课题5关于圆锥曲线的讨论

1、课题5：关于圆锥曲线的讨论（本课题适合于高一数学必修课）机型：92-Plus教学过程：例1 已知一个定圆O和一个定点F，且有一个过此定点F并与定圆O相切的圆O，求圆心O的轨迹。分析：我们知道点和圆的位置有点在圆内、点在圆上、点在圆外。圆和圆的相切有内切与外切。根据条件，我们可分以下三种情况分别讨论：1 定点F在定圆O内 a 显示直角坐标系，在坐标系中过圆心作一个圆O，在x轴上取一点F（点F在圆O内）。（见图1）b 在圆上取一点P，过圆O和点P作一条直线，且与点P和点F的垂直平分线相交于O （见图2） （图1） （图2）c 以点O为圆心，以OP为半径，作一个圆（F4 、8 Compas

2、s），则此时圆O 与定圆O内切（见图3）。d 隐藏不需要的线。e 按F7、2（Trace On/Off），将光标指向O，然后将光标指向P，并按住 +方向键，当P在圆O上移动时，就会出现O的运动轨迹。（见图4） （图3） （图4）O的运动轨迹是一个椭圆。2 定点F在定圆O外a 显示直角坐标系，在坐标系中过圆心作一个圆O，在x轴上取一点F（点F在圆O外）。（见图5）b 在圆上取一点P，过圆O和点P作一条直线，且与点P和点F的垂直平分线相交于O （见图6） （图5） （图6）c 以点O为圆心，以OP为半径，作一个圆（F4 、8 Compass），此时且圆O 与定圆O外切（见图7）d 隐藏不

3、需要的线。e 按F7、2（Trace On/Off），将光标指向O，然后将光标指向P，并按住 +方向键，当P在圆O上移动时，就会出现O的运动轨迹。（见图8） （图7） （图8）O的运动轨迹是一个椭圆。3 定点F在定圆O上， a 显示直角坐标系，在坐标系中过圆心作一个圆O，圆O与x轴的交点为F。b 过F点且与圆O相切的圆O其圆心O必在x轴上。（见图9）c 显而易见，圆心O的轨迹是一条直线，在本例中即为x轴。（见图10） （图9） （图10）O的运动轨迹是一条直线。思考：1 如果FM是圆O过定点F的直径，问点M的轨迹情况。2 当把一个圆改成一条直线，情况怎样？例2 如果分别过一条线段的两个端点的两

4、条直线的斜率之积等于一个常数m（m0），那么，这两条直线的交点在什么曲线上。复习圆的性质：1 我们知道，在圆中，直径所对的圆周角是直角。反之，如果分别过一条线段的两个端点的两条直线垂直相交，那么，此交点在以这条线段为直径的圆上。2 两条直线互相垂直，那么这两条直线的斜率之积等于-1。（k1k2=-1）设：线段的两个端点为A1、A2，过A1的直线的斜率为k1、过A2 的直线的斜率为k2，两条直线的交点为M，我们先对m=-1（即k1k2=-1）的情况，进行操作。a 显示直角坐标系，在x轴上取一点A1、A2为A1关于原点的对称点，过A1任作一条直线。再过点A2作直线的垂线（按F4、1 Perpend

5、icular Line）交于M点。（见图13）b 按F7、2（Trace On/Off），将光标指向M点，然后将光标指向过A1的直线，并按住 +方向键，当直线在移动时，就会出现M点的运动轨迹。（见图12） （图11） （图12）M点的轨迹是一个圆。再对m=-2情况进行讨论： (教师引导学生共同完成)a 显示直角坐标系，在x轴上取一点A1、A2为A1关于原点的对称点，再过A1任作一条直线，并计算出这条直线的斜率k1（F6、4 Slope）。（见图13）b 根据k1k2=m，求出k2的值（按F6、6 Calculate），再求出这条直线与x轴的夹角（按F6、6 Calculate）。（见图14）

6、（图13） （图14）c 过A2及原点作一条直线，再按F5、2（Rotation）以A2点为中心旋转角得到过A2的直线。M为两直线的交点。（图15）d 按F7、2（Trace On/Off），将光标指向M点，然后将光标指向过A1的直线，并按住 +方向键，当直线在移动时，就会出现M点的运动轨迹。（见图16） （图15） （图16）请学生完成，当m分别为-0.5、0.5、1、2时，M点的轨迹情况，并归纳结果。（见图17、18） （图17） （图18）思考：根据实验的结果，如何用方程式来证明实验结果？设线段的两个端点的坐标为A1（-a，0）、A2（a，0），动点M的坐标为（x，y），过A1M的直线的斜率为k1、过A2M 的直线的斜率为k2，则：k1= ，k2=（）讨论：当m=-1时，方程式为，点M轨迹是圆。当m<0（m-1）时，点M轨迹是椭圆。-1<m<0，椭圆的长轴在x轴上；m<-1，椭圆的长轴在y轴上。当m>0时，点M轨迹是双曲线。思考与实验：已知平面内一定圆和一定点，P为定圆上一动点，连PF，作PF的垂线l，当P点在圆上运动时，直线l所围成的图形是什么？上海市中国中学 程