73刚体的定轴转动

1、7.3刚体的定轴转动主要内容:1. 刚体定轴转动的转动惯量：lz=v mir, Lz =lz；：z22. 平行轴定理：I = lc md3.垂直轴定理：ll x ly （适应于厚度可忽略的薄板 ）4.定轴转动的角动量定理和转动定理:'厂1zplz'7.3.1（ 1 ）用积分法证明：质量为 m长为L的均质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量等于君mL2 ；（2）用积分法证明:质量为m、半径为R的均质圆盘对对通过中心且在盘面内的转轴的转动惯量为扌mR2解：（1 ）细杆的线密度:i /2i/2x2 dx = m x2 i丄/2L/2dx 二i 3二召 mi2-? iP x(2)在

2、坐标x处取细杆状质元，dm 二冀 2 . R2 -x2dx = .；R2、R2 -x2dx它对x轴的转动惯量：xdl Vdm0R2 -x2)2 =3dm(R2 -x2)=嚴(R2 -x2)3/2dx3応R整个圆盘对x轴的转动惯量：| 驾 （R2-x2）3/2dx3HR * '/-R为了能求出积分，作如下变换：x = Rcosdx - - Rs in v223/2222t、3/22.2十3/23.3 .(R -x )(R - R cos -) (R sin T) R sin据三角函数公式：.21 - cos221 cos2sin, cos 二2 2310代入上式:2mR3sin笃( Rs

3、inr dr)=雲sin4二 dT.sin4v -(今h 弓(1 -2cos2二 cosQ)= 4(1 2 cos 2丁 :1 芳4?|)=扌(寻-2 cos 2- 2cos4)I = 2m 4d -2cos cos)d2JIJIH=聲 2 dv - cos2)d2v 8 cos4d4二_ ooo二聽(3二-sin2州o： 8sin4|。)弓mR27.3.2图示实验用的摆，l=0.92m, r=O.08m , m=4.9kg , mr=24.5kg，近似认为圆形部分为均质圆盘，长杆部分为均质细杆求对过悬点且与摆面垂直的轴线的转动惯量.解：细杆对转轴的转动惯量：2“249疋0 9222I = 3

4、 mll = =1.38(kg m )圆盘对轴的转动惯量(平行轴定理)12 = 1 mrr2mr (lr)224.5 0.082224.5 (0.92 0.08) 24.58(kg m2).I 汀 l2 =26.5(kg m2)7.3.3在质量为 M，半径为R的均质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.解：大圆盘对过圆盘中心 o且与盘面垂直的轴线(以下简称o轴)的转动惯量为 I =1MR2.由于对称放置，两个小圆盘对o轴的 转动惯量相等，设为I'圆盘质量的面密度 d =M/ n R2,根据平行轴 定理，I=(=r2)

5、r2 (=r2)G)2 二器週Mr2设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”l”=l ZiyMR2 -将一舟 Mr2(R2 -r2 -2r4/R2)734按图中舞蹈姿势和简化模型估算运动员对点线轴的转动惯量各部分均按均质圆柱体 或球体考虑足尖手尖可略而不计各部分尺寸根据自身情况由自己设计，例如各圆柱体 长短粗细及球体半径等，设计时参考下表7.3.5 一转动系统的转动惯量为I = 8.0kg力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为 需用多少时间？m2，转速为 =41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止解：制动闸瓦对轮的摩擦力为：f - N

6、 = 0.4 392 =156.8(N)，方向沿轮的切线方向。两制动闸瓦的摩擦力对轮轴的力矩：M =2 fr = 2 156.8 0.4 =125.44(Nm)，为常数。由角动量-冲量定理：Mt = i(0 - I 二 o) = I' o8.0 41.9125.44:2.67( s)7.3.6均质杆可绕支点 O转动.当与杆垂直的冲力作用某点 A时，支点O对杆的作用力并 不因此冲力之作用而发生变化，则 A点称为打击中心.设杆长为 L,求打击中心与支点的 距离。解：杆在冲力F的力矩的作用下绕则由定轴转动的转动定理：O点作定轴转动，设 F的作用点A距O点的距离为x,F x = I ：mL2

7、：在撞击的瞬间，杆的质心的加速度aC的方向沿水平方向，设支点O对杆所产生的水平方向的分力为f，则由质心运动定理:F - f 二 mac (2)ac 二 2 L：(3)由(1)、(2)、(3)式解得:欲使f=0,得x = 2 L7.3.7现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量用轻线且尽可能润滑轮轴两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，且m2=0.5kg .滑轮半径为0.05m .自静止始，释放重物后并测得 5.0s内m2下降0.75m 滑轮转动惯量是多少 ？解：T2 t1L111a'Fam2g 1卜migF隔离m2、mi及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、mi分别应用牛顿第二定律:m2g

8、T2 = m2a (1); T m1 = m1a (2)对滑轮应用转动定理：（T2 _TJR = I 1 = la/R （3）质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：l = 4 at2，2 2 2.a=2.：y/t =2 0.75/5.00.06m/s由 、可求得 T2 -T (m m1) (m2 m1)a ,代入(3)中，可求得2I 二(m2 - mi )g/a - (m2 mJR，代入数据：I =(0.04 9.8/0.06 -0.96) 0.052 =1.39 10kgm27.3.8斜面倾角为 ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩M，通过绳索牵引斜面上质量为 m

9、的物体，物体与斜面间的摩擦系数为，求重物上滑的加速度.绳与斜面平行，不计绳质量.解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中T为绳中张力，f=卩N为摩擦力，重物上滑加速度与鼓轮角加速度的关系为a=3R对重物应用牛二定律：T-T-N- mgsin 0 =ma, N=mgcos 0，代入前式，得对鼓轮应用转动定理：t - TR=I 3 =Ia/R 由联立，可求得重物上滑的加速度：R R2mg(cos sin 丁)2I mR7.3.9利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的垂直距离为r.为减小因不计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物mi，从距地面高度为 h处由静止开始下落，落地时间为t|

10、,然后悬挂质量较大的重物m2,同样自高度h下落，所需时间为t2,根据这些数据确定轮盘的转动惯量.近似认为两种情况下摩擦力矩相同.mi,m2- f = I ： 2， 两式相受力及运动情况如图示： Trmg解：隔离轮盘与重物,T为绳中张力，a= 3 r对轮盘应用转动定理:Tj 一 . f = I 打，T2r(T2 Ti)r =1 (辽 一 »)，I =仃2Ti)r/2 - S)对重物应用牛顿二定律：m1g -T1 = m1a1 = m1r r,m2g -T2可得：T2= (m2 -mjg - r(m2 :I =(m2 mjgr -(m2 ： 2 - mi ：Jr2/( ： 2 - -1)由运动学公式：h 二舟a2 二舟a2t22, q =2h/t,2h ： 2h ： 2ha22，2，'22，将角加速度代入中，得:t2 r