第18章 变分法模型

1、-218-第十八章 动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。§1 变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函设S 为一函数集合，若对于每一个函数S t x (有一个实数J 与之对应，则称J 是对应在S 上的泛函，记作 (t x J

2、 。S 称为J。例如对于xy 平面上过定点, (11y x A 和 , (22y x B 的每一条光滑曲线 (x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 (x y 的泛函 (x y J 。由微积分知识不难写出dx x y x y x y J x x (' (2 (212+= （1） 容许函数集可表示为 ( , (, (| (2211211y x y y x y x x C x y x y S = （2） 最简单的一类泛函表为=21 , , ( (t t dt x x t F t x J & （3） 被积函数F 包含自变量t ，未知函数x 及导数x &。（1）

3、式是最简泛函。1.1.2 泛函的极值泛函 (t x J 在S t x (0取得极小值是指，对于任意一个与 (0t x 接近的S t x (，都有 ( (0t x J t x J 。所谓接近，可以用距离< (, (0t x t x d 来度量，而距离定义为| ( (|, ( (|max (, (00021t x t x t x t x t x t x d t t t &&= (0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 (t x 在 (0t x 的增量记为( ( (

4、0t x t x t x =也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作( ( (00t x J t x t x J J +=如果J 可以表为-219-(, ( (, (00t x t x r t x t x L J +=其中L 为x 的线性项，而r 是x 的高阶项，则L 称为泛函在 (0t x 的变分，记作 (0t x J 。用变动的 (t x 代替 (0t x ，就有 (t x J 。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数：0 ( ( (=+=t x t x J t x J （4） 这是因为当变分存在时，增量, ( , ( ( (x t x r x t x L t x J x t x

5、J J +=+=根据L 和r 的性质有, ( , (x t x L x t x L =0 , (lim , (lim 00=x xx t x r x t x r 所以 ( (lim (00x J x x J x x J +=+= ( , ( , ( , (lim 0x J x x L x x r x x L =+= 1.1.4 极值与变分利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：若 (t x J 在 (0t x 达到极值（极大或极小），则0 (0=t x J （5） 这是因为对任意给定的x ， (0x x J +是变量的函数，该函数在0=处达到极值。根据函数极值的必要条件知0 (00

6、=+=x x J 于是由（4）式直接得到（5）式。1.1.5. 变分法的基本引理引理 , (21x x C x ，, (211x x C x ，0 ( (21=x x ，有210 ( (x x dx x x ，则, , 0 ( 21x x x x 。1.2 无约束条件的泛函极值求泛函=ft t dt t x t x t F J 0 (, (, (& （6）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 (t x ，使给定的二阶连续可微函数F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为 (*t x 。 1.2.1 端点固定的情况设容许曲线 (t x 满足边界条件-2

7、20-00 (x t x =，f f x t x = ( （7） 且二次可微。首先计算（6）式的变分：0 ( (=+=t x t x J J =+=f t t dt t x t x t x t x t F 00 ( (, ( (, (&& +=ft t x x dt x xx t F x x x t F 0 , , ( , , (&&&& （8） 对上式右端第二项做分布积分，并利用0 ( (0=f t x t x ，有 =f ft t x t t x xdt x x t F dt d dt x xx t F 00 , , ( , , (&

8、&&&&， 再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有 =f t t x x xdt F dtd F J 00& 因为x 的任意性，及0 ( (0=f t x t x ，所以由基本引理得到著名的欧拉方程 0=x x F dtd F & （9） 它是这类最简泛函取极值的必要条件。（9）式又可记作0=x F x F F F x x x x x t x &&&&&&& （10） 通常这是 (t x 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确定。1.2.2 最简泛函的几种

9、特殊情形(i F 不依赖于x&，即 , (x t F F = 这时0x F &，欧拉方程为0 , (=x t F x ，这个方程以隐函数形式给出 (t x ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。(ii F 不依赖x ，即 , (xt F F &= 欧拉方程为0 , (=x t F dtd x && 将上式积分一次，便得首次积分1 , (c x t F x =&&，由此可求出 , (1c t x =&，积分后得到可能的极值曲线族(dt c t x =1, (iii F 只依赖于x&，即 (x F F &= 这

10、时0, 0, 0=x x x t x F F F &&，欧拉方程为0=x x F x &&&&由此可设0=x &&或0=x x F &&，如果0=x &&，则得到含有两个参数的直线族21c t c x +=。-221-另外若0=x x F &&有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c 的直线族c kt x +=，它包含于上面含有两个参数的直线族 21c t c x += 中，于是，在(xF F &=情况下，极值曲线必然是直线族。 （iv）F 只依赖于x

11、和x&，即 , (x x F F &= 这时有0=x t F &，故欧拉方程为0=x x x x x F x F x F &&&&&&此方程具有首次积分为1c F x F x =&&事实上，注意到F 不依赖于t ，于是有0 ( (=+=x x x x x x x F dtd F x F dt d x F x x F x F F x F dt d &&&&&&&&&&&&&。 例1 (最速降线问题 最速降线

12、问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于1696年提出的。问题的提法是这样的：设A 和B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A 和B 的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A 滑行至B 时，使所需时间最短。解 将A 点取为坐标原点，x 轴水平向右，y 轴垂直向下，B 点为 , (22y x B 。根据能量守恒定律，质点在曲线 (x y 上任一点处的速度dtds 满足（s 为弧长） mgy dt ds m =221 将dx x y ds (' 2+=代入上式得 dx gyy dt 2'

13、 12+= 于是质点滑行时间应表为 (x y 的泛函dx gyy x y J x +=2022' 1 ( 端点条件为22 (, 0 0(y x y y =最速降线满足欧拉方程，因为yy y y F 2' 1 ' , (+= 不含自变量x ，所以方程（10）可写作0' ' ' ' ' ' =y F y F F y y yy y等价于0 ' (' =y F y F dxd 作一次积分得-222- 12 ' 1(c y y =+令 , 2' ctg y =则方程化为cos 1(22sin '

14、; 112121=+=c c y c y 又因d c ctg d c y dy dx cos 1(22cos sin ' 11= 积分之，得 21 sin (2c c x += 由边界条件0 0(=y ，可知02=c ，故得=. cos 1(2 sin (211c y c x 这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数1c 可利用另一边界条件22(y x y =）来确定。例2 最小旋转面问题dx x y x y x y J x x (' (2 (212+= ( , (, |2211211y x y y x y x x C y y S = 解 因 ' 2y y F +=不包含

15、x ，故有首次积分 122' ' ' ' ' ' c y y yy y y F y F y =+=化简得 21' y c y += 令sht y =' ，代入上式， cht c t sh c y 121=+= 由于 dt c shtshtdt c y dy dx 11' =积分之，得 21c t c x +=消去t ，就得到121c c x ch c y = 。 这是悬链线方程。1.2.3 最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。 （）含多个函数的泛函-223-使泛函=21' , , '

16、, , ( (, (x x dx z z y y x F x z x y J取极值且满足固定边界条件. (, (, (, (22112211z x z z x z y x y y x y = 的极值曲线 (, (x z z x y y =必满足欧拉方程组=00' 'z z y y F dx d F F dx d F （ii ）含高阶导数的泛函使泛函 =21" , ' , , ( (x x dx y y y x F x y J取极值且满足固定边界条件 11 (y x y =, 221122' (' , ' (' y x y y x

17、 y y x y =，）（的极值曲线 (x y y =必满足微分方程0" 22' =+y y y F dxd F dx d F （iii ） 含多元函数的泛函设D y x c y x z , (, , (2，使泛函 =Dy xdxdy z zz y x F y x z J , , , , ( , (取极值且在区域D 的边界线l 上取已知值的极值函数 , (y x z z =必满足方程 0=y x z z z F yF x F 上式称为奥式方程。1.2.4 端点变动的情况（横截条件）设容许曲线 (t x 在0t 固定，在另一端点f t t =时不固定，是沿着给定的曲线(t x

18、=上变动。于是端点条件表示为= ( ( (00t t x x t x 这里t 是变动的，不妨用参数形式表示为f f dt t t +=寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有 0 , , (00=+=dt x xx x t F J ff dt t t && f t t t t x t t x x dt F x F xdt F dtdF ff f=+=&&0( （11）-224-再对（11）式做如下分析：（i ）对每一个固定的f t ， (t x 都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分为零；（ii ）为考察（11）式的第二、第三项，建

19、立f dt 与ft t x =之间的关系，因为( ( (f f f f f f dt t dt t x dt t x +=+ 对求导并令0=得f f t t f f dt t x dt t xf( (&&=+= 即f f f t t dt t x t x f( (&&= （12）把（12）代入（11）并利用f dt 的任意性，得0 (=+=f t t x F x F &&& （13）（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：（i ）当 (t x =是垂直横轴的直线时，f t 固定， (

20、f t x 自由，并称 (f t x 为自由端点。此时（11）式中0=f dt 及ft t x =的任意性，便得自由端点的横截条件0=ft t x F &（14）（ii ）当 (t x =是平行横轴的直线时，f t 自由， (f t x 固定，并称 (f t x 为平动端点。此时0=&，（13）式的横截条件变为 0=ft t x F x F && （15）注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.3 有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统(, (, ( (t u t x t f t

21、x =& （16）寻求最优性能指标（目标函数）+=ft t f f dt t u t x t F t x t t u J 0(, (, ( (, ( ( （17）其中 (t u 是控制策略， (t x 是轨线，0t 固定，f t 及 (f t x 自由，nR t x (，mR t u (（不受限，充满mR 空间），F f , , 连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 (*t u 和最优轨线 (*t x 的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑+=ft t T f f dt x u x t f t u x t F t x t u x J 0 , , (

22、, , ( (, ( , , (1& （18）的无条件极值，首先定义（16）式和（17）式的哈密顿（Hamilton ）函数为, , ( ( , , ( , , , (u x t f t u x t F u x t H T+= （19）将其代入（18）式，得到泛函-225-+=ft t T f f dt x u x t H t x t u x J 0 , , , ( (, ( , , (1& （20）下面先对其求变分( (, (1f f f f t x t x dt t J +=0( ( , , , (0=+dt x xu u x x t H T dt t t f f &

23、;& f f f f t t T T f t t T f t T f t x Tf x dt u x t H dt dt t x =+= ( ( , , , ( ( ( ( (& dt x xH H u H x T T T u T x T t t f ( ( ( (0&&+ ( , , , ( (f f f t x T f t t t T f t x t u x t F dt +=+=ff f t t T t t f T t t T T u T x T dt x x t dt x H H u H x 0( ( ( ( ( (&& 注意到 (f t

24、 t t x xf=，f f f t t dt t xt x xf( (&=，因而 ffft t x T f t t t T f t x u x t H dt J =+= ( , , , ( (1+ft t u T T x T dt H u x H H x 0 ( ( ( ( (&& 再令01=J ，由, , , (, u x t x dt f f 的任意性，便得（i ）*, x 必满足正则方程： 状态方程 , , (u x t f H x=& 协态方程 xH =&。 （ii ）哈密顿函数 , , , (*u x t H 作为u 的函数，也必满足 0=u

25、 H 并由此方程求得*u 。（iii ）求*, , u x 时，必利用边界条件 00 (x t x =， （用于确定*x ） ( (ft x f t =， （用于确定*）fft t t u x t H = , , , (， （确定f t ）1.4 最大（小）值原理如果受控系统, , (u x t f x=&，00 (x t x = 其控制策略 (t u 的全体构成有界集U ，求U t u (，使性能指标 +=ft t f f dt u x t F t x t t u J 0, , ( (, ( (达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果 , , (u x t f ， (, (f f t

26、 x t 和 , , (u x t F 都是连续可微的，-226-那么最优控制策略 (*t u 和相应的最优轨线 (*t x 由下列的必要条件决定：（i ）最优轨线 (*t x ，协态向量 (*t 由下列的必要条件决定：, , (u x t f dt dx=，U t u (， xHdt d =. （ii ）哈密顿函数, , ( ( , , ( , , , (*u x t f t u x t F u x t H T+= 作为 (t u 的函数，最优策略 (*t u 必须使, , , (max , , , (*u x t H u x t H Uu =或使, , , (min , , , (*u x

27、 t H u x t H Uu =(最小值原理（iii ）满足相应的边界条件 若两端点固定，则正则方程的边界条件为 0 0(x x =，f f x t x = (。 若始端固定，终端f t 也固定，而 (f t x 自由，则正则方程的边界条件为 0 0(x x =， (, ( ( (f f t x f t x t t f =。 若始端固定，终端 (, f f t x t 都自由，则正则方程的边界条件为 0 0(x x =， (, ( ( (f f t x f t x t t f =， 0 (, ( (, (, (, (=+f f t f f f f t x t t t u t x t H f

28、。§2 生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。 2.1 问题分析与假设（i ）设备的转卖价是时间t 的函数，记为 (t x 。 (t x 的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价0 0(x x =。（ii ）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。t 时刻设备的磨损程度可以用t 时刻转

29、卖价的损失值来刻画，常称其为磨损函数或废弃函数，记为 (t m 。（iii ）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果 (t u 是单位时间的保养费， (t g 是t 时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效益为 ( (t u t g 。另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W ，则W t u (。 （iv ）设单位时间的产值与转卖价的比值记为p ，则 (t px 表示在t 时刻单位时间的产值，即t 时刻的生产率。-227-（v ）转卖价 (t x 及单位时间的保养费 (t u

30、都是时间t 的连续可微函数。为了统一标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价 (t x 的贴现值计算，如果它的贴现因子为（经过单位时间的单位费用贴现），那么由 =1 ( (111t x t x dt t dx 解得(11 (t t et x =令01=t ，便得t 时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为te，所以设备在t 时刻转卖价(t x 的贴现为t e t x (。仿此计算， (t u 的贴现为t e t u (，单位时间产值的贴现为t e t px (。（vi ）欲确定的转卖时间f t 和转卖价 (f t x 都是自由的。2.2 模型构造根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备

31、在生产中的磨损保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费 (t u 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损保养系统的（转卖价）状态方程=+=00( ( ( (x x t u t g t m dt t dx （21）之下，在满足U t u (0的函数集W 中寻求最优控制策略 (*t u ，使系统的经济效益这一性能指标+=fft t t f dt e t u t px et x t u J 0( ( ( ( （22）为最大，其中 (

32、, f f t x t 都是自由的。2.3 模型求解首先写出问题的哈密顿函数 ( ( ( (t m t g t m et u t px H t += （23）再由协态方程及边界条件求出 (t ，即由=ff t t x f tx et peH dt t d ( ( ( 解得t t e pe pt f+= 1( (下面利用最大值原理求 (*t u 。先将（23）式改变为H = px(t e t m(t + g (t e t u(t 显然， H 是对 u 的线性函数，因此得到 U , g ( t e t > 0 u * (t = g ( t e t < 0 0, 或 （24） U, *

33、u (t = 0, * p t p (1 e f + e t g (t e t > 0 (1 e p t f + p （25） e t g (t e * t <0 在上式中， 还需解决两个问题： 一是 u (t = U 与 u (t = 0 的转换点 t s 在什么位置， * 即 t s 等于多少？二是 u (t 是由 U 到 0 ，还是由 0 到 U 。 转换点 t s 应满足 p t p (1 e f + e t g (t e t = 0 即 p p ( t t f ( 1e g (t 1 = 0 （26） 从而可解出 t s 。 因为 g (t 是时间 t 的减函数，所以（26）式的左端也是时间 t 的减函数，也就是说 u (t 随时间应由 U 到 0。于是最优控制策略的具体表达式为 0 t < ts U , u* = ts < t t