第12章 变化的电磁场作业

1、第12章 变化的电磁场 思考题12.1 在电磁感应定律中，负号的意义是什么？你是怎样根据正负号来确定感应电动势的方向的？答：负号反映了感应电动势的方向，是愣次定律的体现。用正负符号来描述电动势的方向，首先应明确电动势的正方向（即电动势符号为正的时候所代表的方向）。在电磁感应现象中电动势的正方向即是所选回路的绕行方向，由于回路的绕行方向与回路所围面积的法线方向（即穿过该回路磁通量的正方向）符合右手螺旋，所以，回路电动势的正方向与穿过该回路磁通量的正方向也符合右手螺旋。原则上说，对于穿过任一回路的磁通量，可以任意规定它的正负，因此，在确定感应电动势的方向的时，可以首先将穿过回路的磁通量规定为正，然

2、后，再按右手螺旋关系确定出该回路的绕行方向（即电动势的正方向）。最后，再由电动势的符号，若的符号为正即电动势的方向与规定的正方向相同，否则相反。BABDCIu´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 图12.1 思考题12-2图12.2 如图，金属棒AB在光滑的导轨上以速度v向右运动，从而形成了闭合导体回路ABCDA。楞次定律告诉我们，AB棒中出现的感应电流是

3、自B点流向A点，有人说：电荷总是从高电势流向低电势。因此B点的电势应高于A点，这种说法对吗？为什么?答：这种说法不对。回路ABCD中AB棒相当于一个电源，A点是电源的正极，B点是电源的负极。这是因为电源电动势的形成是非静电力做功的结果，非静电力在将正电荷从低电势的负极B移向高电势的正极A的过程中，克服了静电力而做功。所以正确的说法是：在作为电源的AB导线内部，正电荷从低电势移至高电势。是非静电力做正功；在AB导线外部的回路上，正电荷从高电势流至低电势，是静电力做正功。因此，B点的电势低，A点的电势高。12.3 一根细铜棒在均匀磁场中作下列各种运动(如图)，在哪种运动中铜棒内产生感应电动势？其方

4、向怎样?(1) 铜棒向右平移(图a)。(2) 铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B的平面内转动(图b)。(3) 铜棒绕通过中心的轴在平行于B的平面内转动(图c)。图12.2 思考题12.3图BuBwBw(a)(b)(c)答：(a)无；(b)由中心指向两端；(c)无。图12.3 思考题12.4图´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´BuoItoItoItoIt(a)(b)(c)(d)12.4 如图所示，一矩形金属线框，以速度v从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场

5、空间中，不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？ (从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I以顺时针方向为正)答：(C) 如图所示，为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为，匝数为，电阻为，其法向与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为，问小线圈所在位置的磁感应强度为多少？接冲击电流计答： 12.6 将磁铁插入铜质园环中，铜环内有感应电流和感应电场吗？如果用非金属环代替铜环，环中还有感应电流和感应电场吗？答：铜环内有感应电流和感应电场。如果用非金属环代替铜环，环中则无感应电流，但感应电场仍然存在。12.7 两

6、个线圈的自感系数分别为和，现把这两个线圈串联起来，在怎样情况下，系统的自感系数为，又在怎样情况下，系统的自感系数。答：在这两个线圈无互感影响的情况下，L=L1+L2。当这两个线圈有互感影响时，LL1+L2。思考题12-8解图12.8 用金属丝绕成的标准电阻要求无自感，怎样绕制才能达到这一要求？为什么？答：把金属丝对折成双线如图缠绕即可。这样，近似地说，标准电阻部分的回路包围的面积为零，有电流时磁通为零，故自感为零。12.9 当扳断电路时，开关的两触头之间常有火花发生，如在电路里串接一电阻小、电感大的线圈，在扳断开关时火花就发生得更厉害，为什么会这样?答：扳断电路时，电流从最大值骤然降为零，dI

7、/dt很大，自感电动势就很大，在开关触头之间产生高电压，击穿空气发生火花。若加上电感大的线圈，自感电动势就更大，所以扳断开关时，火花也更厉害。12.10 为什么在电子感应加速器中，只有1/4的周期内才能对电子起加速作用？电子感应加速器是利用感生电场加速电子的高能电子加速器，在圆柱形电磁铁的两磁极间放置一个环形真空室，当电磁铁线圈中通以交变电流时，在两磁极间产生一圆形区域的交变磁场。交变磁场又在真空室内激发涡旋状的感生电场。电子由电子枪注入环形真空室时，在磁场施加的洛伦兹力和涡旋电场的电场力共同作用下电子作加速圆周运动。由于磁场是交变的，涡旋电场当然也是交变的。因此，在一个周期内电子并不按一种回

8、旋方向加速，而且电子所受的洛仑兹力也并非总是指向圆心。在圆柱形空间区域内，有，故只有不变号时，感生电场的方向保持不变，另一方面，要保证电子所受的洛仑兹力也总是指向圆心，磁场B的方向应保持不变，对于交变磁场，只有1/4的周期内才满足上述两点。12.11 一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样?答：ÄHEP图12.5 思考题12.12图P图12.5 思考题12.12解图12.12 圆形平行板电容器，从q=0开始充

9、电，试画出充电过程中，极板间某点P处电场强度的方向和磁场强度的方向。12.13. 试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式：（1）电力线起始于正电荷终止于负电荷；（2）磁力线无头无尾；（3）变化的电场伴有磁场；（4）变化的磁场伴有电场。答：（1） （2） （3） （4） 12.14. 试述平面电磁波的基本性质.答：(1) 电磁波是横波。 若k为沿电磁波传播方向的单位矢量，则E、H均与k垂直， (2) 电矢量E与磁矢量H相互垂直，并且在任何时刻，任何地点，E、H和k三个矢量总构成右旋系，即的方向总是沿着传播方向k的。(3) E和H同频率、同相位，即E和H同时达到各自的正极大值，E和H的大小有

10、下述关系(4) 电磁波的传播速度为 在真空中r=r=1，故 r图12.6 思考题12.15图12.15 在一通有电流I的无限长直导线所在平面内，有一半径为r、电阻为R的导线环，环中心距直导线为a，如图所示，且a>>r，当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。答：(C)NS闭合线圈图12.7 思考题12.16图12.16 在如图所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合线圈内作振动时(忽略空气阻力)，(A) 振幅会逐渐加大;(B) 振幅会逐渐减小;(C) 振幅不变;(D) 振幅先减小后增大。答：(B)Bo图12.87图12.17 圆铜盘

11、水平放置在均匀磁场中，B的方向垂直盘面向上。当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，(A) 铜盘上有感应电流产生,沿着铜盘转动的相反方向流动;(B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动;(C) 铜盘上产生涡流;(D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高;(E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高。答：(D)´ ´ ´´ ´ ´ ´ ababl0o图12.9 思考题12.18图12.18 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示， B的大小以速率dB/dt变化。有一长度为l0的金属

12、棒先后放在磁场的两个不同位置1(ab)和2(ab)；则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为(A) ; (B) ;(C) ; (D) 。答：(B)´ ´ ´´ ´ ´ ´ ABo图12.10 思考题12.19图12.19 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示， B的大小以速率dB/dt变化，在磁场中有A、B两点,其间可放直导线和弯曲的导线，则(A) 电动势只在导线中产生;(B) 电动势只在导线中产生;(C) 电动势在和中都产生，且两者大小相等;(D) 导线中的电动势小于导线中的电动势。答：(D)12

13、.20 在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa和bb，当线圈aa和bb如图(a)绕制时其互感系数为M1，如图(b)绕制时其互感系数为M2，M1与M2的关系是aabb(a)aabb(b)1 思考题12.20图(A) (B) (C) (D) 答：(D)12.21 用线圈和自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式,(A) 只适用于无限长密绕螺线管;(B) 只适用于单匝圆线圈;(C) 只适用于一个匝数很多,且密绕的螺绕环;(D) 适用于自感系数L一定的任意线圈。答：(D)12.22 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为和,管内充满均匀介质，其磁导率分别为和，设,，当将两只螺线

14、管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1/L2与磁能之比Wm1Wm2分别为（A）（B）（C）（D）答：(C)II2 思考题12.23图12.23 两根很长的平行直导线，其间距离为a，与电源组成闭合回路(如图)。已知导线上的电流强度为I，在保持I不变的情况下，若将导线间的距离增大，则空间的(A) 总磁能将增大;(B) 总磁能将减少;(C) 总磁能将保持不变;(D) 总磁能的变化不能确定。答：(A)3 思考题12.24图12.24 如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L1、L2磁场强度H的环流中，必有(A); (B);(C); (D)。答：(C)5 在感应电场中电磁感应定律可写成，式

15、中为感应电场的电场强度，此式表明:(A) 闭合曲线L上处处相等;(B) 感应电场是保守力场;(C) 感应电场的电力线不是闭合曲线;(D) 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。答：(D)4 思考题12.26图12.26 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i(t)，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场;(B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零; (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零;(D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。答：(B)(a)(b)5 思考题12.27图12.2

16、7 如图所示，图(a)中是充电后切断电源的平行板电容器；图(b)中是一与直流电源相接的电容器。当两板间距离相互靠近或分离时，试判断两种情况的极板间有无位移电流，并说明原因。答：(1)因平板电容器的电量不变，当两板间距改变时电场强度不变，故无位移电流。(2) 电容改变而电源所加电压不变，所以电容器上的电量必定改变，极板间场强也必定改变，由位移电流定义Id=dD/dt知存在位移电流。12.25 对位移电流,有下述四种说法，请指出哪一种说法正确。(A) 位移电流是由变化电场产生的;(B) 位移电流是由变化磁场产生的;(C) 位移电流的热效应服从焦耳-楞次定律;(D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定

17、理。答：(A)第12章 习题12.1. 直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为的介质中，已知：，其中是大于零的常量.求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势.解： 12.2. 如图所示，长直导线中通有电流，在与其相距处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长，宽。不计线圈自感，若线圈以速度沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？解： ？BL/5图12.18 习题 12.3图12.3 如图所示，一根长为的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度在水平面内旋转。O1O2在离细杆a端处。若已知地磁场在竖直方向的分量为，求ab两端间的电势差。解：ob间的动生电动势b点电势高于o点。oa间

18、的动生电动势a点电势高于o点。12.4 求长度为的金属杆在均匀磁场中绕平行于磁场方向的定轴转动时的动生电动势,已知杆相对于均匀磁场的方位角为，杆的角速度为，转向如图所示。LB习题 12-4oBdl×B习题 12-4 解图ooo解 在距o点为l处的dl线元中的动生电动势为; E的方向沿着杆指向上端。12.5. 电流为的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。解：连接、，圆弧形导线与、形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 直导线的电动势相等。图12.20 习题 12.5图 图

19、12.21 习题 12.6图 12.6. 如图，半径分别为和的两圆形线圈（>>），在时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流，小圆形线圈以角速度绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为，求：（1）当小线圈转过时，小线圈中电流的瞬时值；（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。解： 任一时间穿过小线圈的磁通量 小线圈的感应电流 当 时 图12.22 习题 12.7图· · · · ·· · · · ·· · · · ·12.7 长为质

20、量为的均匀金属细棒，以棒端为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为的金属环上滑动，棒端和金属环之间接一电阻，整个环面处于均匀磁场中，的方向垂直纸面向外，如图。设时，初角速度为，忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻。求：(1) 当角速度为时金属棒内的动生电动势的大小。(2) 棒的角速度随时间变化的表达式。解 (1)= (2) 其中 12.8. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为，高为，电阻率为，如图所示。若匀强磁场以的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率.解：在圆柱体内任取一个半径为，厚度为，高为的小圆柱通壁图12.23 习题 12.8图 电阻 12.9 如图所示，一电磁“涡流”制动器，

21、由一导电率为和厚度为的圆盘组成，此盘绕通过其中心的轴以角速度旋转，且有一覆盖面积为的磁场垂直于圆盘。若面积是在离轴日处，试求使圆盘慢下来的转矩的近似表达式。解：圆盘旋转过程中的任意时刻，在习题12-9解图所示的处，始终有一覆盖面积为a2的磁场B垂直于圆盘。当圆盘经过此处时切割磁力线而产生动生电动势，进而产生一径向感应电流。该感应电流受安培力作用而产生磁力矩，其方向与圆盘旋转方向相反。圆盘上沿径向长度为a的线段切割磁力线时所产生的动生电动势为Bwtora习题12-9Bwtoraa习题12-9解图小方块径向电阻为 所以感应电流为 其所受到的安培力为 所产生的力矩为 B´´

22、80;´´´图12.25 习题 12.10图´´´´´´12.10 均匀磁场被限制在半径的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里，取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场以的匀速率增加，已知，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。 解： 如图12-10 所示 BÄ图12.26 习题 12.11图e 方向：沿adcb绕向。12.11 在半径为的圆柱形空间内，充满磁感应强度为的均匀磁场， 的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面

23、内，两线相距为，如图所示，已知磁感应强度随时间的变化率为，求长直导线中的感应电动势。解：由该问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场强E在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。如图所示，选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的长直导线上，因E处处与之垂直，所以电动势为零。又在无限远处E=0，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势 。Ee >0BÄ图12.26 习题 12.11图该回路的磁通量 由电磁感应定律有 e 的正方向如图所示。12.12 电量Q均匀分布在半径为、长为的绝缘薄壁长圆

24、筒表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转，一半径为、电阻为的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示)。若圆筒转速按照的规律(和是已知常数)，随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。解：筒以旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流，它和通电流螺线管的nI等效。按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场的磁感应强度为 (方向沿筒的轴向)筒外磁场为零。所以穿过线圈的磁通量为在单匝线圈中产生感生电动势为感应电流i为 i的方向与转向一致。12.13 如图所示，两个半径分别为和的同轴圆形线圈相距，且，。若大线圈通有电流而小线圈沿轴方向以速率运动，试求时(为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小。解：由题义，

25、大线圈中的电流I在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的。图12.28 习题12.13图故穿过小回路的磁通量为由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为当x=NR时，小线圈回路中的感应电动势为12.14 如图所示，一个限定在半径为R的圆柱体内的均匀磁场´10-2T×s-1恒定速率减少，当把电子放在a，o，c各点处时，其所获得的瞬时加速度(大小和方向)各为若干？设？解：由感应电场的环路定理得´´´´´´´´´´´´´´´´图

26、12.29 习题 12.14图所以r处感应电场的大小为 方向为顺时针方向。故电子在o点的加速度ao=0。电子在a， c两点的加速度大小相等，均为其中a点加速度向右，c点加速度向左。´ ´´ ´图12.30 习题12.15图12.15 无限长密绕螺线管半径为，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，ab为其分界面，半环电阻分别为和，如图所示图中螺线管垂直纸面放置。当螺线管内部磁感应强度增大时，分别就(1)；(2) ；(3) 三种情况讨论a、b两点电势的高低。解：当螺线管内部磁感应强度增大时，在

27、金属环内产生涡旋电场，其电场线为沿逆时针方向的圆。由可知，整个金属圆环产生感应电动势为abR2R121习题12-15解图左半圆电动势，右半圆电动势，由基尔霍夫电压定律 讨论：(1)R1= R2， Ua= Ub，两端电势相等。(2) R1> R2，Ua> Ub，a端电势高。 (3) R1 <R2，Ua< Ub，b端电势高。图12.31 习题12.17图6 有一圆环，环管横截面的半径为，中心线的半径为R，。有两个彼此绝缘的导线圈都均匀地密绕在环上，一个匝，另一个匝，求:(1) 两线圈的自感和;(2) 两线圈的互感;(3) 与和的关系。12.17. 将金属薄片弯成如图所示回路

28、，两端为半径为的圆柱面，中间是边长为，间隔为的两正方形平面，且，.（1）试求该回路的自感系数；（2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场，试求回路中的电流.（回路中的电阻很小，可忽略不计）解：（1） 根据 （2） 8 截面为圆的长直铜导线中，通有强度为的电流，电流均匀地分布在横截面上。求：(1) 导线内部单位长度上的磁能；(2) 若，计算2m长导线内的磁能。解：(1)导线内，离轴为r处的磁感应强度为式中，R代表导线的半径，铜的相对磁导率R=1，因此在铜导线内部的磁能密度为导线内单位长度上的总磁能为(2) 9 一长铜导线载有的电流，电流均匀地分布在横截面上，若铜导线的直径，每单位长度的电阻为。求：(1)

29、导线表面处的磁能密度；(2) 导线表面处的电能密度。解：(1)按上题的结果，在导线内的磁能密度为在导线的表面处，其磁能密度为(2)由微分形式的欧姆定律有故 其中 电能密度为 abABCD图12.32 习题12.20图12.20 如图所示，一匝边长为的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。(1) 当二者之间的最近距离为时，互感系数为多少？线圈受力为多少？(2) 若维持及不变而线圈向左移动，由减至的过程中磁力做功A为多少？磁能增量W为多少？解：(1)在线圈平面上，距长直导线x处，取宽为dx、长为a且与长直导线平行的面积元(习题13-18解图)。在面积元上，磁感应强度方向垂直纸面向内。磁通量通

30、过线圈的磁通量因此，长直导线与线圈的互感系数AB、AC两边受磁力作用，但它们等值反向，互相抵消，线圈所受合力为abI1I2ABCD习题12-18abI1I2ABCDxdx习题12-18解图方向垂直并指向长直导线。(2)当线圈与长直导线相距为x时，线圈受力线圈向左移动到x=b/2时，磁力作的功 (1)线圈移动后，它和长直导线的互感系数也变了，其值变为线圈移动前，线圈与长直导线这一系统的磁能线圈移动后，系统的磁能所以磁能的增量由(1)、(2)可知，磁力做功，同时系统磁能也增加，其能量来源于维持I1、I2不变的两回路中的电源。12.21 一平行板电容器的电容为，两板间电势差为，试证该平板电容器中的位移电流为 另外在的电容器中产生1A的位移电流，问加在电容器上的电压变化率应为多