2014年同方专转本高数模拟试卷

1、江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷(四)高等数学注意事项：1 .考生务必将密封线内的各项填写清楚。2 .考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，3 .本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间写在草稿纸上无效。120分钟。、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内)1、设当xt0时，f(x)=xsinax与中(x)=x2ln(1bx)为等价无穷小，则(2、-1,.1A.a=1,b=-B.a=1,b=66C.a=-1,b=-6D.a=-1,b=16A.0sinsin(x-1)=(lnxB

2、.1C.2D.4243、0在x = 0处连续，则常数a的值为(tanx、一.x设函数arcsin2C. 2dx dyeae*A.1B.2C.-1D.-24、设f(x)的一个原函数为xInx,则f'(3x+3)dx=(A. (3x 3)ln(3x 3) c B.ln(3x 3) cC.3ln(3x 3) cD. 11n(3x 3) c5、设a=(1,1,2),b=(2,1,3),则(a+b)M6、A.(1,1,-1)B.(1,-1,1)C.(1,-1,-1)D.(-1,1,1)设z=ln(x2+lny),则dz(1,e)=(111A. dx -dy B. dx dy2221D.dxdy2

3、e二、填空题7、limx1-2x=x二i8、设中(x)=f2tln(1+t2)dt,贝U5'(x)=cosx9、j(x)=1 x+ xdx =10、设D=(x,y)x2+y2<1),则f(1_y)dxdy=D0011、设备级数zn 4(x2)2nn 4n的收敛域为xx12、设y=e,y2=xe是某二阶常系数齐次线性方程的两个特解，则此微分方程为三、计算题13、求极限lima-yln(1+ax),其中a=0xxx14、设函数y=y(x)由方程e2x+cos(xy)=e1所确定，求y'(0),y"(0)Inx15、求不定积分22dx(x2)216、计算定积分xdx(

4、2 -x2) 1 -x2x1y-3z17、设直线l与直线11:=1=一垂直相交于点(-1,3,0)且平行于平面112n：3x4y+z10=0,求此直线方程。：2z18、设z=f(ysinx,x2+y2),其中f具有二阶连续偏导数，求一-x.:y19、计算二重积分J7(xy+1)dxdy,其中D=(x,y)x2+y2之1,x2+y22xM。D20、求微分方程y"+4y'+4y=e"x的通解四、证明题221、证明：当xa0时，sinx+cosx>1+xxaa22、设f(x)在0,a】上连续，证明：.10f(x)dx=J：f(x)+f(a-x)dx并进而证明(1)(

5、2)2二二°xf(cosx)dx=2二°f(cosx)dxn-0f(sinx)dx=202f(sinx)dx五、综合题23、在曲线y=Jx上求一点M0,使曲线在点M0处得切线平彳T于直线x-2y=5(1)求切线方程(2)求曲线y=Jx,切线及y轴所围成的平面图形的面积(3)求上述平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积24、设函数y=f(x)(x至0)满足条件:(1)0Mf(x)<ex-1(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex_1交与点p1和p2:(3)曲线，直线MN与x轴所围成封闭图形的面积恒等于线段P1P2的长度，求y=f(x)的表达式江苏省201

6、4年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（四）高等数学、选择题（本大题共 6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）1、2设当xt0时，f （x） = x sinax与中（x） = x ln（1bx）为等价无否小，则（-,1- ,1一 .1A. a = 1,b= -B. a = 1,b =C. a = - 1,b= -D.666,1 a = - 1,b = 6x - sin ax x-sin ax 1 - a cosax解析：lim 二 lim 二 limx)0 x2ln(1 - bx) x W x2(-bx)x)0-3

7、bx22因为分母-3bx是无穷小量，分子1-a cosax也必须是无穷小量,即1 a =0x。sin x x。sin x从而 lim -3二 lim x 0 x ln(1 -bx) x " x (-bx)1 -cosx二 lim2-x，0 -3bx1 2-x lim 2 x w -3bx1二16b本题选A2、极限limx 1sinsin(x-1)ln xA. 0B. 1C. 2D. 4In x = ln1 (x -1) x-11时，sinsin(xB)sin(xQ)xE1sinsin(x-1)lim-二limx-1lnxx13、1-etanx ., 、. x 设函数 f(x)= ar

8、csin-2x aex 0在x = 0处连续，则常数x<0a的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2解析：对于分段函数分段点连续性的判别，是常考点。该题中，分段点左右两侧的函数表达式互不相同，所以必须分左右极限讨论在x=0处的左极限f(00)=lmf(x)=|jmae2x=a1_etanx在x=0处的右极限f(0+0)=limf(x)=lim'xx0x0.xarcsin2=lim -X0 -tanxx小=一lim=2函数f(x)在x=0处连续二f(00)=f(0+0)=f(0)从而a=-2本题选D4、设f(x)的一个原函数为xlnx,则jf'(3x+3)dx=()1

9、"c、A.(3x3)ln(3x3)cB.ln(3x3)cC.3ln(3x3)cD.-ln(3x3)c3解析：该题考察函数和原函数的关系，该知识点是个常考点。一.1_.1_f(3x3)dx=f(3x3)d(3x3)=-f(3x3)c33f(x)=F(x)xlnxlx1 1f(3x3)dxf(3x3)cln(3x3)1c33本题选DT->445、设a=(1,-1,2),b=(2,-1,3),则(a+b)Ma=()A.(1.1,-1)B.(1,7,1)C.(1,-1,-1)D.(-1,1.1)解析：该题考察向量的运算关于向量的叉乘aMa=0,则(a+b)Ma=aMa+bMa=bMa1

10、12132答案选C26、设z=ln(x+lny),则dz(1,e)=(111A.-dx-dyB.dx-dy2221C.2dx-dyeD.dxdy2e解析：该题考察多元函数的全微分若z=f(x,y)可微，则dz=fx,(x,y)dx+fy(x,y)dy,dz(%小)=fxE,y()dx+f；(xcy()dy本题中,2x,ydz二-dx-xInyxInydydz(1e)=dx-e-(1,e)11,1,dy=dxdy2e答案选D二、填空题7、叫折石=1n(12)im1n(1Nx)Hm0解析：limx1-2x=limex=ex二x=ex"1/x)=e=1xJ二x_j：.128、设中(x)=,

11、tln(1+t)dt，则中(x)=cosx解析：变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆a(：)=Fb(x)-Fa(x)b(x)f(t)dt=F(t)a(x)b(x)晨出)Wb(刈-Fa(刈)=f(b(x)b(x)-f(a(x)a12cosx2tln(1t2)dtcosx二(-cosx2)ln1(cosx2)2(-sinx2)(2x)22、2-=-xsin2xln1(cosx)1x+x9、？(x)=2x2dx=1 x解析： (x)=2 x2dx+ ( 22 x2ixi1dx=2dx=d(2x2)02x202x2213=ln(2+x2)0=n

12、-10、设D=(x,y)x2+y2£仆，则JJ(1-y)dxdy=D解析：该题涉及两个知识点：二重积分的对称性和二重积分的简单性质二重积分的对称性：口f(x,y)dxdy如果积分区域D是对称的，且被积函数f(x,y)在对称区域上的对称点的函D数值若互为相反数，则f(x,y)dxdy=0D口f(x,y)dxdy如果积分区域D是对称的，且被积函数f(x,y)在对称区域上的对称点的函D数值相等，则仃f(x,y)dxdy=2JJf(x,y)dxdy,D1是积分区域D的对称部分。DD111(1-y)dxdy=1dxdy11ydxdyDDDW1dxdy=SD=n；口ydxdy中积分区域D是关于x

13、轴对称的，对称点处得被积函数互为相反数，从而口ydxdy=0;所以JJ(1一y)dxdy=J1dxdyJydxdy=：3DDDD11、设备级数oOzn衽2n 1(x-2)n 4n的收敛域为oO哥级数Z anxn的收敛半径n 1解析：该级数是跳项级数r=im-an-,收敛区间为(-R,R),n"an1收敛域为(-R,R)+收敛区间端点。但是该级数是跳项级数，不符合上面的理论。说对于形如ananx2n或是ananx2n中跳项级数的收敛半径和收敛域的求法如下n4n4方法一：将哥级数的通项anX2n或是anX2n看做常数项，设bn=anX2n或是bn=HnX2n平，使用一般项级数的处理方法求

14、解；方法二：对于跳项级数使用方法一中的处理手段可以证明r=lim-an一，收敛区间为Ml日(-R,R)，再继续讨论区间端点的收敛性，可得收敛域。本题的收敛半径R=llim丹=Jlim(n+1)?=2，收敛区间为(0,4);anin4n当x = 0时，原级数变为二 1,山-Z ,级数发散;n2 n当x =4时，原级数变为£,级数发散;n： 2 n故收敛域为(0,4);12、设y1=ex,y2=xeX是某二阶常系数齐次线性方程的两个特解，则此微分方程为解析：由特解可知，方程的特征方程有两个相同的根，也即二重根。故特征方程为r22r+1=0,则对于的齐次方程为y"-2y'

15、+y=0三、计算题a113、求极限lim-ln(1+ax),其中a00x。xxaax-ln(1ax)a1axa2a2斛析：极限=lim2lim1-ax=lim=一x)。x2xq2xx02(1ax)214、设函数y=y(x)由方程e2x*cos(xy)=e1所确定，求y'(0),y"(0)解：该题是隐函数求导的问题,求一阶导时，也可采用公式法求导。可对方程两边直接求导，求一阶导数:(1) 等式两边关于x直接求导，e2x*(2x+y)'+sin(xy)y+xy'=0得e2xy(2y)sin(xy)yxy=0.由等式e2x4y-cos(xy)=e1可解得y(0)=1

16、将y(0)=1,x=0,代入e2x*(2+y)+sin(xy)y+xy'=0可得y'(0)=-2(2) 下面求y(0)对等式e2x4y(2+y')+sin(xy)y+xy'=0两边关于x求导，注意y=y(x),求导可得e2xy(2xy)(2y)e2xy(2y)cos(xy)(xy)yxysin(xy)yxy=0e2xy(2y)(2y)e2xyycos(xy)(yxy)yxysin(xy)yyxy=0一.一.1将y(0)=1,y'(0)=2,x=0,代入上式可得ey(0)+1=0,解得y*(0)=一e15、求不定积分dxlnxI2(x2)2lnx111斛析

17、：Idx=Inxd(-)=-lnxdlnx(x2)2x2x2x21 ,1,1,1/1j二lnxdx=lnx-(_)dxx2x(x2)x22xx21IIInx+-(Inx-lnx+2)1 ln x ln2说明：本题考察的是分部积分这个考点，熟悉1一触 2)2是解决这道题的关一11键。它是dx=d一的变形。xxxdx16、计算定积分（,0（2 -解析：x直该题使用三角代换x=sint,dx=costdtsintcost,5sint,22dt=22dt0(2-sint)cost0(2-sint)解题到此处会有一种迷失感，下面怎么处理呢?2 sint dt 二 _0 (2 -sin2t) 一 一21,

18、22 d cost0 (2 -sin2t)这一步很多人都会想到,但是下面如何处理呢?二： 12Z- d cost表明将cosx看成中0 (2 -sin2t)间变量，被积函数(2 -sin2t)必须转化为以cosx为中间变量的函数。1. 二2 du = 一u 471不1从而，I=-22dcost=-22dcost0(1-sint1)0cost1)x1y-3z17、设直线l与直线11：=-=垂直相交于点（-1,3,0）且平行于平面112冗：3x4y+z10=0,求此直线方程。解析：求空间直线可使用对称式,关键是求直线上的一个定点和方向向量。设直线l与直线1i且平行于平面冗，从而直线1i的方向向量p

19、l1和平面冗的法向量n兀作叉乘即为直线l的方向向量。设直线l的方向向量为pl,则P=P1in二-4-43-4k=9i5j-7k从而直线l的方程为z-7：2z18、设z=f(ysinx,x11 2万程的特解形式为 y = Ax2e”x，代入方程解得 A =一,从而特解形式为y = x2e”x 22方程y "+4y'+4y =e"x的对应的齐次方程 y"+ 4y' +4y =0的通解为y = (c1 +c2x)ex.”1 c ”通解为 y 二(c1 - qx)e- x e2+y2),其中f具有二阶连续偏导数，求一-x.:y解析：该题型是几乎每年必考。需

20、要认真掌握。.Z22、.一二f1(ysinx)xf2(xy)x=f1ycosx2xf2.x；：2z-二(f1ycosx2xf2)y=(f1)yycosxf1cosx2x(f2)y.:x；:y=f；1(ysinxyyf2'2x+')ycoxs1fcxsx2fy(sx”2开+、y(y)=f11sinx2yf121ycosxf1cosx2xf21sinx2yf22说明：解这类题目，需要写清中间步骤，如果有部分小错，但是中间步骤正确，仍有很高的得分率。19、计算二重积分f(xy+1)dxdy,其中D=1(x,y)x2+y2之1,x2+y22xM。D解析：积分区域D是圆的一部分，从而该题

21、可选择极坐标系计算二重积分。I-<0<积分区域D221 <r<2cos一.2cos1.3二ii(xy1)dxdy=2d(rcosrsin11)rdr=一dT12320、求微分方程y*+4y'+4y=e，x的通解解析：特征方程为r2+4r+4=0的特征根为r1=r2=-2kJ2x从而万程的特解形式为y=xAe，因x=-2是特征方程的二重根，从而k=2四、证明题221、证明：当xa0时，sinx+cosx>1+xx解析：该题初步看上去应该使用单调性证明，故先试试看是否可行设F(x)=sinx+cosx+x2-x-1,则可得F(0)=0故原题可尝试证明当xa0时

22、，F(x)>F(0),也即证明F(x)是单调递增的。证明：F(x)=cosxsinx+2x-1,下面即要证明当x>0时，F'(x)>0因为F(0)=0，从而改证：当x>0时，F'(x)aF'(0),即证F'(x)是单调递增的。冗F(x)-sinx-cosx2=2-(sinxcosx)=2-2sin(x)04上式说明F(x)是严格单调递增的，从而原命题得证。aa22、设f(x)在0,a】上连续，证明：ff(x)dx=1f(x)+f(ax)dx2二二并进而证明(1)Joxf(cosx)dx=2nJ。f(cosx)dxn-(2)J。f(sinx

23、)dx=2:f(sinx)dxaa解析：欲证明ff(x)dx=2f(x)+f(ax)dx,即要证明af(x)dx，laf(x)dx=29a2f(x)dx，iaf(a-x)dx02aa等价于证明：af(x)dx=af(a-x)dx22等价于证明:aaaaf(x)dx=af(a-x)dx=af(a-t)dt222从而可设X=at,dx=-dt,余下证明很简单。JI卜面证明(1)Xxf(cosx)dx=2冗ff(cosx)dx00a.a因为of(x)dx=02f(x)f(a-x)dx所以2 一°xf(cosx)dx=广xf(cosx)(2二-x)f(cos(2二-x)dx也即2-°xf(co