高数各章综合测试题与答案

1、第十一章无穷级数测试题单项选择题2、3、an(Xn 1(A)绝对收敛；1)n在x 1处收敛,(B)条件收敛；则该骞级数在(C)发散;(D)卜列级数条件收敛的是(1)nn(A) n1E n若数项级数an收敛于n 1(A) S a1；(B) S).(_1)n 11 ； n3a2；(C)(C)1)nananaia2；5八、一处必然(2收敛性不定.n19；(D)(n 11)n3，n.1 an 2(D)S a24、设a为正常数，则级数sin2na -3=().n 1 n n(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)收敛性与a有关.2 .5、设 f (x) x ,0 < x 1 ,而 S(

2、x)bn sin n 的 xn 11其中 bn2 0f (x)sin n 的(n,、112L),则S(甘等于(1111(A)2； (B)4；(C)7；(D)2.二、 填空题111、设 un 4 ,则(-un /)()n 12、设an x 1的收敛域为n 1n 1n 1 222,4 ,则级数 nan x 1 n的收敛区间为( n 12. 1 x< 03、设f(x) ,3，则以2为周期的傅里叶级数在 x 1处收敛于()x3,0 x<124、设 f(x)水 xa兀< x冗的傅里叶级数为 an cos nx bn sin nx ,2 n 1(1)n2n .一 .5、级数-一)一n的和

3、为()ni 2n 1 !三、计算与应用题1n1、求级数一-x 3 ;的收敛域n 1 n 3n1，2、求 的和n1 n 试证：对任意常数 1 2n3、将函数f(x) ln 1 x 2x2展开为x的哥级数，并求 f(n1) 04、求 n n 1 xn的和函数 n 0 2 n!n 1 xe5、已知fn(x)满足fn(x)fn(x) x e , n为正整数，且fn(1),求函数项级数nfn x的和函数.n 16、设有方程xn nx 1 0 ,其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根x0,并证明当1时，级数xn收敛.n 1四、证明题 冗设 an4 tann xdxn 0,、，、1(1)求一an an 2提

4、示:1-an an 2 n11 一 一.5anan 2n n 1 n 1 n1.n 1 n一，1因为an an 2，所以ann 1第十一章无穷级数测试题答案与提示1、A;2、D; 3、B; 4、C; 5、B.2、4,23、5、cosl sinl.1、答案:0,6 .2、答案:53, cIn 28 4提示：原式为级数nx-2-1 n的和函数在11, _点的值.2n田 x而 一2n 2 n 13、答案：f(x)f (n 1)提小：f (x)In4、答案:提示:而xex5、答案:n 2n 1(1)n2n，分别求出一2加1 一和一12nx 的和函数即可.I 12n2n n!2x2In2xxe2In1,

5、n2 1 n2nn! *fn xn 1n!ex In提示：先解一阶线性微分方程,fn xn 16、提示:设fn(x)nx而 fn(0)0,nx01 , x n 0 n!求出特解为1,则 fn(x)1,1fn(x)-ex nS(x)n0, x 0fn(1) n 0,所以有唯一正根1一，故当 1时，级数 nxnn 1-,则可得S(x) n，故 fn(x)在 0,x0.由方程xn收敛.nxln(1 x)内最多有一个正根.1 0知,10xO，-1四、提小：一an nanan an 21 .n 1 n因为anan1,，所以ann 111an、单项选择题1、已知x ay dx ydy第十章曲线积分与曲面积

6、分测试题为某二元函数的全微分，则 a等于（(A)1；(B) 0；(C) 1； (D) 2.2、设闭曲线1的正向，则曲线积分ydx xdy一x”一的值等于（(A) 0; (B) 2;设 为封闭柱cos ,cos ,cos(C)面x222(A) 9 旧；(B) 6 Tia ；2224、设曲线c为x y z a4； (D) 6.x xcos ycos©3旨；(D)2,则？xds等于（ czcos向外的单位法向量为0.ds等于（2(A) 3a ;-2(B) 0；(C) a ；(D)5、设为下半球z的上侧,是由 和z0所围成的空间闭区域，则zdxdy不等于(A)dv;2兀(B)0dam0r2r

7、dr ；(C)2 Ttd02.r rdr;(D) zy dxdy.二、填空题1、设c是圆周x2x y2 dsir2、设质点在力F3xcri 2yrx j的作用下沿椭圆4x22y 4的逆时针方向运动周,u则F所做的功等于3、是平面x y z26被圆枉面xy2 1所截下的部分，则 zds等于()4、2是球面x y2z 1的外侧，则0 222"d ydz 等于()x y z5、2xf (x)C 1x2cydxf (x)dy与路径无关,其中f (x)连续且f (0) 0,则f (x)()、计算与应用题求 I l ex sin yb x y dxey cosy ax dy ,其中a, b为正常

8、数，L为从点2a,0沿曲线y J2axx2到点O 0,0的弧.2、计算i2Lyds,其中L为圆周3、在变ur r r r 力 Fyzi zx jxyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面22xy2,2ab2。1上第一卦挂线的点 cUT,取何值时，力F所做的功W最x, y, z S ,冗为S在点P处的切平zds.S x, y, z大并求出W最大值.22八一，一 x y2一，4、设S为椭球面 z 1的上半部分, 22面， x, y,z为点O 0,0,0到平面冗的距离,5、求 I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy ,其中为曲面z 1 x22y _一，0 < x <1的上4侧

9、.0,内具有连续的6、设对于半空间x 0内任意光滑有向闭曲面S,都有，0xf(x)dydz xyf(x)dzdx e2xzdxdy 0 ,其中函数 f(x)在S一阶导数，且 lim f (x) 1 ,求 f(x).x 0x、e v答案：f (x) e 1 x提示：由题设和高斯公式得00xf(x)dydz xyf (x)dzdx e2xzdxdy。xf (x) f (x) xf (x) e2x dvS由S的任意性，知xf (x) f (x) xf (x) e2x 0 ,解此微分方程即可.四、证明题已知平面区域Dx, y 0<x<R0<x<7t, L为D的正向边界，试证:(

10、1)sin xsin ysin xye dx xe dy ye dx；Lsin y I?xe dy yeLsin x dx第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示D; 2、C;3、A; 4、B; 5、B.3必；2、3、6百冗；4、4一冗，35、答案：I提示：添加从O 0,00到点2a,0的有向直线段L1 ,然后用格林公式.2、答案：I提示：利用变量“对等性”Ly2ds2 .x dsLLz2ds1 O a3ds.3 ?L3、答案:3, t3,Wmaxabc.提示：直线段OMt, yt,W OMyzdxzxdyxydzt2dt再求W在条件2x2a2 y b22z2c1下的最大值即可.4、答案:ds

11、S x, y,z3一%.2提示：曲面S在点P x, y,z处的法向量为x, y,2z切平面方程为：-X -Y zZ 0 ,22点O 0,0,0到平面冗的距离 x, y,z122z5、答案：I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy 兀提示：添加曲面2i为平面xoy上被椭圆x1 0< x<1所围的下侧，在围封闭曲面上用高斯公式注意到在Ixzdydz 2 zydzdx13xydxdy的积分等于3xydxdy 为 0.D6、提示：兀 一 =0_ _兀 一一一 一(1)左边=启sinydy向 sinxdx冗esinx+esinx dx,同理,0J冗0sinx , sin x右边=九

12、e +e dx0(2)由(1)得?xesinydy ye sinxdx= ""esinx+esinx dx ,而由 esinx 和 e sinx 泰勒展开 L式知道2_, 2/_sinx，一 sinx .sin x dx ( 九 e +e dx,00存 7t c _ 2,52mo 冗 2 sin x dx 一冗.0第九章重积分测试题、选择题1、若区域D是xoy平面上以(1,1), ( 1,1)和(1, 1)为顶点的三角形区域，Di是D在第一象限中的部分，贝U (xy cosxsin y)dxdy ().D(A) 2 cosxsin ydxdy ;(B) 2 cosxsin

13、ydxdyD1D(C) 4 (xy cosxsin y)dxdy (D) 0Di2、设 f (x, y)连续，且 f (x, y) xy f (x, y)dxdy ,其中 D 是 xoy平面上由 y 0, y x2D和x 1所围区域，则f(x, y)等于().(A) xy;(B) 2xy; (C) xy 1 ; (D) xy3、设 I1cosjx2 y2dxdy, 12cos(x2DD22D x, y x +y ( 1 ,则().182、y )dxdy, I3cos(x2y2)2dxdy,其中D(A) I3 I 2Ii ；(B)11 I2 I3 ；(C) I211 I 3 ； (D) I311

14、 I 22224、设空间闭区域 由x y z <1及0wz确定，1为 在第一挂限的部分，则().(A) xdv 4 xdv; (B) ydv 4 ydv;11(C) zdv 4 zdv;(D) xyzdv 4 xyzdv1 15、设空间闭区域x, y,z Jx2 +y2 < zw J2x2 - y2 , I zdv ,则下列将 I化为累次积分中不正确的是().2 Tt1M r2(A) I d rdr 2 zdz;00r21 222,(C) I o z dz jz(2 z )dz;2 Tt - -腔2(B) I d 4 d cos sin d 0001Ji y222. x2 y2(D

15、) I 4 dx dy 2 2 zdz00x2 y21、设区域D为x2 y2 （ R2 ,则I2£ dxdy的值等于（、填空题CC2222、设 D x, y x +y <1 ，则 lim2 ex y ln(1 x y)dxdy 的值等于()r 0 < D2223、积分I dx e y dy的值等于()0 x222R4、积分If (x y z )dv可化为积分 ° (x)dx,则(x)等于()x2 y2 z2<R20一一 一 一 2 一5、积分I（ax by） dv的值等于（）x2 y2 z2 <1三、计算与应用题1、求IXx y2 y dxdy ,其

16、中D是由圆x2Dy2 4和（x 1）2 y2 1所围的平面区域.2、求I_22max x ,ye dxdy ,其中 Dx, y 0<x<1,0< y<13、计算I与平面z4所围的立体.4、计算I(x z)dv，由 z = Jx2 y2 及 z = J4 x2 y2 确定.5、计算I1 y Z12 dy i exdx42y -exdx.y6、设有高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程2(x2 y2) t 、斗 h(t)- (设长度单位为厘米,h(t)时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为130cm的雪堆全部

17、融化需多少小时2 2z(x2 y2 z)dv,其中 由曲线 y2z绕z轴旋转一周而成的旋转曲面x 0四、证明题1111 o设函数 f(x)在 0,1 上连续，并设 0 f (x)dx A,证明 I odx xf (x)f (y)dy -A .第九章重积分测试题答案与提示1、1、A; 2、D; 3、A; 4、C; 5、B.2、222，.x ytRc/c14224 7t 221、 不下；2、1 ； 3、一 1 e ； 4、4 tix f (x ); 5、a +ba b 4215三、161、答案：I 一 3/2 .9提示:将D看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可2、答案：I e

18、1提示：为确定 max x2,y2 ,必须将D分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可3、答案：I256提示：旋转曲面的方程为x2 y2 2z,用柱面坐标计算2 冗2<24I d rdr r2 (r z)dz 即002可.4、答案：I -.8兀兀,1提示： xdv 0, zdv 4 2d4dcos0002sin d5答案：I 3e 4提示：交换积分次序.6、答案：t 100小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积h(t)dz0x2 y2<! h2(t) h(t) z2九3dxdy - h (t);再求出雪堆的侧面积由题意dV 0.9S ,dt四、提示：交换积分次序，Sx2 y2&

19、lt;2h 2dh(t)所以dt2.22132 q1zxZydxdy -h (t)；2(t)13一，解出h(t)并令其等于0,则可得结果.101 并利用0dyy0 f (x) f ( y)dx1 x0dx 0 f (x) f(y)dy1dx 0 f (x)f (y)dy .第八章多元函数微分法及应用测试题一、选择题sinx1、已知函数f(x)在 1,1上连续，那么一f(t)dt ().x cosy(A) f (sin x) f (cos y)(B) f (sin x)cos xf (cos y)sin y(C) f (sin x)cos x ； (D) f (cos y)sin y2、在矩形域

20、 D:x 刈| ,|y V。内，fx(x,y)fy(x,y) 0是 f(x,y) c (常数)的().(A)充要条件；(B)充分条件；(C)必要条件；(D).既非充分又非必要条件3、若函数f(x, y)在区域D内的二阶偏导数都存在，则()(A)fxy(x, y) fyx(x, y)在 D 内成立； (B) fx(x, y), fy(x, y)在 D 内连续；(C)f (x,y)在D内可微分；(D)以上结论都不对4、 lim2xyx 0 3xy 0 3x的值为(D) 0.，八，2(A);(B)不存在；(C)一；30,1,1的一个邻域，在xz5、设有三兀函数 xy zln y e 1,据隐函数存在

21、定理，存在点此邻域内该方程 ().(A)只能确定一个具有连续偏导的隐函数 z z x,y ;(B)可确定两个具有连续偏导的隐函数z z x, y和y y x,z ；(C)可确定两个具有连续偏导的隐函数z z x,y和x x y,z ;(D)可确定两个具有连续偏导的隐函数x x y, z和y y x,z .二、填空题1、设 f(x, y) exycos(x) (y 1)arctan /二，则 fx(1,1)的值为().2 y2、设 f (x,y)具有连续偏导数，且 f (1,1) 1, fx(1,1) a, fy(1,1) b ,令(x) f x, f x, f (x, x),则 (1)的值为(

22、3、设 f (x, y,z)z z(x, y)是由 x yz xyz 0确定的隐函数，则fx(0,1, 1)4、22曲线x yx 2yz23在点z 01,1,1处的切线方程为5、函数ux2222y2 3z2 xy3x2y 6z在点O0,0,0 处沿()方向的方向导数最大 计算和应用题1、设 axy3 y2 cos x dx 1 by sinx 3x2y2 dy为某一函数f(x,y)的全微分，求a和b的值2、y,xf用具有二阶连续偏导数，且 g 0,如果4 f22,求常数k的值.3、在椭球2 x2 a2 y b22z2 1内嵌入一中心在原点的长方体，问长宽高各是多少时长方体的体 c积最大4、设y

23、g(x, z),dz而z是由万程f (x z, xy) 0所确te的x, y的函数，求 dxf (x, y)有阶连续偏导数，g(x, y) f (exy,x2 y2),且f(x, y)1 x y o(V(x 1)2y2),证明g(x, y)在(0,0)取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值.6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为_22_ 一 22D x, y x + y - xy< 75 ,小山的图度函数为 h(x, y) 75 x y xy(1) 设Mo X0，Yo为区域D上一点，问h(x, y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大若记此方

24、向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(%, y0)的表达式.(2) 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀 登的起点，试确定攀登起点的位置.四、证明题设F(u,v)可微，试证曲面 F('色，_y_b) 0上任一点处的切平面都通过定点 z c z c第八章多元函数微分法及应用测试题答案与提示1、 C; 2、A；3、D;4、B; 5、D.1、%e2；2、a(1 b23b2) b3 ; 3、1;4、x 1Tz 1,5、gradur r r3i 2j 6k.1、答案:2,b2.提示：利用fxyfyx这一条件.提示:f1f2f1f2kg ，2z-2 x2zf1

25、12 f12f222z2 yf112 f12f22又因为f11f 22kg2z2 x2x y2z-2y4 f221 2k k2 g0,所以12kk21.3、答案:提示:设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为x, y, z ,则求体积8xyz在条件2.32.3, 2,3a,b,c .333222xyz -2-2"-1 T的极值就可.abc4一 dzf1 yf2 xf2 gldxf1Xf2 g24、答案：一-一翌2、答案：k.5、答案：故g(0,0) f (1,0) 0是极大值.提示：由全微分的定义知f (1,0) 0 fx(1,0) fy(1,0)1gxfl exyy f2 2x gy

26、fl exyx f? 2y gx(0,0) 0 gy(0,0) 0gx2(fiiexyyfi22x)exyyf1exyy2gexyyf22 2x)2x 2f2gxy(fiiexyxfi22y)exyyfi(exyxyexy)(f2iexyx f22 2y)2xgy2(fiiexyxfi22y)exyxfiexyx2(f2iexyxf22 2y)2y 2 f2A=gx2(0,0) 2 f2(i,0)2 B gxy (0,0)fi(i,0) iCgy2(0,0) 2 f2(i,0)2_ 2AC B 3 0,且 A 0,故 g(0,0)f(i,0)0是极大值.2222226、答案：g(x0,y

27、76;)yy02% x2y0J5%5y08%丫。攀登起点的位置：Mi 5, 5 ,M25,5 .提示：沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值即为梯度的模. . 22_然后再求g(x, y)在条件75 x y xy 0下的极大值点就可.四、答案：通过定点M a,b,c .第六章微分方程测试题一、选择题i、设 y f(x)是 y 2y 4y 0 的解，若 f(x0) 0 且 f (x0) 0,则在 x0 点 f(x)().(A)取极大值；(B)取极小值；(C)在x0某邻域内单增；(D)在x0某邻域内单减. . 2x2、微分万程y 4y 4y 8e的一个特解应具有形式()(a,b,c, d为常数

28、).(A) ce2x; (B) dx2e2x;(C) cxe2x;(D) (bx2 cx)e2x.3、微分方程y y x2 i sin x的特解形式可设为().*2(A) y ax bx c x(d sin x ecos x); *2(B) y x(ax bx c dsinx ecos x); *2,(C) y ax bx c d sin x;*2,(D) y ax bx c ecos x.p(x)y q(x)y f (x)的解,4、设线性无关的函数yi, y2, y都是非齐次线性微分方程yc1,c2是任意常数，则该方程的通解为().(A) ciyi c2 y2y3； qyic2y2ciC2

29、y3；(C) Gyc2 y21gc2y3；(D) cyic2y21cic2y3.5、方程xy y 0满足y(1) 2的特解为(). 2.2(A) xy 1; (B) x y 2;(C) xy 2;(D) xy 1.二、填空题 .V 1V 1、已知微分万程y 2y 3y e有一个特解y - xe ，则其通解为().4xx2、以y1 e , y2 xe为特解的二阶常系数齐次微分方程是().3、若连续函数f(x)满足f (x);efdt,则f(x)等于().4、已知函数y y(x)在任意点x处的增量y -42，其中 是比x ( x 0)高1 x阶的无穷小，且 y(0)/，则y(1)等于().5、y

30、2y yxex的通解为().y y ex的一个特解,三、计算和应用题1、设y e2x (1 x)ex是二阶常系数线性微分方程y求该微分方程的通解.2、设函数y y(x)在内具有二阶导数，且y0, x x y是y y(x)的反函3- dxy sin x 一 dy0变换为y y(x)所, d2x(1)试将x x y所满足的微分方程dy满足的微分方程；3 一(2)求变换后的微分万程满足条件y(0) 0, y (0)一的解.23、已知yie2xxex,y2exxex,y3e2xxexe x都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程3x t24、已知连续函数f(x)满足f(x) f (-)d

31、t ex,求f(x). 03x15、已知连续函数 f(x)满足 f(x) ° x u f(u)du ex 2x ° f (xu)du ,求 f (x).6、设函数f (x)在1,上连续恒正，若曲线 y f (x),直线x 1,x t t 1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为:t2f(t) f (1),试求2y f (x)所满足的微分方程，并求该方程满足f (2)的特解.9四、证明题证明方程y y f(x)(其中f(x)连续)的通解为y Ci cosx Qsinx 0第户1、A; 2、B; 3、A; 4、D; 5、f (t)sin x t dt,其中为任

32、意常数章微分方程测试题答案与提示C.3xx 1 x1、c1ec2e-xe ； 2、4x 15、yc1c2x e x 14y 2y y 0 ； 3、ln(x 1) ； 4、启4 ;xe .2x _ _x 2x1、答案：Ge c?e ex)ex.提示：将y e2x(1 x)ex代入原方程，比较同类项系数，求出的值，然后再去求解微分方程2、答案：(1) y y sin x；1x x(2) y e e sin x.23、答案：y y 2y ex 2xex.提示：y1y3 e x, y1 y2=e2x是对应齐次微分方程的特解，从而可得出对应齐次微分方程为y y 2y 0,设非齐次线性微分方程为y y 2

33、y f (x),再将其中任意个非齐次特解代入，得出f (x) ex 2xex.4、答案：f(x) 3e3x 2e2x.12 x5、答案：f (x)1 2x x e .i提示：作代换xu t ,贝U 2x 0 f (xu)du4一 x6、答案：f (x)3.1 x提示：依题意可得：;t2 f(t) f (1)四、略.第五一、选择题S-1、设 f(x)连续，I t 0t f (tx)dx, t(A) 依赖于s和t;(C)不依赖于s但依赖于t ；2、下列积分中，等于零的是().1(A)211cosxln(1 x2)dx2y sin x cos4 x , (C)2 2-dx21 x3、设在 a,b 上

34、 f (x) 0, f (x) 0, fb令 s f(x)dx, S2f(b) b a , S3ax2 0 f dt.t冗f (x)dx,然后两边求导.定积分及应用测试题0,s 0,则I的值是().(B)是一个常数；(D)依赖于s但不依赖于t.3 x2(B) 3(x 1)e dx1 芍2(C) 1(x V1 x ) dx(x) 0,1 -f(a) f (b) b a ,则().2(A)S3S2S1;(B)S3S1S2; (C)S2S1S3; (D)S1S3S2.2 .左 sin x , 冗 mtr sin x ,钻/古招工,、4、已知 dx ,则2dx的值等于().0 x 20x22无_ TT

35、,(A) -; (B) X (C) ;(D) T-1.24xf (x t)dt5、设f(x)在0处可导，且f(0) 0,则极限lim -2的值等于().X 0 x1、(A)不存在；(B) 0; (C) f (0);(D) f (0).2、填空题x3 11、设f(x)连续，o f(t)dt x,则f等于().3元2、定积分 3 式1 arctanx)J1 cos2xdx 的值为().13、定积分 (x x)S4dx的值为().a4、若积分 (2x 1)dx 4,则常数a的值等于().a5、曲线y x3 x2 2x与x轴所围成的面积值等于().三、计算和应用题1、已知 f (访 1 ,且 

36、6; f (x) f (x) sin xdx 3,求 f (0).1 2x2 x(ex ex),2、计算 、-dx11 ,1 x23、设 f(x)2 .7t sin t ,n2dt ，01 2xcost x求例 f(0)4、兀计算02_._3sin x ,dx.sin x cosxe5、设 xf (x) ln x e f (x)dx，求 f (x).16、设 f(x)可导，f (0) 1,且 o f(x) xf(xt) dt 与 x 无关，求 f (x).四、证明题设函数f (x)在a,b上连续，在 a,b内f (x) 0 ,证明存在唯一的a,b使曲线y f(x)和y f ( ), x a所围

37、面积S1是y f (x)和y f ( ), x b所围面积S2的3倍.第五章定积分及应用测试题答案与提示一、1、D; 2、C; 3、B; 4、A; 5、D.二、1、 ； 2、4/2 2; 3、2; 4、2; 5、.1212三、1、答案：f(0)2.提示：用分部积分2、答案：4 m提示：利用奇偶对称性 3、答案：1.提示：分别求出f(0)和f(1)的值即可.4、答案：14兀提示：20sin x一一 3sin x ,dxcosx33COS x L2dx0 sin x cosx/兀31 2 sin x0 sin x3cos x, dx.cosx5、答案:f(x)In x6、答案:f(x)提示：令四、

38、提示:令Si、单项选择题f (x)当 x2、(A)充分;设 nimT(A) limn3、4、10 f(x)a,b ,Si3s2 txf (xt) dtf(x)0,所以(C) limn1x 0 f (xt)dtexf (x)f (x)dx ,用零点定理和单调性证明即可第一章综合测试题x0时的左极限和右极限都存在且相等是(B)f(x)S2 tx0 f (u)du，bt f (x)dx b t ,呵f(x)存在的()条件.limn1+2+L_x设 f (x)=2(A) f(x)与必要;n二)n(C)充要；(D)无关.)._2 nn则当limnx是等价无穷小；(C) f (x)是比x高阶的无穷小0,有

39、().(B)(D)极限不存在.(B) f(x)与x是同阶但非等价无穷小；(D)f(x)是比x低阶的无穷小.1ex 1 设f (x) i ,贝U x 0是ex 1f (x)的().(A)可去间断点；(B)跳跃间断点；(C)第二类间断点；(D)连续点.、一 45、方程X X 1 0至少有一个根的区间是 ().11(A) (0，2)；(B) (-,1)；(C) (1,2)；(D) (2,3).二、填空题 1217、若 f (X ) X = 3 ,则 X X28、已知函数 f(X)(CosX) X，Xa, x9、lim( Vn 3 Vn)Vn_1 =(213sin x x cos-10、设 limx-

40、xX 0 (1 cosx)(e 1)f(x)().0在 X 0连续，WJ a ().0).()5、已知lim na2 bn 53n 2)，b ()三、计算与应用题1、设 f (x)0, x<0X, X 0g(x)0, x<0X2, X0求函数项级数f f(x),gg(x),fg(x),gf(x).2、设 f (x)xsin,x 0X ,要使f (x)在(2a x , x< 0)内连续，应当怎样选择数a1_ X 13、设 f(x)e ,X 0 ，求f(x)的间断点，并说明间断点所属类型.ln(1 x),1 x < 04、计算极限 lim(sin x)tanX - X 2一

41、2x 3 X 15、计算极限lim()X 2x 11、1、,、6、设f(x)的定义域是0,1,求函数f (X -) f (X &)的定义域.四、证明题证明方程sinx x 1 0在开区间(-,)内至少有一个根2 2第一章综合测试题答案与提示1、C; 2、C; 3、B; 4、B; 5、C.4、3一 ；5、任息吊数,26.1、答案:ff(x) = f(x), gg(x) 0, fg(x) 0, gf(x) g(x).2、答案：a 0.3、答案：x 0是第一类间断点，x 1是第二类间断点.4、答案：1.5、答案：e.16、答案：x -.2四、提示：利用零点定理.第二章综合测试题一、单项选择题

42、eax . x 0 . 一 1、若f (x)在x0处可导，则a、b的值应为().b sin 2x, x > 0(A) a 2,b 1； (B) a 1,b 2 ； (C) a2,b 1;(D) a 2,b2、设 f(x)x2 2x 2, x 1(1, x < 1).(A)不连续；(B)连续，但不可导(C止续，且有一阶导数；(D)有任意阶导数3、若"*)为(l,l)内的可导奇函数，则 f (x)().(A)必为(l,l)内的奇函数；(B)必为(l,l)内的偶函数；(C)必为(l,l)内的非奇非偶函数；(D)在(l,l)内，可能为奇函数,也可能为偶函数4、f (x)在x0处可

43、导，则lim工凶x 0x) f(x0)x().(A) 2f (x。)；(B) f ( Xo);(C) f (Xo);(D) f (Xo).5、设 f(x) sin x cos-,则 f(15)(©().211(A) 0；(B) 1 -15 ；(C)1；(D)/22、填空题11、f (x)在点X0可导是f (x)在点X0连续的(充分)条件，f(x)在点x0可导是f(x)在点xo可微的()条件.12、设 f(x) x(x 1)(x 2)L (x n) (n>2),则 f (0)()13、设f (x)为可微函数，则当x 0时，在点x处的 y dy是关于 *的()无穷小.xa(cost

44、tsin t)dx14、 已知,，则一ya(sin ttcost)dyd2x)，T2dy4415、 设函数 yf (x)由方程 ln(x2y)x3y sinx 确定，则 dy ( ).dx三、计算与应用题1、讨论函数y1xsin 一，xx0 , x0处的连续性和可导性.2、已知f(x)2ex 1,x x1 ,xf (x).3、设 yf(ex)ef(x)且 f (x)存在,求也.dx4、设y 我行7/7,求微分dyx2.x-2 (3 x)4 i,5、用对数求导法计算函数y ( 5 )的导致(1 x)526、求函数y cos x的n阶导数.四、证明题设 f(x)在(，)内有定义，且 x, y (,

45、),恒有 f (x y) f (x) f (y),f (x) 1 xg(x),其中 Hmi g(x) 1,证明 f (x)在()内处处可导.第二章综合测试题答案与提示2、3、4、5、6、A; 2、C; 3、B; 4、D;5、B.充要;答案:答案:答案:答案:2、n! ； 3、高阶;连续不可导.f (x)dydxdydyx2答案:答案:(n)y四、提示：x,4、2x2(2x2 2)exef(x)f (ex)ex1x778.2 一 ，;5、1 .3a tc2, x 0f(ex)f (x).X/7ln 7( 3)dx；(三 ln714x 2 (3(1 x)5f(x)Vxm01、单项选择题2n 1 c

46、os(2x)，有 VyVxm0f(x) g(Vx)1_ _J_5 2) x 3 x 1 .f(x)f(Vx)f (x).第三章综合测试题1、下列函数在1,e上满足拉格朗日定理条件的是(A)，、,八 1ln(ln x);(B) ln x;(C);ln x1 f(x) Vx g(Vx),).(D) ln(2 x).2、设f(x0)f (%) 0 , f (%) 0,则().(A)f (x0)是f (x)的极大值；(B) f(x0)是f(x)的极大值；(C) f(xO)是f(x)的极小值；(D) (x0, f (x。)是曲线y f(x)的拐点.3、设函数f (x)在0,1上满足f (x)0,则 f (1), f (0) , f(1)f(0)或 f(0)f的大小顺序是().(A) f f (0) f f(0);(B) f (1) f(1) f(0) f (0)；(C) f (1) f(0) f (1) f (0)；x4、指出曲线f(x) 2的渐近线(3 x(A)没有水平渐近线；(C)既有垂直渐近线，又有水平渐近线55、曲线 y (x 5)3 2 ().(A)有极值点x 5，但无拐点；(D) f (1) f(