材料力学课件：弹塑性力学基础作业 文档（第一章）

1、弹塑性力学基础作业1. 己知物体内一点的应力张量为：ij = 应力单位为kgcm2 。试确定外法线为ni，（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力、正应力n及剪应力n 。解：首先求出该斜截面上全应力在x、y、z三个方向的三个分量：n=nx=ny=nzPx=n=Py=n=Pz=n=所以知，该斜截面上的全应力及正应力n、剪应力n均为零，也即：Pn =n = n = 02. 己知一点处的应力张量为试求该点的最大主应力及其主方向。解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：x=12×103 y=10×103 xy=6×103，且该点的主应力可由下式求得：则显然：1 与

2、x轴正向的夹角为：显然2为第象限角：2=arctg（+6）=+80.5376°则：=+40.268840°16 或（-139°44）3. 已知受力物体内一点处应力状态为： （Mpa） 且已知该点的一个主应力的值为2MPa。试求： 应力分量的大小 ； 主应力、和 。解法（1）： 据题意知该点应力状态的应力不变量为： ；则主应力为： 即： 也即必有一个主应力： 再将已知条件：代入上式解得： ；故知： 解得另外两个主应力为： 由： 解法（2）： 代入求解主应力公式，并将同时代入得： （1）由：，且由上式知：由（1）式第2式知，由（1）式第3式知，故知，则由（1）式第1式

3、知：再由： 展开得： ； 则知：； 由：即：； 再由： 知：4. 一点的应变状态为： ； 。试证明该点应变状态是否可能存在？上式中C为已知常数，且C0 。解：已知该点为平面应变状态，且知： k为已知常量。则将应变分量函数代入相容方程：得： 成立。故知该应变状态可能存在。5已知一点的应变状态为：，。试将其分解为球应变状态与偏斜应变状态。解1: 将应变状态 分解为球应变张量 和偏斜应变张量，即： ；而平均应变为： ;则有： ； 6. 受力物体内一点处于平面应力状态，如图三. 4所示。试利用解析法求：（1） 该点处应力状态主应力、和的大小；（2） 在单元体上绘出主平面和主方向。（3） 该点处应力状态

4、最大剪应力的大小。（4） 绘制出该点平面应力状态的应力圆。 解： （图略） 。7. 已知一受力物体中某点的应力状态为：式中a为已知常数，且a0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。解： 球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。偏应力张量作用下单元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。8、 在平面应力问题中，若给出一组应力解为：，式中a、b、c、d、e和f均为待定常数。且已知该组应力解满足相容条件。试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。解：应力解应再满足平衡微分方

5、程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：则知，只要满足条件af，ed，b和c可取任意常数。若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。9、 在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：= 0，= 0，= 0，= 0，=3a，=4a，知。试求： 该点应力状态的主应力、和；. 主应力的主方向； 主方向彼此正交；解：由式（219）知，各应力不变量为、，代入式（218）得： 也即 （1）因式分解得： （2）则求得三个主应力分别为。设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为、。将及已知条件代入式（21

6、3）得： （3）由式（3）前两式分别得： （4）将式（4）代入式（3）最后一式，可得0 = 0的恒等式。再由式（215）得： 则知 ； （5）同理可求得主应力的方向余弦、和主应力的方向余弦、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得： 主方向为：； （6） 主方向为：； （7）主方向为：； （8）若取主方向的一组方向余弦为，主方向的一组方向余弦为，则由空间两直线垂直的条件知： （9）由此证得主方向与主方向彼此正交。同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。10. 边长为0.1m的铜立方块，无间隙地放入变形可略去不计的刚性凹槽中（图（a）。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34

7、。当铜块受到了F=300kN的均步压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。解：(1) 铜块横截面上的压应力为题8 图(2)铜块受到轴向压缩将产生横向变形，但由于刚性凹槽壁的约束，使得铜块在x，z方向的应变等于零。于是，在铜块与凹槽壁接触面将产生均匀的压应力，（图（b）。按广义胡克定律公式，可得联解两式，可得(3)按主应力的代数值顺序排列，的该铜块的主应力为 11一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，；讨论下列三种情况：（1）：管的两端是自由的；（2）：管的两端是固定的；（3）：管的两端是封闭的；分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验r值。解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，r0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：（1）：；（2）：；（3）：；显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：；解出得：；若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得：（1）：解出得：；（2）、（3）：解出得：；12给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：受均匀内压q 作用的封闭藻壁圆管,管平均半径为r ，壁厚为t ，材料为理想弹塑性。解：由