第五节 泰勒级数及其应用09-4-29

1、第五节 泰勒级数及其应用教学目的：掌握TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor展式的关系；能灵活运用导出公式间接求出函数的泰勒展式；了解函数泰勒展式的作用.重难点：能灵活运用导出公式间接求出所给函数的泰勒展式以及麦克劳林展式.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：一、泰勒级数1.们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？问题：已知函数有 .问：(1) 对于一般的函数是否也有？(2) 如果能展开,项的系数如何确定?(3) 展开式是否唯一?(4) 在什么条件下才能展开成幂级数?2.由第四章中的导数应用知道，我们可以用多项式近似表示函数，进而导出函数的泰勒中值

2、定理.（作用：用多项式近似表示函数）【定理】（Taylor中值Th）: 设在内具有直到n+1阶导数, 则在内，其中为拉格朗日型余项.3.【定理】（TaylorTh）: 设在内具有任意阶导数, 则在内 .其中为的拉格朗日型余项.证明: 由于 . 所以 , .4函数在点有泰勒展式在有任意阶导数且.注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一的. 2）为 在点的Taylor级数，等式在时成立，称为函数的Taylor展式.5泰勒级数与麦克劳林级数 设在点具有任意阶导数，则称(1) 为在点的泰勒级数, 记作 .(2) 称为的麦克劳林级数, 记作 . 注意问题: 在点具有任意阶导数，那

3、么级数在收敛区间内是否收敛于？例: 在点任意可导,且,于是,显然, .结论：当级数收敛于时，即时有泰勒展式.二、函数展开成幂级数1直接法(麦克劳林级数法)步骤：(1) 求； (2) 求；(3) 写出的麦克劳林级数并求出级数的收敛半径；(4) 讨论或 ，(5) 在收敛区间上有 , .例1 将展开成的幂级数.解：(1) , ， , ； (2) , 而；(3),().(4) 所以 , .近似计算: ；.公式：取等不同的值可以得到相应的公式. （）.可以由无穷递缩等比数列求和公式得到.例2 将展开成的幂级数.解：(1) , ； (2) 依次循环取 ；(3), 而；(4) ,.(5) 所以 , .2间接

4、法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导, 逐项积分等方法,求函数的泰勒展开式.例3 将展开成的幂级数.解：已知, . 那么 ,.例4 将展开成的幂级数.解：已知, . 那么 , .例5 将展开成的幂级数.解：已知, . 那么 , . 又因为 时，级数 收敛, 于是 , .例6 将展开成的幂级数.解 当均收敛，故 提问：利用已知展开式展开下列函数为的幂级数,并确定收敛区间:(1)解 因为,所以有,并由得的收敛区间为.(2)解 因为,所以有,并由得的收敛区间为.(3)解 因为,所以有.(4)解 由,有又由得其收敛区间为.(5)解 并由 有 和 ,所以 , .例7（

5、1） (07.3.10)将函数展开为的幂级数,并指出收敛区间.解: 收敛区间为 .（2） 将展开成的幂级数.解：由于 又已知, , , .那么 , 收敛域 .练习： 将展开成的幂级数.解：由于 又已知, , , ,那么 , .提问：利用已知展开式展开下列函数为的幂级数,并确定收敛区间:(1)解 因为,又,所以有 ,即 .(2)解 因为,又，所以有 ，即 .（3）解 类似可求 例8 （1）(87.6) 将函数展成的幂级数,并指出其收敛区间.解 .（2） 95.6) 将函数展成的幂级数,并指出收敛区间.解 易知,并由 , 和 ,可得 , .三、幂级数在近似计算中的应用1近似计算思路：欲计算函数值,

6、 可将展开成幂级数,可用近似值计算, 误差为.2近似值的精度(1) 给出精度, 通过确定项数,继而求得需要近似.(2) 给定项数,可求得近似值,通过可估计精度；例9 计算的近似值,要求误差不超过.解法一: 由于,取, 则有且 , 若要求误差不超过, 应取.即要计算 共10000项！ 显然此法不可取！解法二(快速收敛级数法): 已知 , . 那么 , . 令 , 得, 从而 若取, 有 . ( 截断误差 )于是. ( 舍入误差 47574 )对比精确值: 例13 计算定积分的近似值,要求误差不超过.(取)解: 已知 , . 那么, .于是 若取, 有 . ( 截断误差 )于是 ( 舍入误差 0.

7、5204904621 )对比精确值: 练习：用级数展开法近似计算下列各值(计算前三项):(1)解 因为,那么,于是 . (2)解 因为,那么,于是 .(3)解 因为,那么,于是 .(4)解 因为,那么,于是 .(5)解 因为,那么,于是 .(6)解 因为,那么,于是 .四、微分方程的幂级数解法求方程 () 的特解, 其中解法：(1) 令 , 有,其中为待定系数；(2) 代入方程()两端, 得到两端均为的多项式；(3) 比较两端系数并列出方程组, 可解得, ；(4) 在其收敛区间内即为方程()的特解.例14 求满足的特解.解：(1) 令, 有,其中为待定系数；(2) 代入方程()两端, 得 , 其中：(3) 比较两端系数, 得 , , , , , , , , , (4) 方程的特解为 .小结：1.函数在点的泰勒展式为 ，其系数为泰勒系数.当时，的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.利用公式中的已知收敛域，间接地求所求级数的收敛域比较方便. 2常用间接展开公式有 1） 2） 3） 4） 同