专题13反证法选讲

1、-1-全国名校初高中数学衔接专题汇编(附详解)反证法小明某一天早晨起床，发现屋顶和地面上都是潮的，他就说“昨晚下过雨 了”.这个判断可以这样得到的：假设昨晚没下雨，那么屋顶和地面上就应该是 干的.但这与事实不相符合，所以假设是错误的.所以“昨晚下过雨”.如图1,如果OA=OC,OBVOD，那么四边形ABCD不是平行四边形. 个结论成立吗？如果成立，你能证明吗？假设四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC,OB=OD，这与条件 2,求证：12与1+y2中至少有一个y x成立.分析：命题中出现：“至多”“至少”“唯一”，宜用反证法。由题设条件，至证明：假设上2与巴2同时成立。yxyx因为x0,y

2、0,所以1+xX2y,且1+y2x,两式相加，得2+x+y32x+2y.所以，x+y乞2,这与已知条件x+y2相矛盾，因此 匸乜v 2与nm+n，m-n为正整数，又因为2、3、5、67均为素数.严-门=1或严-门=2Lm+ n= 2010m + n= 100例2 2已知： 求证：分析：少有一个的反设是一个都没有，即结论反设是1+x工2与1+2同时成立。y x-n =3或1 m-n = 5+ n = 670 Im + n = 402-3-全国名校初高中数学衔接专题汇编（附详解）m n =15或!m n = 30m +n = 134m + n = 67准确地作出反设是反证法证题的前提，下表是一些常

3、用的反设词:嫖结论是不是一个也没有都是不都是至吳宥一个S S少有两个丸于不大于至少甫n n个至务有（nTnT）个小于不小于至甫n n个至少有（rridrrid）个存在某X X不成立P P如非P P且非q q.m -n =6.或 或m n =10亠或m + n = 20f2011m =22009n =1007m =或21003_ 673-2667n =2407m =或2397 m = I 2341m =2329n =或.211m =2191n =2149m =21192或.97m =237n =上述方程均无整数解，这与假设不成立不存在正整数m和n,使得归纳总结适宜应用反证法解决的问题：m n为正

4、整数矛盾.m2=n2+2010.直接证明困难； 需分成很多类进行讨论； 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”一类命题; 结论为“唯一”类命题.-4-时住何X X不成存在某*成立P P盘q q非P P或非q q-5-全国名校初高中数学衔接专题汇编(附详解)练习1.用反证法证明命题用反证法证明命题： “若整系数一元二次方程ax?+bx+C = 0(aH0)有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是：(A)假设a,b,c都是偶数；(B)假设a,b,c都不是偶数；(C)假设a,b,c至多有一个是偶数；(D)假设假设a,b,c至多有两个是偶数2.用反证法证明命题“若O O的半径

5、为r，点P到圆心0的距离d大于r, 则点P在OO外部.”首先应假设().(A)dvr (B)d180.这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以/Bv 90 .(3)假设/B90.(4)那么，由AB=AC得/B=/O 90 .即/B+/0180 .这四个步骤正确的顺序应是()A.(1) (2)(3)B.(3X4)( 2)(1) C.(1)(2)D.(3)( 2)(1)5.用反证法证明：已知：如图，AB/CD,AB/EF.求证：CD/EF.A AS SC CD D(B)三角形中没有一个内角大于(C)三角形中每一个内角都大于60(D)三角形中没有一个内角等于-6-E EF F-7-全国名校初高中数学衔

6、接专题汇编（附详解）6.用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角.7.如图，梯形ABCD中，AD/BC,/A=90，O O经过点A、B、D， 求证：点C不在O O上.AD8.设a、b、c是不全相等的实数.三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0 , ex2+2ax+b=0能同时有相等实数根吗？2 2 2 29.设三个方程X+4m)+4m+2nr+3=0,x+(2nr+1)x+m=0,(m-1)x2+2mx m-1=0中至少有一个方程有实数根，求m的取值范围.10.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？1-8-参考答案：1.B 2.D

7、 3.C 4. C 5.假设CD与EF不平行，那么CD与EF必相全国名校初高中数学衔接专题汇编(附详解)交，因为AB/CD，所以AB与EF也相交，这与AB/EF矛盾，所以假设不 成立.所以CD/EF.6.假设底角不是锐角，贝U底角90，那么等腰三角形 的两底角之和就大于等于180，这与三角形内角和是180。矛盾，所以假设不 成立所以等腰三角形的底角必为锐角.7提示：假设C点在OO上，由此 可推出/D=90,CD/ AB与题设CD不平行AB矛盾.8.假设同时有相等实 数根，那么三个方程的判别式都为0,艮卩4(b2ac)= 4( c ab)=4(a2be)=0 2(b2ae) +2(e2ab) +2(a2be)=02 2 2I(ab) +(be) +(ea)=0 a=b=e这与条件矛盾.因此所给方程不能同时有相等实数根.9.(1)假设m 1，且三个方程均无实数根，则有1=4(2m+3),2=4m+1,313=8m4,解这个不等式组得-m -.(2)设m=1,那么第三个方程是24312x=0