两类流体问题的数学和数值分析

1、两类流体问题的数学和数值分析1973 年, 一篇题为解定常Stokes 方程的协调和非协调元有限元方法的论文23 中首次提到了 Crouzeix-Raviart (C-R)有限元 . 这是一个定义在三角形 / 四面体上的 P1 有限元 , 自由度由形函数在剖分单元边或面上的中点处的取值构成.对计算的区域进行三角剖分, 因此这种有限元的有限元空间中的函数在边的中点或面的中心是连续的 , 这也意味着此有限元空间并不是Sobolev 空间 H1() 的子空间 , 而 H1() 空间是二阶椭圆边值问题的弱解空间. 因此与自由度在剖分单元顶点上定义的协调P1 有限元或 Courant 有限元 22 相比

2、 ,C-R 有限元经常被称作非协调有限元 . 在工程领域被称作Loof 有限元 52. 但是在数学领域人们是通过Crouzeix 和 Raviart(1973) 写的那篇文章才开始深入了解C-R有限元 . 若想更加深入地了解 C-R 有限元 , 可以参考文献 16,17.本文中我们围绕着两种流体问题的数学和数值分析展开 , 流体速度都用的C-R 有限元离散 , 压力用分片常数离散 .第一类问题是不可压缩流体或微可压缩流体的Darcy-Forchheimer模型 . 另一种模型是自由流体、多孔介质流体和质量传递方程组成的耦合系统. 多孔介质中流体运动的数学模型广泛应用于地下水、环境科学和油藏开发

3、过程中的油水的运移等领域 5,7,63.该模型主要基于流体的质量、 动量和能量守恒律 . 工程上一般比较关心压力、速度、温度和浓度等物理量, 而关于地质、流体描述的许多参数例如重力、黏度、压缩系数、密度、孔隙度、渗透率、相对渗透率等对物理过程都起着重要作用 , 因此模型中围绕着以上物理量并且遵循以上各种守恒律引入了这些参数 . 由于介质的非均质性、 各向异性导致引入的参数会剧烈地变化, 因此许多物理量都是在平均意义下的, 引入的模型及其相应的近似形式都有一定的适用范围 . 基于一些合理的假设 , 流体流动的数学模型可以简化, 但仍表现为依赖于时间的强耦合非线性偏微分方程组. 由于该微分方程组结

4、构复杂, 只在特定情况下才有解析解存在 , 因此提出能够保持系统物理性质的高精度的、有效的数值格式成为科学与工程中的迫切需求.Darcy 定律描述了 Newton流体压力梯度和速度呈现线性关系 , 已由多年的实验数据证实. 这个线性关系只在合理的物理假设条件下才成立 , 例如流体流动地很缓慢 , 所有的惯性项可以忽略时5. Darcy定律的理论推导可以参考 58,78, Darcy流体对于油气采收和预防地下水污染有着重要意义 .Forchheimer(1901)37在沙包中做流体实验时观察到当Reynolds 数比较大 ( 大约 Re>1) 时 ,Darcy 定律不再充分成立且会

5、出现压力梯度和速度间的非线性关系 . 实际上 , 他通过对一大组实验数据进行观察发现 , 这个非线性关系是二次的 5. 虽然目前还存在着对 Darcy-Forchheimer 方程泛函性的争议 6, 但是非线性性已经从实验上、数值上 46 和理论上 55,69 被证实 .Darcy-Forchheimer 方程仍被用为模拟多孔介质中的高速流体的流动 , 尤其是在天然气井附近 3. Forchheimer模型的推导可以参考2,18,39,48,69,78,Forchheimer模型数学理论研究可以参考4,47,33,74,Forchheimer 方程是单调非线性非退化的, 类似的问题有 p-La

6、placian问题、拟Newtonian 流和 Ladyzhenskaya 流体问题 , 处理这一类单调非线性算子的技巧和方法可以参考 30,31,34,35,44,72.近年来 ,Darcy-Forchheimer模型的数值离散方法已有一些 ,43,53中引入了 primal非协调混合有限元方法 ,71 中给出了协调混合有限元方法 , 这种方法使得我们构造的迭代格式中有限元系数矩阵更加稀疏 , 从而节省了内存空间和CPU运行时间 Park 62提出了微可压缩流体Darcy-Forchheimer模型的对偶混合元方法Girault和 Wheeler 43验证了Darcy-Forchheimer

7、问题弱解的存在唯一性 . 他们提出一种 primal 混合元离散格式：速度用分片常数元离散、压力使用不连续的C-R 线性元离散 ( 参考 23).他们提出了交替方向迭代算法来解非线性方程, 并对迭代算法和有限元格式的收敛性都给予证明 Lopez 等53 使用 43 中给出的格式进行数值实验. 对离散后的非线性方程组提出了Newton 迭代方法并与 43 中的交替方向算法对比 . 进一步 , 在53 中也提出了另外一种有限元 , 这种有限元使得对压力的近似更加光滑 , 压力使用连续的 P1 Lagrange 有限元逼近 , 速度还是用不连续的分片常数元近似Salas 等71 对这种数值方法给出了

8、详细的理论研究并提出了另外两种数值方法：两种方法中压力还是用连续的P1 La-grange 有限元逼近 , 速度的近似空间变成一次多项式 , 一种是速度用连续的P1 Lagrange 有限元离散 , 另一种方法速度用不连续的 C-R 线性元离散 . 但是提出的这两种新方法到目前为止还没给出数学和数值研究 . 本文目标之一在于提出不可压缩质量守恒方程与Darcy-Forchheimer方程耦合问题的一种新的对偶离散格式. 速度和压力分别由不连续的C-R 元和分片常数元离散 , 这种混合元经常用来处理Darcy-Stokes 模型 . 在这种情形下 , 消去速度 , 该模型表现为压力的二阶椭圆方程

9、. 进一步地 , 假设流体微可压缩 , 我们对微可压缩质量守恒方程与Darcy-Forchheimer方程耦合问题使用相同的离散格式 , 此时消去速度 , 模型表现为压力的抛物方程. 到目前为止 , 已经有很多关于耦合的自由流和多孔介质流问题的文献. 这类耦合问题的数学模型是由自由流体区域的 Stokes 方程 , 多孔介质区域的 Darcy 方程再加上一些合适的界面条件组成.这些界面条件包括Beavers-Joseph-Saffman条件 8,70,通量连续条件 , 力的平衡条件 . 这个问题在数学和数值分析方面也很具有挑战性：两区域内方程的解具有不同的正则性 , 交界面上流体的切向速度不连

10、续, 变分形式中积分项在交界面上要比在区域内部少一维, 要保证不降低解的正则性和收敛阶难度不小. 对于这个模型 , 已有不少文献 24,38,51,54,66提出了稳定的和收敛的数值格式. 当今社会面临的一个很严重的问题就是由地下储藏设备泄漏、化学药品泄漏还有各种人类活动导致的地表水和地下水污染. 由 Stokes 方程、Darcy 方程和质量传递方程组成的耦合系统可以用来描述水中泄漏的污染物的传播并且评估污染风险. 这个模型仅在 76 中给出系统的研究 , 其中流体的粘性系数假设与溶质的浓度无关,这样的假设实际已经解耦了流动方程和浓度方程. 我们接下来研究的就是二维区域上由耦合的 Darcy

11、-Stokes方程和对流扩散方程组成的系统, 其中对流扩散方程可以用来模拟流体中溶质的运动, 并且此时流体的粘性系数是依赖于溶质的浓度 . 这个耦合问题实际含有两层耦合含义： 一是两区域间的耦合 , 在不同的区域上有不同的流动方程、不同的扩散系数和不同的源汇项 , 只在交界面上进行物理量的传递；二是流动方程和质量传递方程之间的耦合 , 通过流速和浓度彼此相互影响 . 因此这双重耦合会导致整个系统异常复杂 . 对两个区域上的方程都用混合形式离散的数值算法又可分为两类： 一类是在不同区域用不同的有限元离散； 另一种是在两区域使用相同的有限元离散 . 使用同一有限元的优势在于不论是在理论分析还是在程

12、序实现中处理交界面条件更加方便 , 同时也使得编写程序代码时可以较少考虑单元所在区域 , 从而编写效率更高 . 我们也用同一元的思想对这个系统提出了一种稳定化混合元方法 . 在整个 Stokes 和 Darcy 区域对流场压力和速度分别采用分片常数和 C-R 有限元空间来逼近 . 这里使用 C-R 元是因为它具有与分片常数压力组合易于满足 inf-sup 条件、能保持分片单元质量守恒、 二维和三维情形都容易实现等好处 . 然而 ,Mardal 等人 54 指出对 Darcy 方程使用 C-R 元时离散格式并不收敛 . 众所周知 ,C-R 元不满足离散的 Korns 不等式 , 因此 Hansb

13、o和 Larson 45 通过使用一个罚项 16 加罚速度在单元边界上的跳跃来满足离散的 Korns 不等式 . 对于质量传递方程中浓度的离散, 我们使用经典的Lagrange有限元 . 单独区域内 ( 特别是渗流区 ) 的耦合流动和传质问题的工作, 也就是多孔介质区域内混溶驱动问题已有很多文献9,73,49,36,19,27,28,68,20,47,32,29.本文的组织结构如下：在第一章中,我们简要地介绍了多孔介质中Darcy-Forchheimer律的数学模型 , 基于流体的物理特性给出质量守恒方程, 并根据组分质量守恒推导出多孔介质流体中流体浓度的对流扩散方程 . 接着介绍了本文中常用

14、的一些符号, 包括函数空间及其范数定义 , 并给出后面章节理论推导过程中常用的几个引理 . 在第二章中 , 我们提出了稳定的对偶混合有限元格式来离散不可压缩 Darcy-Forchheimer 流体方程 . 速度和压力分别由非协调的 Crouzeix-Raviart 有限元和分片常数元近似 . 我们验证了inf-sup条件并由这个条件成立和非线性算子的单调、强制、半连续性证明了离散解的存在唯一性 . 给出了速度 L2 和 L3 范数 , 压力 L2 范数的先验误差估计 . 最后我们用数值实验验证了理论分析的正确性, 并对 59 中提出的数值格式和我们提出的格式做了数值比较 , 从某些方面说明我们的方法具有优越性. 在第三章中 , 我们使用了跟第二章相同的稳定的对偶混合有限元格式来离散微可压缩Darcy-Forchheimer流体方程 . 通过引入 Darcy-Forchheimer速度和压力的投影来推导出半离散数值格式和全离散数值格式的先验误差估计. 在第四章中 , 我们考虑了一个由 Stokes 方程、Darcy 方程以及质量传递方程组成的耦合系统, 这个系统用来描述带传质