2019年北京市丰台区高三年级一模数学(理)试题与答案

1、-丰台区 2019年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2019. 03（本试卷满分共150 分，考试时间120 分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。 选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑， 如需改动， 用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷

2、、草稿纸上答题无效。4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分（选择共 40分）题一、选择题8 小题，每小5 分，40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合共题共题目要求的一项。的共轭复数1. 复数 z 1 是 1 i（ B ）（ A ） 1 1 i11 i（C） 1i（ D ） 1 i22222. 已知集合A2,3,1 ，集合 B3, m 2 若 B A，则实数 m 的取值集合为（ A ）（C）1（ D ）3, 31（B） 31,3. 设命题p ：x(0, ),ln x x 1 ，则p 为（ A(0（B ）), ln x 0）x ,) ,ln xx 1x0(0,x0

3、1（D ）) ,ln x 0（ C ） x (0,), ln xx 1(0,x01x0-4. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a 1 ，开始输出的 S 15 ，那么判断框内的条件可以为输入 a（ A ） k 6k=1, S=0（B ） k 6否（ C ）6是k输出 S（ D ）7S=S+ak 2k结束a=-ak=k+15. 下 列 函 数 中 ， 同时 满 足 ： 图 象 关 于 y 轴 对 称； x1 ,x2 (0,)( x1x2 ) ，f ( x 2 )f (x 1 )x20 的是x1（Af）（B ） f( x) x 1（C( x)log 2 | x|）（D ） f6已知f (x) co

4、s x( x)2 x 1l ，l 1 , l 2是与 l 不同的两条直和 是两个不同平面，线， 且 l 1，l2，l 1 l 2 ，那么下列命题正确的是（ A ） l 与 l 1 ,l 2 都不相交（B ） l与 l 1 , l 2 都相交（ C ） l 恰与 l 1 , l 2 中的一条（D ） l至少与 l 1 ,l 2 中的一条相交相交F1,F2为椭x2y2x27.圆21 的公共焦点，P 为它们的一已知M ： 21 和双曲线N ： 2y个公m2n共点，且 PFF F ，那么椭和双曲线 N 的离心率之积圆为11 2M2 1（A） 2（B）1（C）（D）2 28. 在平面直角坐标系中，如果一

5、个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么-称该多边形为格点多边形若 ABC 是格点三角形，其中A(0,0) , B(4,0)，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（ A ）6（ B）8（C） 10（ D）12-第二部分（非选择题 共 110 分）6 小题，每小二、填空题共 题5 分，共 30分。已知平面向，且 a b ，那量，(2, 么9.a (1 3)b m)m _10.从4名男生、 2 名女生中 3 人参加社区服务如果要求恰1 名女生，那么不选派有同的选派方案种数为_11. 直线 yx 2 cos ,M , N两点若 | MN 3kx1 与圆（为参数）相交于| 2，y 3

6、2sin则 k _ 12. 若 ABC的面积3，且，则 AB为 2AAC_313.0)已知函数 f ( x) cos(2x)(2 函数 f ( x) 的最小正周期为_；若函数 f (x) 在区间4上有且只有三个零点， , 则的值是 _333an1,a n 为奇an对任意的N* ，且 an数，an 为偶14. 已知数N *an ,列n，都有 a n 1数 .8 时，2_ 当 a1 a2019；aanmppnn*若存且为奇数恒为常，则 _在时，数m N ，当三、解答题共 6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 （本小题13 分）已知函f (x)cos(2)2sina(

7、R) ，且 f () 0 .数32 xa3x（ ） a 的值；求（ ）若 f ( x)在区间 0, m上是单调函数，求 m的最大值 .-16 （本小题13 分）随着经济全球化、 信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争 吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务在此背景下，某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示（）若某大学毕业生从15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月这平均收入薪资高8500 元的城市的概率；于（）现2 名大学毕业生在这15 座城市中各随机选择一座城市就2 人有业，且的X 为选

8、中月平均收入薪资高8500元的城市的人数，求X 的分选择相互独立记 于布列和数学期望 E(X) ；2 ，月平均期望薪资对应数据（）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s1的方差为 s 22 ，判断 2 与 s 22 的大小（只需写出结s1论）-17 （本小题 14分）如图，四棱柱 ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，A1B1C1 D 1AB CD ， ABBC ，BAA平面 ABCD 平面 ABB 1A1 ，160 ， AB=AA 1 2BC =2CD 2 （）求证：AA1BC；（）求二面角AA 1 B 的余弦值；D（）在线段上是否存在点M ，使得CM 平面DM 的DB 1DAA 1？若存在

9、，求值；DB1若不存在，请说明理由C1CD1DMB1BA1A18 （本小题 13分）已知函数f ( x) ( x 2)ex1ax 31ax 2 .32（）当 a0 时，求函数f ( x) 的单调区间；1 是函数 f ( x)的极小（）当 a e 时，求证：x值点 .-19 （本14 分）小题，A, B 是抛已知抛物C :2过M (2,C 上不同两点，AB OM （其线y2px点2)物线且中 O 是坐标原点），A与交于P ，线AB 的中点 Q.直线OBM点段为（）求抛物线C 的准线方程；.（）求证：直线 PQ 与 x 轴平行20 （本小题 13分）设 n N * 且 n 2，集合 S n( x

10、1 ,xn ) | x 1 |12|1,2, , nx2 ,1,| x i|xi |(i1) .（）写出集S2 中的所有元素；合, a n ) ， (b1 ,nn（）设 ( a1 ,Sn ，证明：b2 , b n )aibia2 ,“”的充要条件i1i 1是“ a i b i (i1,2,3, n) ”；n（）设集合 x i |( x1 ,x 2 ,x n )TnSn ，求 Tn 中所有正数之和 .i 1（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）-丰台区 2018 2019学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科）答案一、选择题8 小题，每2019 035 分，共 40（共小题分）题号

11、12345678答案ACDABABC二、填空题6 小题，每小5 分，共 30 分。有两空的小题，3分，第二 2（共题第一空空分）9 610 1211 312 413142 ；1；6 小题，共6三、解答题（共80分）15. （共 13分）2sin 2解：（） fcos(2x)xa(x)313cos2xsincos2x1a2x2233cos2xsin1a2x2231 sin 2(3 cos2 xx)1a223sin(2x)1a .3因为( )0 所以 a1f,.31 ：因为 函数sin x的增区间为,2,Z .（）解法y2 k k k22由 2k 2x 2k ， kZ ，232所以k 5 ， k

12、Z . x k -1212所以 函数 f (x)的单调递增区5Z .间为 k , k ， k1212因为 函数 f ( x) 在 0, m上是单调函数，所以 m 的最大.值为12解法 2 ：因为 x 0,m ，所以 2x 2m333 .- 因为 是函数的增区间，, ysin x22所以 2m.3 2所以 m . 12m 的最大值所以 为.16 （共 1312分）解：（）设该生选中月平均收入8500 元的城市为事件A.薪资高于因为 15座城市中月平均收入薪8500 元的有 6资高于2个，所以 P( A).52 ，低于 8500元的概（）由（）知选中平均薪8500元的城市的概3 ，资高于率为率为所

13、以 X B(2,552 ) .50P( X)( 3)29；5251P(X1)C21 232；552P( X2)5C22(2 )24 .255所以随机变量 X 的分布列为：P0129124X252525所以 X 的数学期E24(X )2.望为55（） s2s 2 .-1217. （共 14分）平面 ABB 1 A1 ，平面平面 ABB 1解：（）因BC为平面 ABCD ABCDA1AB ，AB ，BC平面 ABCD，平面 ABB1所以 BCA1.AA 平面因为 1ABB11，所以AA1 .BC（）取的中点 N ，连结A1B1BN .平行四边形 ABB 1A1 中 AA1BAA1 60. 易证AB

14、，BN由（）知 BC平面 ABBA .11故以为 B 原点， BA ， BN ， BC 所在直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐xyz .标系B依题意， A(2,0,0), A 1 (1,3,0), D(1,0,1) ，设平面 DAA1的一个法n ( x, y, z)向量为则， AD ( 1,0,1)AA 1( 1 ，3，,0 ）A1B1 .zC1CD1DBM1BNyA1Ax-则 nAA 10 ， 即x 3y 0 ，nAD0x z 0令 y =，得 n = (3,1,3) 1易知平ABB 1A 1 的一个法向m =面量为(0,0,1)，设二面AAB 的平面角为锐D角1为，可知 角，则 cosc

15、osn, mn m 321 ，n m3 137即二面角AAB 的余弦值21 D1为7（）解：DB 10,1， M ( x, y,设DM，z) 因D， B 13,0)， C为(1,0,1)1,所(0,0,1)，1),D以DB 1(2,3,M( x1, y, z 1)所2 , y3 , z 1 .以 x 1M (12 , 3,1)CM(12, 3 ,)因为 CM平面 DAA1所以 CMn = 0即 3(12 ) 330 ，所以 =1 2所以存在点 M ，使得 CM 平面DM 1DB DAA 1 ，此时1218. （共 13 分）解：（）因为0 ， x R所以 f( x 2)e xa( x)，故(

16、x)( x 1)ex ，f令( x)0，得 x1 ，所以单调递增区间) ；f为(1,令( x)1 ，所以单调递区间为f0，得 x (,1)f ( x )（）由题1)(ex ax) .可得( x 当 a 0 时，对) ，都有0 恒成任意x (0,+ exax 立，-所以当 0x1 时，；当 x1f( x) 0 时，f ( x) 0 .f (x) 在 x 1处取得极小值，符所以函数 合题意.a e 时，设 g( x) =ax，依然取 当 0exx(0,+ ) .则 g ( x) =a ，令 g ( x) = 0，得 x =exln a ，所以 g( x) 在 (0,ln a)上单调递减，在区间(l

17、n a,) 上单调递增，-所以 g( x)g (ln a )lna(1a) .min因为a e ，所以a(1 ln a ) 0（当且仅当0g( x)minx 1 ） .所以对任意(1,) ，都有ax恒成x(0,1)ex0 立 .1 时， f1( x所以当 00 ；当 xf ) 0 .x ( x)时，所以函数f (x)1 处取得极小值，符合.在 x题意a=e 时，等号成立，此时综上可知： a e时的极小值点 .当x1 是函数 f ( x)19 （共 14分）2 2解：（）由题意得=4p，解得 p 1 所以抛物线C 的准线方p1x程为22y2y21,（）设Ay1, B222, y2，由 ABOM

18、得1 ，y2y121，所以 y 2 y 1k ABkOM则22y2 y12y2y122所以线段AB 中点 Q 的为纵坐标 yQ 1 直线 AO 方程为y1x2 x y2y1y12直线 BM 方程为2 x 2x 2 y2y22y22y2 222y1x，即点 P 的为纵坐标2联立解得yP1 y1-如果直线 BM 斜率不存在，结论也显然成立所以直线PQ 与 x 轴平行20 （共 13 分）解：（）因为| x 1 | 1 ，所以 |x 2 |2 ，所以 S2 中的元素有 (1,2),(1, 2),( 1,2),(1,2).-（）先证充分性nn因为对于任意的1,2,n ，都有，所3,aib iiaib i 以i 1i 1再证必要性因为 |1,| 12 | ，所以数列|是以 1为首为公比的等比数x1| xi|xi| x i项， 2列，i1 所以 | xi | 2假设存在2,3,n，使得 | |,a jb j| jb所以 ab j或 a jjj若 a jb j ，不妨设 a j0 ，则b j0 ，因为 |a1 |1 ， j 1xi j 11 2 j 12j -|b 1 | xi |11 | x j | 2j 1 ii1112jjjj所a0 ，aib i，这与bi矛盾以i0i