高等数学 习题册解答_10.重积分(青岛理工大学)

1、第十章 重积分§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D+=22 其中D 为：422+y x( dxdy y x I D+=22=3162. 4. . 312. 4. =- 2、设D 为圆域, 0, 222>+a a y x 若积分dxdy y x a D-222=12，求a 的值。解：dxdy y x a D-222=3. 34. 21a 81=a3、设D 由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x 求Ddxdy 3解：由于D 的面积为2, 故Ddxdy 3=64、设D ：10, 53| , (y x y x ，+=+=DD

2、dxdy y x I dxdy y x I 221ln(, ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上， ln(y x + 2ln(y x +, 故1I 2I5、 设f(t连续，则由平面 z=0，柱面 , 122=+y x 和曲面2(xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为+=1:222(y x D dxdy xy f V6、根据二重积分的性质估计下列积分的值Dydxdy x 22sin sin y x D 0, 0:(0Dydxdy x 22sin sin 2 7、设f(x,y为有界闭区域D ：222a y x +上的连续函数，求 Da dxdy y x f a , (

3、1lim20解：利用积分中值定理及连续性有 0, 0( , (lim , (1lim820f f dxdy y x f a a D a =§ 2 二重积分的计算法1、设+=Ddxdy y xI 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（ ）A ： 212ln 3ln 87+- B ： 212ln 3ln 89-+C ： 212ln 3ln 89- D ： 412ln 3ln 89-2、设D 是由不等式1+y x 所确定的有界区域，则二重积分+Ddxdy y x (为（ ）A ：0 B： 31 C ：32D： 13、设D 是由曲线xy=1与直线x

4、=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 Dxy dxdy ye 为（ ）A：e e e 212124- B ：21242121e e e e -+-C ：e e 21214+2421e e -4、 设f(x,y是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x +-211, (为（ ）A dx y x f dy dx y x f dy y y -+112111102 , ( , ( B dx y x f dy y -1110 , (C dx y x f dy dx y x f dy y y -+112111102 , ( , ( D dx y x f dy y -11202 , (5、

5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D1+D2上的连续函数，则二重积分Ddxdy y x f (2为（ ）A 1, (22D dxdy y x f B 22 , (4D dxdy y x fC 1, (42D dxdy y x f D22, (21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|1上的连续函数，则二重积分Ddxdy y x f (22为（ ）A1, (222D dxdy y x f 1, (422D dxdy y x fC 1, (822D dxdy y x f D1, (2122D dx

6、dy y x f7、. 设f(x,y为连续函数，则a xdy y x f dx 0, (为( A a a ydx y x f dy 0, ( B a yadx y x f dy 0, (C a y dx y x f dy 0, ( D a xdx y x f dy 0, (8、求 =Ddxdy yx I 22 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (499、设I=31ln 0, (xdy y x f dx , 交换积分次序后I 为：I=31ln 0, (xdy y x f dx =3ln 03, (y edx y x f dy10、改变二次积分的次序： -+4240200 , (

7、, (xxdy y x f dx dy y x f dx = 201221xxdx y dx x11、设 D=(x,y|0x 1,0y 1 ,求+Dy x dxdy e 的值解：+Dyx dxdy e=-=+1211011( (e dy e dx e dy edx y xl yx12设 I=-Ddxdy y x R 222, 其中D 是由x 2+y2=Rx所围城的区域，求I (331R 13、计算二重积分-+Ddxdy y x |4|22，其中D 是圆域922+y x解：-+Ddxdy y x |4|22=-+-rdr r d rdr r d 2032220202 4( 4(241 14、计算

8、二重积分Dy x dxdy e, max22，其中D=(x,y| 0x 1,0y 1解： Dy xdxdy e 22, max=1101022-=+e dx e d dy e dx yy xx y15、计算二重积分+Ddxdy yx yx 22，D ：. 1, 122+y x y x 解：+D dxdy yx y x 22=24 sin (cos201sin cos 12-=+r r d§ 3 三重积分1、设是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则xdxdydz 为( A -12101y x y xdz d dx B -2102101y yx xdy dz

9、dxC -2102101x yx xdz dy dx D 10110xdz dy dx2、设是由曲面x 2+y2=2z, 及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分dxdydz z y x f , , (表示为累次积分，I=（ ）A 120202zdz , sin , cos f(d d B 220202dz z , sin , cos f(d dC 2022202dz z , sin , cos f(d d D 20220dz z , sin , cos f(d d 3、设是由1222+z y x 所确定的有界闭域，求三重积分dv e z |解：dv e z |=-+111|222

10、 (z y x z dz dxdy e =2=-122 1(dz z e z 4、设是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求dxdydz z xy 32(1/3645、设是球域：1222+z y x ，求+dxdydz z y x z y x z 11ln(222222 (0 6、计算+Qdxdydz y x (22 其中为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的区域 (5647、计算Qzdxdydz x 2其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域(2/278、设函数f(u有连续导数，且f(0=0,求dxdydz z y x f t tz

11、 y x t (1lim 222222240+解：dxdydz z y x f tt z y x t +222222240(1lim = 0(' (4limsin (1lim 42022040f t drr f r dr r r f d d ttt tt =§4 重积分的应用1、(1、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）A 2(41+ B 2(21+ 2(43+ D 2+(2 、位于两圆sin 2=与sin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( A (0,35 B (0,36 C (0,37 D (0,38(3、由抛物

12、面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）A (0, 0, 34 B (0, 0, 35 C (0, 0, 45 D (0, 0, 47(4、 质量分布均匀(密度为 的立方体所占有空间区域:10, 10, 10| , , (=z y x z y x , 该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( A 3132 C D 342、求均匀上半球体(半径为R 的质心解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=831Rzdv V 故质心为(0,0,R 384、 曲面2213y x z -=将球面25222=+z y x 分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积

13、为 s 1, s2, s3, 求s 1:s2:s3解：102559222=-=+y x y x 1S 2025516222=-=+y x y x 3S70=2S5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积 解：3122(2222222R R y x R R y x -=+=+S6、求圆柱体Rx y x 222+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立体的体积解：43 (2132222R dxdy y x R Rx y x =+=+V 第九章 自测题一、选择题: （40分） 1、-x dy y x f dx 1010 , (=( A-1010,

14、(dx y x f dy x B -xdx y x f dy 1010 , ( C 11, (dx y x f dy -ydx y x f dy 101, (.2、设D 为222a y x +, 当=a ( 时, =-Ddxdy y x a 222. A 1 B 23 C 43 D 21 3、设+=Ddxdy y x I (22, 其中D 由222a y x =+所围成, 则I =( B .A ò dq ò a 2rdr = pa 4 0 0 2p a B ò dq ò r 2 × rdr = 0 0 2p a 1 4 pa ; 2 2p a

15、2p a 2 C ò dq ò r 2 dr = pa 3 D ò dq ò a 2 × adr = 2pa 4 . 0 0 0 0 3 4、设 W 是由三个坐标面与平面 x + 2 y - z =1 所围成的空间区域,则 òòò xdxdydz=( W . - 1 1 1 C D - . 24 48 24 z 2 x2 y2 W 是锥面 2 = 2 + 2 (a > 0, b > 0, c > 0 与平面 x = 0, y = 0, z = c 所围成的 5 、设 c a b xy 空间区域在第

16、一卦限的部分,则 òòò . dxdydz=( z W 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ab b bc a c ab . A ab c B C D 36 36 36 36 6、计算 I = òòò zdv , W为z 2 = x 2 + y 2 , z = 1 围成的立体,则正确的为( 和（） A 1 48 B W A C I = ò dq ò rdr ò zdz I = ò dq ò dzò rdr 0 0 r 2p 1 1 B D 0 2p 0 1 0 1 I =

17、 ò dq ò rdr ò zdz 0 2p 1 1 I = ò dzò dq ò zrdr . 0 0 0 1 0 2p r z 7、曲面 z = x 2 + y 2 包含在圆柱 x 2 + y 2 = 2 x 内部的那部分面积 s = ( A 3p B 2p C 5p D 2 2p . 8、由直线 x + y = 2, x = 2, y = 2 所围成的质量分布均匀(设面密度为 m 的平面薄 板,关于 x 轴的转动惯量 I x =( . A 3m B 5m C 4m D 6m 二、计算下列二重积分:（20 分） 1、 ò

18、ò ( x 2 - y 2 ds ,其中 D 是闭区域: 0 £ y £ sin x,0 £ x £ p . D (p 2 - 40 9 2、 òò arctan ds ,其中 D 是由直线 y = 0 及圆周 x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 1 , y = x 所围 D y x 成的在第一象 限内的闭区域 . ( 3 2 p 64 3、 òò ( y 2 + 3x - 6 y + 9ds ,其中 D 是闭区 域: x 2 + y 2 £ R 2 D ( p 4 R 4 +

19、 9pR 2 4、 òò x 2 + y 2 - 2 ds ,其中 D : x 2 + y 2 £ 3 . D ( 5 p. 2 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15 分） 1、 ò dyò 0 1 2y 0 f ( x, ydx + ò dyò 1 3 3- y 0 f ( x, ydx ( ò dx òx 0 2 3- x f ( x, y dy 2 2 y- y2 2 2、 ò dx ò 0 1 1+ 1- x 2 x f ( x, y dy ( ò dyò f ( x, ydx + ò dyò 0 0 1 a 1 y2 0 f ( x, ydx 3、 ò dq ò f (r cosq , r sin q rdr 0 0 a q ( ò dq ò f (r cosq , r sin q rdr 0 0 q 四、计算下列三重积分:（15 分） 1、 òòò y cos(x + zdxdydz W :抛物柱面 y = x 及平