高中数学二轮复习13 第十三编 算法初步、推理与证明、复数(

1、第十三编 算法初步、推理与证明、复数§13.1 算法与流程图基础自测1.以下对算法的描述正确的有 个.对一类问题都有效；算法可执行的步骤必须是有限的；计算可以一步步地进行，每一步都有确切的含义；是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.答案 42.任何一个算法都必须有的基本结构是 .答案 顺序结构3.下列问题的算法适宜用选择结构表示的是 （填序号）.求点P（-1，3）到直线l:3x-2y+1=0的距离由直角三角形的两条直角边求斜边解不等式ax+b0 (a0计算100个数的平均数答案 4.下列4种框图结构中，是直到型循环结构的为 （填序号）.答案 5.（2008·广东理，9

2、）阅读下面的流程图，若输入m=4，n=3，则输出a= ，i= .（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“=”或“：=”）答案 12 3例1 已知点P（x0，y0）和直线l:Ax+By+C=0，求点P（x0，y0）到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图. 解 算法如下：第一步，输入x0,y0及直线方程的系数A，B，C. 流程图：第二步，计算Z1Ax0+By0+C.第三步，计算Z2A2+B2.第四步，计算d.第五步，输出d.例2 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f =其中f(单位：元为托运费,为托运物

3、品的重量（单位：千克）.试设计计算费用f的算法，并画出流程图.解 算法如下：S1 输入;S2 如果100,那么f;否则f 100×0.6+(-100×0.85;S3 输出f.流程图为：例3 （14分）画出计算12-22+32-42+992-1002的值的流程图.解 流程图如下图. 14分1.写出求解一个任意二次函数y=ax2+bx+c(a0的最值的算法.解 算法设计如下：第一步，计算m ;第二步，若a0,输出最小值m;第三步，若a0，输出最大值m.2.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过

4、5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，试用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费y元的过程，画出流程图.解 这是一个实际问题，故应先建立数学模型，y=由此看出，求手续费时，需先判断x的范围，故应用选择结构描述.流程图如图所示：3.利用两种循环写出1+2+3+100的算法，并画出各自的流程图.解 直到型循环算法：第一步：S0；第二步：I1；第三步：SS+I；第四步：II+1；第五步：如果I不大于100，转第三步；否则，输出S.相应的流程图如图甲所示.当型循环算法如下：S1 令i1,S0S2 若i100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法S3 SS+iS

5、4 ii+1，返回S2相应的流程图如图乙所示.一、填空题1.算法：S1 输入n；S2 判断n是否是2,若n=2,则n满足条件，若n2,则执行S3；S3 依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是 .答案 质数2.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构 .答案 选择结构和循环结构3.阅读下面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是 .答案 75，21，324.如果执行下面的流程图，那么输出的S= .答案 2 5505.（2009·兴化市板桥高级中学12月月考）如下图的流程图输出的结果为 .答案

6、1326.如图所示，流程图所进行的求和运算是 .答案 +7.（2008·山东理，13）执行下边的流程图，若，则输出的n= .（注：框中的赋值符号“”，也可以写成“=”或“:=”）答案 48.若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是 .答案 k8 二、解答题9.已知函数f(x=,写出该函数的函数值的算法并画出流程图.解 算法如下：第一步，输入x.第二步，如果x0,那么使f(x3x-1;否则f(x2-5x.第三步，输出函数值f(x.流程图如下：10.写出求过两点P1(x1,y1,P2(x2,y2的直线的斜率的算法，并画出流程图.解 由于当x1=x2时，

7、过两点P1、P2的直线的斜率不存在，只有当x1x2时，根据斜率公式k=求出，故可设计如下的算法和流程图.算法如下：第一步：输入x1,y1,x2,y2;第二步：如果x1=x2,输出“斜率不存在”，否则，k ;第三步：输出k.相应的流程图如图所示:11.画出求+的值的流程图.解 流程图如图所示：12.某企业2007年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图.解 算法设计如下：第一步，n0,a200,r0.05.第二步，Tar(计算年增量.第三步，aa+T（计算年产量）.第四

8、步，如果a300，那么nn+1，重复执行第二步.如果a300,则执行第五步.第五步，N2 007+n.第六步，输出N.流程图如下：方法一方法二§13.2 基本算法语句、算法案例基础自测1.下面是一个算法的操作说明：初始值为n0,x1,y1,z0;nn+1;xx+2;y2y;zz+xy;如果z7 000,则执行语句；否则回到语句继续执行；打印n,z;程序终止.由语句打印出的数值为 、 .答案 8 7 6822.按照下面的算法进行操作：S1 xS2 yInt（x）S3 Print y最后输出的结果是 .答案 23.读下面的伪代码：Read xIf x0 ThenPrint xElsePr

9、int -xEnd If这个伪代码表示的算法的功能是 .答案 输入一个数，输出其绝对值4.下面是一个算法的伪代码.如果输入的x的值是20，则输出的y的值是 .答案 1505.与下列伪代码对应的数学表达式是 .Read ne0S1For I From 1 To n Step 1SS×Iee+1/SEnd forPrint e答案 S=1+例1 设计算法，求用长度为l的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积.要求输入l的值，输出正方形和圆的面积.解 伪代码如下：Read lS1(l×l/16S2(l×l/(4×Print S1Print S2End例2 （

10、14分）已知分段函数y=，编写伪代码，输入自变量x的值，输出其相应的函数值，并画出流程图.解 伪代码如下： 流程图如图所示：Read xIf x0 Theny -x+1ElseIf x=0 Theny0Elseyx+1End IfEnd IfPrint yEnd 7分例3 编写一组伪代码计算1+，并画出相应的流程图.解 伪代码如下：i1S0While i1 000SS+1/iii+1End WhilePrint SEnd流程图如图所示：1.下面的表述：6p;t3×5+2;b+35;p(3x+2-4x+3;aa3;x,y,z5;ab3;xy+2+x.其中正确表述的赋值语句有 .（注：要

11、求把正确的表述的序号全填上）答案 2.某百货公司为了促销，采用打折的优惠办法：每位顾客一次购物在100元以上者（含100元，下同），按九五折优惠；在200元以上者，按九折优惠；在300元以上者，按八五折优惠；在500元以上者，按八折优惠.试写出算法、画出流程图、伪代码，以求优惠价.解 设购物款为x元，优惠价为y元，则优惠付款公式为y=算法分析：S1 输入x的值；S2 如果x100，输出yx,否则转入S3;S3 如果x200,输出yx,否则转入S4;S4 如果x300，输出yx,否则转入S5;S5 如果x500,输出yx,否则转入S6；S6 输出yx.3.某玩具厂1996年的生产总值为200万元

12、，如果年生产增长率5%，计算最早在哪一年生产总值超过300万元.试写出伪代码.解 伪代码如下：n1 996pa200While a300aa×pnn+1End WhilePrint nEnd一、填空题a3b5Print a+b的运行结果是 .答案 8y=16，应输入的整数x的值是 .Read xIf x0 Theny(x+12Elsey1-x2End IfPrint y答案 -53.写出下列伪代码的运行结果. 图1 图2（1）图1的运行结果为 ；（2）图2的运行结果为 .答案 （1）7 （2）64.以下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是 .Read xIf x3 T

13、heny2×xElseIf x3 Thenyx2-1Elsey2End IfEnd IfPrint yEnd答案 求下列函数当自变量输入值为x时的函数值f(x,其中f（x）=5.下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为 .S1For I From 3 To 99 Step 2SS+IEnd ForPrint S答案 2 5006.如图所示，该伪代码表示的作用是 .Read a,b,cmmax(a,b,cPrint mEnd答案 求三个数中最大的数7.如图（1）是某循环流程图的一部分，若改为图（2），则运行过程中I的值是 .答案 1 .S0For I From 2 To 1 000 St

14、ep 3SS+IEnd For答案 333二、解答题9.用条件语句描述下面的算法流程图.解Read xIf x0 Theny2×x+3ElseIf x0 Theny2×x-5Elsey0End IfEnd IfPrint yEnd10.请设计一个问题，使得该问题的算法如已知的伪代码所示.Read ara/2S×r×r-a×aPrint SEnd解 已知圆O内有一个边长为a的圆的内接正方形，求圆的面积比正方形的面积大多少？11.有一个算法如下：S1 输入x;S2 判断x0是：z1；否：z-1;S3 z1+z;S4 输出z.试写出上述算法的流程图及

15、相应的伪代码.解 Read xIf x0 Thenz1Elsez-1End Ifzz+1Print zEnd12.一个小朋友在一次玩皮球时，偶然发现一个现象：球从某高度落下后，每次都反弹回原高度的，再落下，再反弹回上次高度的，如此反复.假设球从100 cm处落下，那么第10次下落的高度是多少？在第10次落地时共经过多少路程？试用伪代码表示其算法.解 伪代码如图所示：h100s100i2While i10hh/3ss+2×hii+1End WhilePrint “第10次下落的高度为：”;hPrint “第10次落地时共经过的路程为：”；sEnd13.3 合情推理与演绎推理基础自测1.

16、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .答案 白色2.数列1，2，4，8，16，32，的一个通项公式是 .答案 an=2n-13.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33为 .答案 34.下面使用类比推理恰当的是 .“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”“(a+bc=ac+bc”类推出“=+”“(a+b）c=ac+bc”类推出“=+(c0”“（ab）n=anbn”类推出“(a+bn=an+bn”答案 5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100

17、+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .答案 一切奇数都不能被2整除， 大前提2100+1是奇数， 小前提所以2100+1不能被2整除. 结论例1 在数列an中,a1=1,an+1=,nN*,猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由.解 在an中,a1=1,a2=,a3=,a4=,所以猜想an的通项公式an=.这个猜想是正确的.证明如下:因为a1=1,an+1=,所以=+,即-=,所以数列是以=1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1= n+,所以通项公式an=.例2 已知O是ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A,B,C,则+=1,这是一道平面

18、几何题,其证明常采用“面积法”.+=+=1，请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.证明 在四面体VBCD中，任取一点O，连结VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点.则+=1.在四面体OBCD与VBCD中：=.同理有：=；=；=，+=1. 例3 （14分）已知函数f（x）=-（a0且a1），（1）证明：函数y=f(x的图象关于点对称；（2）求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）的值.（1）证明 函数f（x）的定义域为R，任取一点（x，y），它关于点对称的点的坐标为（1-x，-1-y）. 2分由已知得y=-,则

19、-1-y=-1+=-， 3分f（1-x）=-=-=-=-， 5分-1-y=f（1-x）.即函数y=f(x的图象关于点对称. 7分（2）解 由（1）有-1-f（x）=f（1-x），即f（x）+f（1-x）=-1.f（-2）+f（3）=-1，f（-1）+f（2）=-1，f（0）+f（1）=-1，则f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=-3. 14分1.已知f(x=(x-,a0,且f(1=log162,f(-2=1.（1）求函数f(x的表达式；（2）已知数列xn的项满足xn=1-f(11-f(21-f(n，试求x1,x2,x3,x4;(3猜想xn的通项.解 （1）把f(1=

20、log162=,f(-2=1,代入函数表达式得, 整理得，解得,于是f(x=(x-1.（2）x1=1-f(1=1-=,x2=×=,x3=×=,x4=×=.（3）这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，便可猜想xn=.2.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=·；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由.解 类似的结论为：=··.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2M2平面P2

21、OQ2于M2，连OM2.过R1在平面OR2M2作R1M1R2M2交OM2于M1，则R1M1平面P2OQ2.由=·R1M1=·OP1·OQ1·sinP1OQ1·R1M1=OP1·OQ1·R1M1·sinP1OQ1，同理，=OP2·OQ2·R2M2·sinP2OQ2.所以=.由平面几何知识可得=.所以=.所以结论正确.3.已知函数f（x）=（xR），（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明.解 （1）对xR有-xR，并且f（-x）=-=-f（x），所以f

22、（x）是奇函数.（2）f(x在R上单调递增，证明如下：任取x1,x2R，并且x1x2,f(x1-f(x2= -=.x1x2,0,-0, +10, +10.0.f(x1f(x2.f(x在R上为单调递增函数.一、填空题1.由,若ab0,m0，则与之间的大小关系为 .答案 a1=1,an+1an，且(an+1-an2-2(an+1+an+1=0，猜想an的表达式为 .答案 an=n2f(x=x2 008+ax2 007-8,f(-1=10,则f(1= .答案 -244.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”；“（m+n）t=mt

23、+nt”类比得到“(a+b·c=a·c+b·c”；“(m·nt=m(n·t”类比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,a·p=x·pa=x”;“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”；“=”类比得到“=”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .答案 2 （填序号）.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的轨迹为椭圆由a1=1，an=3n-1，求出

24、S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=ab科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 6.已知整数的数对列如下:(1,1,(1,2,(2,1,(1,3,(2,2,(3,1,(1,4,(2,3,(3,2,(4,1,(1,5,(2,4,则第60个数对是 .答案 (5,77.在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 .答案 =8.（2008·金陵中学模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一

25、个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .答案 二、解答题9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质.解 如图所示，由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC，于是类比平行四边形的性质,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，我们猜想：S =S ,S =S ,S =S ,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.10.已知梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和B

26、D是它的对角线.用三段论证明：AC平分BCD，BD平分CBA.证明 （1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提）BCA与CAD是平行线AD，BC被AC所截内错角（小前提）所以，BCA=CAD（结论）（2）等腰三角形两底角相等（大前提）CAD是等腰三角形，DA=DC（小前提）所以，DCA=CAD（结论）（3）等于同一个量的两个量相等（大前提）BCA与DCA都等于CAD（小前提）所以，BCA=DCA（结论）（4）同理，BD平分CBA.11.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.（1）求证：CC1MN；（2）在任意D

27、EF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面 角之间的关系式，并予以证明.证明 （1）PMBB1，PNBB1，BB1平面PMN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S-2SScos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角. CC1平面PMN，上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中，PM2=PN2+MN2-2PN·MNcosMNPPM2·CC=PN2·CC+MN2

28、83;CC-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cosMNP，由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，S=PM·BB1=PM·CC1，S=S+S-2S·S·cos.12.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解 类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN

29、时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M、P的坐标分别为（m，n），（x，y），则N（-m，-n）.因为点M（m,n）在已知双曲线上，所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则kPM·kPN =·=·=(定值.§13.4 直接证明与间接证明基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件.答案 充分ab0,则a+ b+.(用“”,“”,“=”填空答案 +2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （填序号）.反证法 分析法 综合法答案 4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数

30、根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 .假设a、b、c都是偶数假设a、b、c都不是偶数假设a、b、c至多有一个偶数假设a、b、c至多有两个偶数答案 a、b、c（0，+），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的 条件.答案 充要例1 设a,b,c0,证明：a+b+c.证明 a,b,c0，根据基本不等式，有+b2a,+c2b,+a2c.三式相加：+a+b+c2(a+b+c.即+a+b+c.例2 （14分）已知a0,求证： -a+-2.证明 要证-a+-2,只要证+2a+. 2分a0,故只要证（a+）2, 6分即a2+4+4a

31、2+2+2+2, 8分从而只要证2, 10分只要证42（a2+2+）,即a2+2,而该不等式显然成立，故原不等式成立. 14分例3 若x,y都是正实数，且x+y2,求证：2与2中至少有一个成立.证明 假设2和2都不成立，则有2和2同时成立，因为x0且y0,所以1+x2y，且1+y2x，两式相加，得2+x+y2x+2y，所以x+y2，这与已知条件x+y2相矛盾，因此2与2中至少有一个成立.1.已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2(+.证明 a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac.又a,b,c为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“=”，a2+b2+c2ab+

32、bc+ac,ab+bc2,bc+ac2,ab+ac2,又a,b,c为互不相等的非负数，ab+bc+ac(+,a2+b2+c2(+.2.已知a0,b0,且a+b=1,试用分析法证明不等式.证明 要证,只需证ab+，只需证4(ab2+4(a2+b2-25ab+40,只需证4(ab2+8ab-25ab+40,只需证4(ab2-17ab+40,即证ab4或ab,只需证ab，而由1=a+b2,ab显然成立，所以原不等式成立.3.已知a、b、c（0，1），求证：(1-ab,(1-bc,(1-ca不能同时大于.证明 方法一 假设三式同时大于，即(1-ab,(1-bc,(1-ca,a、b、c(0,1,三式同向

33、相乘得(1-ab(1-bc(1-ca.又(1-aa=,同理（1-b）b,(1-cc,(1-aa(1-bb(1-cc,这与假设矛盾，故原命题正确.方法二 假设三式同时大于，0a1,1-a0,=,同理,三式相加得,这是矛盾的，故假设错误，原命题正确.一、填空题1.（2008·南通模拟）用反证法证明“如果ab,那么”假设内容应是 .答案 =或2.已知ab0，且ab=1,若0c1,p=logc,q=logc，则p,q的大小关系是 .答案 pq3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,bS，对于有序元素对(a,b,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若

34、对任意的a,bS,有a*(b*a=b,则对任意的a,bS，下列恒成立的等式的序号是 .（a*b）*a=a a*(b*a*(a*b=ab*(b*b=b (a*b*b*(a*b=b答案 4.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A1B1C1是 三角形，A2B2C2是 三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）答案 锐角 钝角5.已知三棱锥SABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：BC平面SAC；平面SBC平面SAB；SBAC.其中正确命题的序号是 .答案 6.对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1-1,给出以下结论：对于任意实数a,

35、b,c，有a*(b+c=(a*b+(a*c;对于任意实数a,b,c，有a*(b*c=(a*b*c;对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是 .（写出你认为正确的结论的所有序号）答案 二、解答题7.已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1.（1）设bn=an+1-2an(n=1,2,，求证：数列bn是等比数列；（2）设cn=(n=1,2,求证：数列cn是等差数列；（3）求数列an的通项公式及前n项和公式.（1）证明 Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,即an+2=4a

36、n+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2anbn=an+1-2an(n=1,2,bn+1=2bn.由此可知，数列bn是公比为2的等比数列.（2）证明 由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2abn=3·2=(n=1,2,cn+1-cn=-=.将bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,由此可知，数列cn是公差为的等差数列，它的首项c1=，故cn=n-(n=1,2,.（3）解 cn=n-=(3n-1.an=2n·cn=(3n-1·2n-2 (n=1,2,当n2时，Sn=4an-1+2=

37、(3n-4·2n-1+2.由于S1=a1=1也适合于此公式，所以an的前n项和公式为Sn=（3n-4）·2n-1+2.a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I24S.证明 由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca=a2+b2+c2+2S,a,b,c为任意三角形三边长，ab+c,bc+a,ca+b,a2a(b+c,b2b(c+a,c2c(a+b即(a2-ab-ac+(b2-bc-ba+(c2-ca-cb0a2+b2+c2-2(ab+bc+ca0a2+b2+c22Sa2+b2+c2+2S4S.I24S.a,b,c为正实

38、数,a+b+c=1.求证：（1）a2+b2+c2;(2+ +6.证明 （1）方法一 a2+b2+c2-= (3a2+3b2+3c2-1=3a2+3b2+3c2-(a+b+c2=(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc=(a-b2+(b-c2+(c-a20a2+b2+c2.方法二 (a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2(a+b+c2=1a2+b2+c2.方法三 设a=+,b=+,c=+.a+b+c=1,+=0a2+b2+c2=（+）2+（+）2+（+）2=+(+2+2+2=+2+2

39、+2a2+b2+c2.(2=,同理,+=6原不等式成立.y=ax+(a1.（1）证明：函数f(x在（-1,+上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x=0没有负数根.证明 （1）任取x1,x2(-1,+,不妨设x1x2,则x2-x10,由于a1,a1且a0,a-a=a (a-10.又x1+10,x2+10,-=0,于是f(x2-f(x1=a-a+-0,故函数f(x在(-1,+）上为增函数.（2）方法一 假设存在x00 (x0-1满足f(x0=0,则a=-.a1,0a1,0-1,即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x=0没有负数根.方法二 假设存在x00 (x0-1满足f(x0=0,若-1x0

40、0，则-2,a1,f(x0-1,与f(x0=0矛盾.若x0-1,则0,a0,f(x00,与f(x0=0矛盾，故方程f(x=0没有负数根.§13.5 数学归纳法基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=(a1”在验证n=1时，左端计算所得的项为 .答案1+a+a2P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是 （填序号）.P（n）对nN*成立P(n对n4且nN*成立P（n）对n4且nN*成立P（n）对n4且nN*不成立答案 3.用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 .答案 （k2+1

41、）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2f(n=+ +，则下列说法有误的是 .f(n中共有n项，当n=2时，f(2=+f(n中共有n+1项，当n=2时，f(2= +f(n中共有n2-n项，当n=2时，f(2=+f(n中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2= +答案 5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时， .答案 假设n=k(k是正奇数，证明n=k+2命题成立例2 用数学归纳法证明:nN*时,+=.证明 （1）当n=1时,左边=,右边=,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当n=k(kN*时等式成立,即有+=,则当n=k+1时,+=+=,所以当n

42、=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切nN*等式都成立.例2 试证：当n为正整数时，f(n=32n+2-8n-9能被64整除.证明 方法一 （1）当n=1时，f(1=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当n=k (k1,kN*时，f(k=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1+2-8(k+1-9=9(32k+2-8k-9+9·8k+9·9-8(k+1-9=9(32k+2-8k-9+64(k+1即f(k+1=9f(k+64(k+1n=k+1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二 （1）当n=1时，f(1=34-8

43、-9=64，命题显然成立.（2）假设当n=k (k1,kN*时，f(k=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1中得f(k+1=9(64m+8k+9-8(k+1-9=64(9m+k+1,n=k+1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的nN*,命题都成立.例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+）（1+）（1+）均成立.证明 （1）当n=2时，左边=1+=；右边=.左边右边，不等式成立.（2）假设n=k (k2,且kN*时不等式成立，即（1+）（1+）（1+）.则当n=k

44、+1时，（1+）（1+）（1+）·=.当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.例4 （16分）已知等差数列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.解 （1）由已知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.an=2n-1. 2分Tn=1-bn，b1=，当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1,化简

45、，得bn=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，即bn=·=, 4分an=2n-1，bn=. 5分(2Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=. 6分以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，S2,当n=2时，=,S3=9,S3,当n=3时，=,S4=16,S4,当n=4时，=,S5=25,S5.猜想：n4时，Sn+1. 8分下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k (kN*,k4时，Sk+1,即(k+12.那么n=k+1时，=3·3(k+12=3k2+6k+3=(k2+4k+4+2k2+2k-1(k+1+12=S(k+1+1,n=k+1时，Sn+1

46、也成立. 11分由可知nN*,n4时，Sn+1都成立. 14分综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1,当n4时，Sn+1. 16分1.用数学归纳法证明：对任意的nN*,1-+-+-=+.证明 （1）当n=1时，左边=1-=右边，等式成立.（2）假设当n=k(k1,kN*时，等式成立，即1-+-+-=+.则当n=k+1时,1-+-+-+-=+-=+(-=+,即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的nN*等式成立.2.求证：二项式x2n-y2n (nN*能被x+y整除.证明 （1）当n=1时，x2-y2=(x+y(x-y,能被x+y整除，命题成立.（2）假设当n=k（k1,kN*

47、）时，x2k-y2k能被x+y整除，那么当n=k+1时，x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k+y2k(x2-y2,显然x2k+2-y2k+2能被x+y整除，即当n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n命题均成立.m,n为正整数.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+xm1+mx.证明 （1）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x20,所以左边右边，原不等式成立；（2）假设当m=k(k1,kN*时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则

48、当m=k+1时，x-1,1+x0.于是在不等式(1+xk1+kx两边同时乘以1+x得(1+xk·（1+x）(1+kx(1+x=1+(k+1x+kx21+(k+1x.所以(1+xk+11+(k+1x,即当m=k+1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数m,不等式都成立.4.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜

49、想Sn=（nN*）.（2）证明 当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，ak+1=，Sk+1=（k+1）2·ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立.又ak+1=，an=.一、填空题1.用数学归纳法证明：“+1(nN*”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“ ”.答案 +2.如果命题P（n）对于n=k(kN*时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对于n=2时成立，P（n）对所有 n成立.正整数 正偶数 正奇数

50、 所有大于1的正整数答案 3.利用数学归纳法证明不等式1+n(n2，nN*的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了 项.答案 2k4.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 .答案 55.凸n边形有f(n条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f（n+1）= .答案 f(n+n-16.证明1+n+1(n1，当n=2时，中间式子等于 .答案 1+7.用数学归纳法证明不等式+的过程，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是 .答案 +-8.用数学归纳法证明1+2 (nN,且n1，第一步要证的不等式是 .答案 1+2二、解答题9.用数学

51、归纳法证明：1+(nN*.证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1，左边右边，即命题成立.（2）假设当n=k(kN*,k1时，命题成立，即1+.那么当n=k+1时，要证1+,只要证+.-=0,+成立，即1+成立.当n=k+1时命题成立.由（1）、(2知，不等式对一切nN*均成立.10.用数学归纳法证明（3n+1）·7n-1 (nN*能被9整除.证明 （1）当n=1时，4×7-1=27能被9整除，命题成立.（2）假设n=k (k1，kN*时命题成立，即(3k+1·7k-1能被9整除.当n=k+1时，(3k+3+1·7k+1-1=(3k+1+3·

52、7·7k-1=7·(3k+1·7k-1+21·7k=(3k+1·7k-1+18k·7k+6·7k+21·7k=(3k+1·7k-1+18k·7k+27·7k，由归纳假设(3k+1·7k-1能被9整除，又因为18k·7k+27·7k能被9整除，所以3(k+1+1·7k+1-1能被9整除，即n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对所有的正整数n，命题成立.11.数列an满足Sn=2n-an(nN*.(1计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.（1）解 当n=1时，a1=S1=2-a1,a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,a2=.当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,a3=.当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,a4=.由此猜想an=(nN*.（2）证明 当n=1时