完整版史上最全直线与直线方程题型归纳

1、直线与直线方程、知识梳理1直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系屮，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕 着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么 就叫做直线的倾斜角当直线和X轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为Oo 倾斜角的取值范围是0°<V180。.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表(XiX2)示倾斜角是90。的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点R （Xi, yj, P2 （X2, y2）的直线的斜率公式：k滋一匕X2Xi&斜率存在时两直线的垂直:Il I2 kik21 3.直线方程的五种形式直线形

2、式直线方程局限性选择条件点斜式y yi kx 为不能表示与X轴垂直 的直线 已知斜率 已知一点斜截式y kx b不能表示与X轴垂直 的直线 已知斜率 已知在y轴上的截距两点式y yi X Xi y2 yi X2 为 为X2,伙y不能表示与X轴、y轴垂直的直线 已知两个定点 已知两个截距截距式栄上1a b（a、b分別为直线 在X轴和y轴上的截 距）不能表示与X轴垂 直、与y轴垂直、过原 点的直线已知两个截距（截距可 以为负）一般式Ax By C 0Av B不全为0表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程7斜率存在时两直线的平行:h " I2 ki = k2且 bi bz9.特殊

3、情况下的两直线平行与垂直:当两条直线屮有一条直线没有斜率时：（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90° ,互相平行；（2）当另一条直线的斜率为 0时，一条直线的倾斜角为 90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（） 任何一条直线都有唯一的倾斜角； 倾斜角为30°的直线有且仅有一条； 若直线的斜率为tan ,则倾斜角为； 如果两直线平行，则它们的斜率相等C.2个0,那么直线A. 0个 【练习】如果B.1个AC0且BCD.3个Ax By C（）A.第一彖限【例2】如图,B.

4、笫二彖限C.笫三象限直线I经过二、三、四彖限，IA. ksin o>0B. kcos a>0C. ksin a 0【练习】图屮的直线12, 13的斜率分別为ki,k2, k3,则（C.ki< k2 V k3k3< k2< kt经过点P 1,2B.D.作直线I,k3< ki< k2ki< k3< k2D第四象限的倾斜角为a,D. kcos a 0【例3直线I的倾斜角与斜率k的取值范围。若直线I与连接A0, 1 , B4,1的线段总有公共点，求【练习】已知两A-3,4 , B3,2,过点P 2,-I的直线丨与线段AB有公共点，求直线I占八、的斜

5、率k的取值范围。【例4若直线I的方程为y xtan2,则（A. 一定是直线I的倾斜角B.C. n 定是直线I的倾斜角D.定不是直线I的倾斜角 不一-定是直线I的倾斜 角【练习】设直线ax by co的倾斜角为A. a b 1 B.a b 1 C.,且sina b 0 D. a b 0cos 0 ,则a、b满足（-5-题型二：斜率的应用【例5】若点A 2,2 , B a,0 ,C 0,4共线则a的值为2、求函数y2X 1的值域【练若三点 A 2,2, B a,0 ,C 0,b ab0共线,则丄a【例6已知实数X、y满足2xX 3时,的最大值为值为【练>11A. a b题型三:1n2 In3

6、h1 2c b a,CIn 5O|(4.C B.两直线位置关系的判断C.b D.已知，两直线1八2斜率存在且分别为&, k2,若两直线平行或重合则有Kk2,若两直线垂直则有k-ik2.【例7】已知直线h的倾斜角为60,直线心经过点,3, B 2, 2、. 3,判断直线h与心 的位置关系【练习】仁 已知点P 2,3, Q4,5,A1, a, B 2a,2当a为何值时，直线PQ与直线AB相互垂直?2、已知直线m经过点A3, a, Ba 2,3,直线经过点M 3,a,N6,5,若 mi m2,求a的值.4B互相垂直【例8在平面直角坐标系屮，对 a R,直线1i : X 2ay 1 0和b ：

7、 2axy 1 0A互相平行C关于原点对称D关于直线y X对称-8-【练习】直线3a 2 X 1 4a y 8 0与5a2xa4y 7 0垂直，求a的值.题型四：求直线方程(一)点斜式【例9】根据条件写出下列直线的方程:(1) 经过点A (1,2)，斜率为2；(2)经过点B (- 1,4),倾斜角为135；(3)经过点C ( 4,2)，倾斜角为90 ；经过点D (3,(4)已知直线过一点，可设点斜式2 ),且与X轴平行.(2)倾斜角为150,在y轴的截距为一 2；(3)倾斜角为45,在y轴上的截距为0.【练习】已知ABC屮，A1, 4, B2,6, C 2,0, AD BC于D,求AD的直线方

8、程.(二)斜截式【例W】根据条件写出下列直线的方程:斜率为2,在y轴上的截距是5；(1)已知斜率时，可设斜截式：12的直线丨的方程.3【练习】求斜率为3,且与坐标轴围成的三角形周长是(三)截距式【例12】根据条件写出下列直线的方程：仃)在X轴上的截距为一 3,在y轴上的截距为2；(2)在X轴上的截距为1,在y轴上的截距为一 4;与截距相关的问题，可设截距式【练习】直线I过点P 4,3,且在X轴、y轴上的截距Z比为1:2,求直线I的方程.(四)两点式【例11】求经过下列两点的直线方程: A(2,5),B(4,3)(2)A(2,5),B(4,5)(3)A(2,5),B(2,7)适时应用“两点确定一

9、条直线”【练习】过点M 0,1作直线I,使他被两条已知直线丨rx 3y 10和氐xy4 0所截得的线段AB被点M平分.求直线I的方程【例12 1s已知点A (3,3 )和直线I: y(1) 经过点A且与直线I平行的直线方程；(2) 经过点A且与直线I垂直的直线方程.2、已知三角形三个顶点的坐标分别为 A (- 1,0), 6(2,0), C(2,3),试求AB边上的高的 直线方程.(思考：如果求AB边上的屮线、角平分线呢？)【例13】已知直线I的斜率为2,且I和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线I的方程为【练习】已知，直线I经过点（一 5, 4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为I的方程为【

10、例14】直线I不经过第三象限，其斜率为k,在y轴上的截距为b （ bO）,则（A. k 0 且 b 0 B.k 0 且 b 0C.k 0 且 b 0 D.k 0 且 b 0【练习】两条直线y=ax+b与戶bx+a在同一直角坐标系屮的图彖位置可能是5,则直线A. B. C. D.三、课后练习一 选择题：1A若直线丨：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线3、直线y=3x绕原点逆时针旋转围（nA. ,62、已知直线11 :A. 1 或 3，再向右平移1个单位,n)C2I的倾斜角的取值范所得到的直线为（n -)D2n-)B3k-3) x+ (5-k ) y+1=0 与 I2

11、: 2( k-3 ) x-2y+3=0 垂直，贝 UK的值是(B, 1 或 5C. 1 或 4D. 1 或 2X 1 C . y 3x 3 D . y 3x 1 3A.y二 填空题：1、在平面直角坐标系屮，如果X与y都是整数，就称点（X, y）为整点，下列命题屮正确的是 （写出所有正确命题的编号）. 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点 直线I经过无穷多个整点，当且仅当丨经过两个不同的整点 直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线.2、点P 12在直线I上的射影为Q1,1 ,则直线丨的方程为23、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f（X）=的图象交于P、Q两点,X则线段PQ长的最小值是三 解答题：1、设直线忙y