级数(答案解析)

1、、选择题:复变函数练习题第四章级数专业 班 姓名§1复数项级数些重要的级数sin zcoszez 1学号§2哥级数3 z3!2 z2!2 z2!卜列级数中绝对收敛的是1 一(A) 一(1 n 1 n2 .若哥级数Cnzn在zn 0(A)绝对收敛1 2i5 2,(1)nn 1(A)ln(1z)1)n(1)n znn 0 n 1III55i4 zHIznIl)(zn 2n(1) z1)4!Ill(B)IIIn!(1(2n 1)!(1)nz2nlll(z2n!Hl(z1)nH(z(C)n 2 In nnn(1) i0nn 121 2i处收敛，那么该级数在z 2处的敛散性为(B)条

2、件收敛由Abel定理易得发散(D)不能确定在| z | 1内的和函数为(B) ln(1z),1(D) ln1 z1)nzn1)nzndz1 dzzln(1 z)01二、填空题：1 .设 n (1 L) n,则 lim n0。2nR2 .设备级数cnzn的收敛半径为 R,那么哥级数(2n 1)cnzn的收敛半径为 一n 0n o_2一 . n!3 .哥级数-n zn的收敛半径是e。n 0 nn4 .哥级数z- ( p为正整数)的收敛半径是1n 1 np三、解答题: 1 .判断下列数列是否收敛？如果有极限，求出它们的极限。n i"2"2k时,由kimlimn(1)k2k0kim

3、(1)k2k12k 12k0知,2k时,i(k 11)12k 1由kimlimn(1)k1 12k 1 00知,(2)3122n2ni(1由limnc1 2-n31 22n.3,lim(1nn 1可得, n ei_nimn2 .判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。判断绝对收敛的两种方法：(1)绝对级数是否收敛(2)实部和虚部的绝对级数是否收敛(1)1 i i2 i3 I" in Ml，由limin不存在可知，级数发散 n(级数收敛的必要条件)(2) 5i(5i)33!5(5i)5!IIIi(5533!555!2n 1IB (2717! HI由级数2n 15n o

4、(2n 1)!收敛可知，原级数绝对收敛(3)nsin in由级数一J及级数n 132 .ennn 1 2 3e收敛，可得原级数绝对收敛3nInsininl n(en e n) n n13nl 2 3n 八 3 n 2 3e(4)ln n2 - e.nkkL 3 in 2ln n ki In 2k ln(2 k 1) kk由莱布尼兹准则,由于 3和_()为交错级数,k i ln 2k k i ln(2 k 1)1 一 1 .一级数收敛，故原级数收敛。又由 ，和 1发散, k 1 ln2k k 1 ln(2k 1)则原级数条件收敛。3.求哥级数(n 1)(z 3)nn 01的收敛半径，收敛域及和函

5、数，并计算二之值。n 1 2n解：由limnnr之值。n 1 2n 1知，收敛半径R 1.n n 1当z=2时，原级数成为(nn 01)( 1)n为发放级数,因而原级数的收敛域为1.11 (z 3)(z 3)(z3)2III(z3)n III2(z3)3(z3)2III(n 1)(z 3)n |(n 1)(z0n 1,3) =(z3)1(z3)z 3(z 4)27时,2(n 1)(z 3)nn 09n 712(2 4)-=22求骞级数zn的和函数，并计算11 z11 zIIIzn川2z3z2l| (n 1)znHI(n 1)znn 0''23 2z 4 3z2n (n 2)(n

6、 1)znIll(n2)( n 1)zn一'' z(z1(z 1)2z(z 1)(z 1)32n 公12n=6复变函数练习题第四章级数系 专业 班 姓名 学号、选择题ze1 .设函数的泰勒展开式为gzn ,那么哥级数Cnzn的收敛半径Rcoszn 0n 0(A)(B) 1(C)2(D)函数在某点展成的幕级数的收敛半径等于该点和该函数的奇点中最近的距离cosz 0 zk (k2)且在zcosz内解析2D(A)n(1)nn(z 1)n1(|z 1|11)(B)n 1n 1(1) n(z 1) (|z 1|11)(C)n(z1)n1(|z 1| 1)(D)n(z11)n1(|z 1|

7、 1)由12z1z卜面先对11 (z 1)1 2(z工在点z z1 (z 1)1) IIIn(z 1)n1 III注写成求和形式中注意保持第一项是1进行展开.(z 1)2致的Ill(z 1)n HI (z 11)1处的泰勒展开式为3.函数sinz在z 一处的泰勒展开式为2(A)n(1)no(2n 1)!(z i)2n1(1z 71(B)(1)n o(2n)!(z 户z 21)(C)(1)n1n o(2n 1)!(z i)2n1(1z /(D)(1)n1 n 0 (2n)!(z l)2n(1z 21sin z=sin(z ) cos(z2n 1 zn 1 n!,z2(A) z(e1)(B)z(e

8、2z 1)(C)2zez 1(D)2z ze令 w z2,2n 1 z1 n!wn wn 1 n!nw1 n!ww(e1)其中w表示某一单值分支,n 15-Re(n1Lnr)(A) COSl(B) sinl(C)cosi(D)sini考虑 n 1n 11)zn,n 1 n!或者n 1 zn!z2!23!n 1 zn!III1(z z2 z2!33!n zn!1 / z(e z1) (z )n 12) zn 1 n!n zn!1 / z(e1)取z i,则可得z.n 1in!1( iei 1)i(cos1isin1)i (cos1 1)sin1二、填空题1 .函数f (z)2在z(1z)20处的

9、泰勒展开式为f(z)(1)n(n 1)zn(z1)1(1z)2n n(1) zn 0n n(1) zn 0n n 11) nz(1)n(n 1)zn(z 1)1，2. 3的哥级数展开式为1 z(1)nz3n ,收敛域为z 1(1)三、解答题 求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。遇到1 .把下列各函数展开成z的哥级数，并指出它们的收敛半径:14 z214n1)n2n(1)nz2nn 0 4n 12(n 1) zn 2nI z(1)n14n (1)n 4n zn 0 (2n)!(1) 4n 1收敛半径R=2(在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时,可利用根值法,或者利用上述方法.)2 c

10、osz(2)由limn(1)n 1 (2n)!(2n 2)! ( 1)nlimn(2n 2)(2n+1)0知,收敛半径为2 .求下列各函数在指定点z0处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径:/，Zo 1z 1 Z 122解：z1 1 1z 1 z 1 z 1 21/ z 1 n z 11- 1=z 1 1 n 02n 122收敛半径R=2(2) ,zo 1 i4 3z14 3z1 3i 3(z 1 i)11Ti 1 3(z 1 i)1 3in13(z 1 i)1 3i n o 1 3i由lim3nn o 1 3i n1(z 1i)n3n3i3i3n31 3i30”-知, .10收敛半径R103(

11、3) arctanz, z00由于(arctanz)'arctanz(4)IIIn 2n(1) zIII，(z1)1dz(z 1)(z(z 1)(z2)z2dzdzIIIn 2n1) z dzIII由lim2n 3_2n 12III2)3n3n(1)n2n 12n 1(z1),z0=lim知，收敛半径R 33 3n1)lim22n3n复变函数练习题第四章级数系 专业 班 姓名 学号§4洛朗级数在计算洛朗级数收敛域时，要取正曷项的收敛域和负曷项的收敛域的公共部分ncnznnncnzc nzn 0n 1正曷项:负曷项:n 1cn 1znCnzn 1c n 1znc nz（或求曷级

12、数收敛半径的常规作法）、选择题:1 .若 cn3n(1)n,n4n,n0,1,2,1, 2,cnzn的收敛域为11331 I I(A) 4 |z|(B) 3|z| 4|z|D)|z|计算正事项(常规作法)：计算负事项:Zn的收敛域是(A) 0洛朗级数(A) |z2 |n|z|3|1n1(z11(z3)n 12 1n1(z 3)n2 1 n 11(z 3) n 12 1 n1 (z设 f(z)3) n1(A) 1f(z)1；二、填空题2.函数ezlimncn 1cnlimn3n 13n(1)n1(1)nn 1 iZn nZ4 n14 nz14zB(B)3)n(B)的收敛域是|z3|z| 1(D)

13、C|z 3|(D)|z3|2 n(z 3)；在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 z(z 1)(z 4)m个，则z(z(B) 2(C) 3(D)1)(z 4)的奇点有z 0, 1,4; z1)n1 (z 2)n1ez 在0 |z|(1)n(1的收敛域为的洛朗展开式为2+nz +1 n! n1 n!3 .函数在1 |z i | 的洛朗展式为z(z i) 11n2n 2(1) (z i)n 0i ( 1)n 1(z i) 2n 3(或(i)n(z i) n 0n 0n2)此时11.|z i|11z(z i) z i ;z i i (z i)2n( (寸 i -1 i (z i) n 0 z i z

14、 i，1( 1)2k(z i) k 02k(1)k1.k 0 z i(k 02k+i2k+i ( 1)k 01)ka2k i ( 1)ka2k1,从而上式等于k 01)2k+1(2k 31)k2k 11z i三、解答题:1.用洛朗级数展开式将. ef(z)在0 |z| z处展开为洛朗级数。n 2 zn 0 n!znf(z) 2 = z z n 0 n!0 |z| 1;由于1 z z2 川 zn III'1_ 11z(1 z)2 z 1 z= z(1 2z 3z2 nzn(z 1)(z 2) (z 1)(z 2) z 1 z 2 z 1 1 znn |)=z 2 3z I" n

15、zn 2 HI0 |z 1| 11112 =2z(1 z) (1 z) 1 (z 1)1(1 z)2n(1)n(z 1)n0nn 2=(1) (z 1) n 0(2)1z 1 1 (z 1)(z 1)(z 2)0 |z 1| 1;1(zn 01)n1 |z 2|1(z 1)(z 2)1|TT|11(z 2)2 7"( 1)n(z 2) n ( 1)n(z 2) n2(z 2) n 0n 03.若C为正向圆周|z| 3,求积分f(z)dz的值，设f(z)为C在洛朗级数的各个收敛圆环中，找出C所在的那个圆环，在该圆环内再进行洛朗展开(1)1z(z 2)2内解析，并可展成洛朗级数1， 一在

16、区域zz(z 2)_ nn - n1= 111( 1)n 2( 1)n2nz(z 2) z2 1 2 z2 n 0 z n 0 zn 2z , 一一 n由C含于区域z 2内，因而i'f(z)dz=2 ic 1=0(2)(z 1)(z2)复变函数练习题第四章z1211系 专业 班 姓名 学号综合练习题、选择题1 .若Cn(Z i)n 在 Zn 03i发散，则它必在(A) Z 1收敛(B) Z 2发散(C) z i收敛D)以上全不正确(由Abel定理)nCnZn 1cnn 1 R, &,R3 ,则 R1,R2, &之nCnZn 1和n- z 的收敛半径分别为n 0n 0 n

17、 1间的关系是(A) WR2R3(B) RR2R3(C) WR2R3(D) RR2R3(C) 1 |Z|(D)不存在的3 .级数J 1 1 Z Z2的收敛域是(A) |Z| 1(B) 0 |Z| 1负事项为有限项,因此,不需要保证1,只需保证其解析性，也就是z 0即可二、填空题2cos1n in |n|!ni|n|! n.n. nii+0 n! n 1 ( n)!.n i 一 +n 0 n!1n 1 n!inei(ei 1)2nn1(Z 3)n(1)n(1n 0Z)n的收敛圆环域是2 |z 3 3 3!2n 1(z 3)n1(z 3)n2n(1)n1(1z、n 13)1)n(1 3)n3.设C

18、n(z 2)nn 04收敛而在z 2 2i发散，则其收敛半径 R 221 2内绝对收敛。三、解答题1.求函数f(z)1的邻域内的泰勒展开式，并指出其收敛域。f(z)已13n(z 1)non 10 32.求洛朗级数nCn(z 2)”的收敛圆环,其中解：由于(n 1)!limnnn (n 1)Co1,cnn!2 III1-,n n1,2,|1|limnnn(n 1)nlimn(11)n nCn(z 2)%勺收敛圆环为0 n 0另一方面，由于limnc (n 1)limnIIIIII级数 c n(z 2)噌勺收敛圆环为z 2 1, n 1从而洛朗级数nCn(z 2)n的收敛圆环为1 z 2 e.3.把下列各函数在圆环域0 |z| R内展开成洛朗级数，并指出使展开式成立的R:z e-3 zznn n 3e 1(z) ( 1) z33z z n 0 n! n 0 n!(2)1-22-z (1 z )122-z (1 z )11z2 1 z21 2n2n 2-z z z n 0 n 0R=1,-14.把函数 - 在下面圆环域内展开成洛朗级数：z2 1(1) 0 |z i | 2,(2) 2 |