3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案(人教A版选修1-2)

1、3. 2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课标解读1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.（重点）2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.（难点）复数代数形式的加减运算【问题导思】已知复数 乙=a+ bi, Z2= c+ di（a, b, c, d R R）.1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？【提示】 两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即（a+ bi） c+ di) = (a + (bl)i.2 复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】 满足.(1) 运算法则：设 z1= a + bi, z2= c+ di(a、

2、b、c、d R R)，则1Z1+ Z2= (a + c) + (b + d)i,2Z1一 Z2= (a c) + (b d)i.(2)加法运算律：交换律Z+ Z2= Z2+ Z1结合律(Z1+ Z2)+ Z3= Z+(Zg+ Z3)复数加减法运算的几何意义1 .试写出 OZ1, OZ2及 OZ1+ OZ2, OZ1 OZ2的坐标.L L 心【问题导思】如图，OZ1,&2分别与复数a + bi, c+ di 对应.【提示】 OZ1= (a, b), OZ2= (c, d),OZ1+OZ2= (a+ c,b + d),OZi 0Z2= (a c, b d).2向量 OZi+ OZ2, OZ

3、i-OZ2对应的复数分别是什么?【提示】 OZi+ &2对应的复数是 a + c+ (b+ d)i,OZi- OZ2对应的复数是 a- c+ (b d)i.(1)复数加法的几何意义如图 3 2 1:设复数 zi, Z2对应向量分别为 OZi, OZ2，四边形 OZ 亿 Z2为平行四边形,则与 z1+ z2对应的向量是 OZ.(2)复数减法的几何意义如图 3 2 2 所示，设 OZi, OZ2分别与复数 zi= a+ bi, Z2= c+ di 对应，且 OZi, O?2不共线，则这两个复数的差 zi Z2与向量 OZi OZ2(即 Z2Zi)对应，这就是复数减法的几何意义.这表明两个复

4、数的差 z zi z z 即 OZOZi OZOZ2) )与连接两个终点 Z Zi, Z Z2,且指向被减数的向量对 应复数的加减运算 例 计算下列各题:(i)( .2 .3i) + ( 2+m)+ i;(2)(2-(3 - 2)+ i ；(3)(5 6i) + ( 2-2i) (3 + 3i).靜童圧动探究碩就我押生工动X扣能件作探穽恆I【思路探究】解答本题可根据复数加减运算的法则进行.【自主解答】原式=(2,；2) + ( 32?)i + i = i 23i.1111八11(2)原式=(3+2 + (2 3+1)i= 6+6i.(3)原式=(5 2 3) + 6+ ( 2) 3i = 11

5、i.I规律方法I复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.m ni &已知复数 z 满足 z+ 1 + 2i = 10 3i，求 乙【解】 z+ 1+ 2i= 10 3i,z= (10 3i) (2i + 1) = 9 5i.复数加减法的几何意义例设卫1及 OZ2分别与复数 Z1= 5 + 3i 及复数 z2= 4+ i 对应，试计算 Z1+ Z2,并在复平面内作出OZ1+OZ2.【思路探究】利用加法法则求 Z1+互，利用复数的几何意义作出 OZ1+ OZ2.【自主解答】之1= 5 + 3i, Z2= 4 + i,z1+Z2=(5 + 3i) + (4 + i) =

6、 9+ 4iOZ1=(5,3),OZ2=(4,1),由复数的几何意义可知，OZ1+应2与复数 Z1+ Z2对应,OZ1+OZ2=(5,3)+(4,1)=(9,4).作出向量 0Z1+ OZ2= OZ 如图所示.1 根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2 禾 U 用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3 复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.在题设不变的情况下，计算可一 Z2,并在复平面内作出 OZ2.【解】 Zi Z2= (5 + 3i) (4 + i) = (5 4) + (3 1)i = 1 + 2i.OZ

7、i OZ2= Z2Z1,故 OZi OZ2即为图中 Z2Z1.|土_由复数加减法的综合问题例已知|z+ 1 i|= 1，求|z 3 + 4i|的最大值和最小值.【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.【自主解答】法一一设 w = z 3 + 4i,z= w + 3 4i,z+ 1 i = w + 4 5i.又 |z+ 1 i| = 1,(w + 4 5i|= 1.可知 w 对应的点的轨迹是以(一 4,5)为圆心，1 为半径的圆.如图(1)所示max= .41 + 1，|w|min= 41 - 1.而|z 3+ 4i| = |z (3 4i)|表示复数 z 对应的点到点(3

8、, 4)的距离，在圆上与(3, 4)距离最大的点为 A,距离最小的点为B,如图所示,所以 |z 3+ 4i|max= 41 + 1, |z 3+ 4i|min= 41 1.I规律方法I|Z1引表示复平面内 Z1, Z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.卜变武训塔设z1,z2 C C ,已知|z1|= |z2|= 1 , |Z1+z2|=2，求 |Z1z2|.【解】 法一 设 Z1= a+ bi, z2= c+ di(a, b, c, d R R).由题意，知 a2+ b2= 1, c2+ d2=

9、1.(a + c)2+ (b+ d)2= 2,2ac+ 2bd= 0.z1 Z2#= (a c)2 + (b d)22 2 2 2=a2+ c2+ b2+ d2 2ac 2bd = 2.|Z1 Z2|= _ 2.法二 设复数 Z1, z2, Z1+ z2分别对应向量 OZ1, O)Z2,OZ.Iz1|= |Z2|= 1 , |Z1+ Z2|= ,2,平行四边形 OZ1ZZ2为正方形.由条件知复数 z 对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，1 为半径的圆,(1) (2)|z|ziZ Z2| |=|z|zl，Z Zi| |=|(DZ|(DZ|=2.2.序作？ABCD，则|BD|等于(解出点 D 的坐

10、标.如图，设 D(x, y), F 为?ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为(2,33)，x+ 1 = 4,所以y+o=3,x= 3, 即叫I 尸 3.所以点 D 对应的复数为 z= 3 + 3i,所以 BD = OD OB = 3 + 3i 1= 2+ 3i,所以 |BD=13.【答案】B思维启迪数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转理思路新題蒂法冇”技巧升忧I数形结合思想在复数中的应用典例复平面内点 A,B, C对应的复B. ,13C. ,15D.17【思路点拨】首先由A、C 两点坐标求解出 AC 的中点坐标，然后再由点 B 的坐标求1隧0(04)

11、40览1【规范解答】化.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法.本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法, 研究代数问题.解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.1 复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向 量减法的三角形法则.陵堂鈿生生工动达”改捋 F1. (2013 潍坊市高二检测)(2 2i) -

12、 ( 3i + 5)等于()A . 2 iB. 3+ iC. 5i 7D. 2+ 3i【解析】(2 2i) ( 3i + 5) = (2 5)+ ( 2+ 3)i = 3+ i.【答案】B2在复平面内，点 A 对应的复数为 2+ 3i,向量 oB 对应的复数为一 1+ 2i,则向量 BA 对 应的复数为()A . 1 + 5iB. 3+ iC. 3 iD. 1 + i【解析】-.BA=OAOB ,BA对应的复数为(2 + 3i) ( 1 + 2i) = (2 + 1) + (3 2)i = 3 + i.故选 B.【答案】B即通过几何图形来谍堂小结3. 实数 x, y 满足(1 + i)x+ (

13、1 i)y= 2,则 xy 的值是_ .【解析】pl + i)x+ (1 i)y = 2,x+ y= 2,x= 1,解得x y= 0.y= 1.xy= 1.【答案】14.设 Z1= 2+ bi, Z2= a + i，当 Z1+ Z2= 0 时，求复数 a+ bi.【解】-Z1+ Z2= o,(2+ a)+ (b+ 1)i = 0,2+ a= 0,a= 2,b+ 1 = 0,b= 1.复数a a+bibi=2 2i.i.靜広知能检测課下测白我评估拽“专能”需费节一、选择题1.设复数 Z1= 2 + i, Z2= 1 + 2i，则复数 Z1 Z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二

14、象限C.第三象限D .第四象限【解析】Z1 Z2= ( 2+ i) (1 + 2i) = ( 2 1) + (i 2i) = 3 i，故乙一互对应点的坐标为(3, 1)在第三象限.【答案】 C2.向量 0Z1对应的复数是 5 4i，向量 OZ2对应的复数是数是()A . 10+ 8iC. 0D. 10 + 8i【解析】由题意可知 0Z1= (5, 4), 0Z2= ( 5,4),5+ 4i，则 OZ1+ 0Z2对应的复B. 10 8i4) + ( 5,4) = (5 5, 4+ 4) = (0,0).0Z1+ 0Z2对应的复数是 0.【答案】 C3.复数满足 1 z+ 2i - (3- i)

15、= 2i，贝 Uz=()A . 1-iB.- 2+ iC.- 2+ 2iD. - 2+ i【解析】 z= 1 + 2i - 3+ i - 2i = - 2 + i.【答案】B4.已知复平面内的平面向量 0A，AB 表示的复数分别是一 2+ i,3 + 2i，则向量 OB 所表示的复数的模为 ( )A. . 5B. 13 C. ,10D. 26【解析】ffOB=OA+AB，向量 0B 对应的复数是（一 2 + i）+(3 + 2i) = 1 + 3i，且 |1+ 3i| =1+ 9= . 10.【答案】C5.复数z-i=a+4i，Z2=3+bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b 的值为

16、（）A. a=-3，b=4B. a= 3， b = 4C. a = 3，b= 4D. a= 3， b = 4【解析】 由题意可知 Zi+ Z2= (a 3) + (b+ 4)i 是实数，zi Z2= (a+ 3) + (4 b)i 是纯虚b+ 4 = 0,a+ 3 = 0, 解得 a=- 3, b=- 4.4 b丰0,【答案】 A二、填空题6.复数 zi、Z2分别对应复平面内的点 Mi、M2,且|zi+ Z2|= |zi- Z2|，线段 M1M2的中点M 对应的复数为 4+ 3i，则|zi|2+等于=_ .【解析】 根据复数加减法的几何意义，由|zi+ z2| = |zi- Z2|知，以 O）

17、Ml、端2为邻边的平行四边形是矩形（对角线相等），即ZM1OM2为直角，M 是斜边 MiM2的中点，0Z1+ OZ2= (5,|0M|= ；42+32=5，|MiM2|= 10.|zi2+ |Z2|2= |O)Mi|2+ |OM2|2= |M1M2|2= 100.【答案】 100图 3- 2-37. （2013 大连高二检测）在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为zo= 0,ZA=2 +,ZB=2a + 3i, zc= b + ai，则实数 a b 为_ .2 b = 2a,【解析】因为 OA + OC = O)B,所以 2 +ai + ( b+ ai) = 2a + 3i，所以

18、*a2+ a = 3,得 a b = 4.【答案】 4& A、B 分别是复数 zi、Z2在复平面上对应的两点， O 是原点，若|乙+ Z2|= |zi Z2|,则 AOB 的形状是_.【解析】 由忆+ z2|= zi互|知，以 OA、OB 为邻边的平行四边形是矩形，即OA1OB,故AAOB 是直角三角形.【答案】 直角三角形三、解答题9.计算：(1) (1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i);(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3i);(3) (a+ bi) (2a 3bi) 3i(a、b R R).【解】(1)(1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i)=(1 + 3 5) + (2 4 6)i = 1 8i.(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3i) = 5i (4 + i) = 4 + 4i.(3) (a+ bi) (2 a 3bi) 3i = (a 2a) + b ( 3b) 3i=a+ (4b 3)