.0B.7( )724C.247247.5兀2 sin 1210、21 -ta

13、n 75的值为tan75A.2、3B.2,33C.-2 3D.2 Tl211.化简 cos a2cos - sin ： -1(1)求 2_ 的值；(2)求cos 一：的值.2 sin("、：)() -sin2()等于4412.sin89 "cos14° sin 1 °cos76° 二13.“ 1 1已知圧三(0, 4), ：(°,二),且 tan(:*),tan ：JI求 tan(2：-J的值及角2：14.求值:2sin50 sin80 1 3ta n102.2.d 2sin 50 cos50(1). (2)sin 20、cos 50 sin 20 cos503 12订15.已知 tana =-，cos(