导数练习题(含答案)精编版

1、最新资料推荐导数练习题1,已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x= 土处取得极值，在 x=0处的切线与直线 3x+ y=0平 行.(1)求f(x)的解析式；(2)已知点A(2, m),求过点A的曲线y=f(x)的切线条数.解 (i)f，(x)= 3ax2+2bx+ c,T (1 尸 3a + 2b+c= 0,匕=1,由题意可得 7(1尸3a-2b+c=0, 解得，b=0,If (0 尸 c=3,、c= 3.所以 f(x)=x33x.(2)设切点为(t, t33t),由(1)知f' (x)=3x2 3,所以切线斜率k= 3t2-3,切线方程为 y-(t3-3t)=(3t2-3)(x-

2、t).又切线过点 A(2, m),代入得 m-(t3-3t)= (3t2-3)(2-t),解得 m = 2t3 + 6t26.设 g(t)=2t3+6t26,令 g' (t)=0,即一6t2+12t=0,解得 t=0 或 t = 2.当t变化时，g' (t)与g(t)的变化情况如下表：t(一 00 , 0)0(0,2)2(2, + 8)g' (t)一0十0一g(t)极小值一 / 一极大值所以g(t)的极小值为g(0)= 6,极大值为g(2) = 2.作出函数草图(图略)，由图可知：当m>2或m< 6时，方程m= 2t3+6t2 6只有一解，即过点 A只有一条

3、切线；当m=2或m=6时，方程m= 2t3+6t26恰有两解，即过点 A有两条切线；当6<m<2时，方程m=2t3 + 6t2 6有三解，即过点 A有三条切线.2.已知函数 f(x)= aln x bx211当a=2, b =弋时，求函数f(x)在，e上的取大值； 2e(2)当b=0时，若不等式f(x)>m + x对所有的aC0, 1, xC(1, e2都成立，求实数 m的取 值范围.解(1)由题意知，f(x) = 2ln x-1x2, f (x)=2-x= 2一, 2x x当ewxw e时，令，(x)>0 得ewx<<2；令 f' (x)<0

4、,得 J2<xwe,f(x)在1, m)上单调递增，在(42, e上单调递减，.f(x)max=f(V2)=ln 2-1.e32 ,(2)当b=0时，f(x)= aln x,右不等式f(x)> m+ x对所有的aC0, 5, xC(1, e 都成立，则 3 一 23 一aln x> m+x 对所有的 a C 0,5, xC (1, e 都成立，即 mwaln x x,对所有的 aC 0 ,-5, x (1, e2都成立，令 h(a)= aln x-x,则 h(a)为一次函数，m< h(a)min. . x (1, e2,，In x>0, ，h(a)在0, |上单调

5、递增，.-.h(a)min=h(0) = -x, /. m<-x 对所有的 xC(1, e2都成立.,1xWe2,- e2< x< 1, . mw (x)min = e2.即实数 m 的取值范围为(一°°, 一 e2.3.设函数 f(x)= ln(1 + x), g(x)=xf' (x), x>0,其中 f' (x)是 f(x)的导函数.*令 g1(x) = g(x), gn+1(x) = g(gn(x), nCN ,求 gn(x)的表达式；(2)若f(x)> ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；设nC N*,比较g(1) +

6、 g(2)+ - + g(n)与n f(n)的大小，并加以证明. x解 由题设得，g(x) = -(x> 0).1 + x，.一x(1)由已知，g1(x) = 1，g2(x)=g(g1(x) =I 1 xxx，g3(x) = ,1 + 2x 1 + 3x，可得gn(x) =x1+ nx5卜面用数学归纳法证明.当n= 1时，g1（x） = *,结论成立.x加n=k时结论成立，即9必=言.那么，当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x)=r?rx1+ kx1+恐 1+(k+1x,即结论成立.由可知，结论对nCN*成立. 一ax(2)已知f(x)>ag(x)恒成立，即ln(1 + x

7、)>7恒成乂.设、1 十xax(Xx)=ln(1 +x)-(x>0),1 十 x、ax+1a1 + x (1 + x(1 + x 广当aW1时，/（x）>0（当且仅当x=0, a=1时等号成立）,&x）在0, + 8）上单调递增.又 4(0)= 0,(f)(x)>0 在0, + 8)上恒成立,a< 1 时,ln(1+x)>-a恒成立(当且仅当x=0, a=1 1 +x时等号成立）.当a>1时,对 xC(0, a1有 力(x)<0,&x)在(0, a1)上单调递减.a 1)<(f)(0) = 0.即a>1时,ax 存在x

8、>0,使 ©x）<0,故知ln（1 + x）>-一不恒成立, 1十x综上可知，a的取值范围是（, 1. 1 2 n由题设知 g(1) + g(2)+ - +g(n) = 2+§+ . +nl，nf(n) = nln(n+1),比较结果为 g(1)+ g(2)+ g(n)>n ln(n+ 1).证明如下：方法一：上述不等式等价于+ -<ln(n+1),2 3n+1在(2)中取 a=1,可得 ln(1 +x)>x, x>0.令 x=1, nC N*,则一1<inn+ 11 + xnn+1 n ,下面用数学归纳法证明.1当n= 1时

9、，2<ln 2 ,结论成立.假设当n= k时结论成立，即1+1+1<ln(k+1). 2 3 k +1那么，当 n=k+1 时，1+1+H1I<ln(k+ 1) + -<ln( k+ 1)+ ln-= ln(k+2),2 3k+1 k+2k+2k+1即结论成立.由可知，结论对n C N成立.1 11方法一：上述不等式等价于 工+石+;<ln( n+ 1),2 3n+1在(2)中取 a=1,可得 ln(1 +x)> x , x>0.令 x=1, nC N *,则 lnn+ > > 1+xnn n+1故有 ln 2 ln 1>1, ln

10、3 ln 2>1,，ln(n+1)ln n>-, 23''、' n+11 11上述各式相加可得 ln(n+1)>彳+ 结论得证.!4,21 i的图像上至少存 ,22 3n+1D121-已知函数 f (x )= x +m与函数 g(x )=-ln-3x. xwxV在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（A、B、52-ln2,- ln 2_4C、5 ln 2,2 - ln 2D、 2 - ln 2,2 1_43 2B2、已知函数f（x）=ax -3x +1,若f（x）存在唯一的零点x。，且X0>0，则a 的取值范围，为（）。A、（2*）B、（-

11、00,2）C、（-00,1） D、（1尸）A3、定义在R上的函数f(x)满足：f (x)>1 f <x), f(0)=0, fx)是f(x)的导函数，则不等式exf (x)>ex-1 (其中e为自然对数的底数)的解集为()。A、(0,也) B、(-°°,-1 卜(0,收)C、(-°°,0 卜(1,y) D、(-1,收).一124、已知函数f(x)=-x +4x-3ln x在H,t+1上不单调，那么头数t的取值沱围是。 (0,1)UQ,3)C5、若函数f(x)=*-ax2+x+1在区间口,3 i内有极值点，则实数a的取值范围 322是()

12、。A、f”】B、；20C、12D、；2,2_ ，2,3_ ， 3，一，一 1 324B6、已知函数f(x)= x +x +x+,右函数y = f (x + a) + b为奇函数，贝U a + b的 33值为()。A、-5B、-2C、0 D、2D7、已知函数f(x)=ex+x2+(3a+2), x在区间(-1,0)有最小值，则实数a的取值范围是(A、DA8、设函数f(x)在R上的导函数为f'(x)，且2f (x)+xf'(x)Ax2,下面的不等式在R 上包成立的是()。A、 f (x) >0 B、 f (x) <0C、f (x) > x D、f (x) <

13、 xA9、已知函数f (x) =(2 -x)ex -ax-a ,若不等式f(x) a0恰有两个正整数解，则a 的取值范围是()。A、!|-1e3,0 I B、-e,0 IC、e3,- j D、卜后？IL 41 IL 2 1 IL 4 2_ 4D10、若函数f(x)=lnx与函数g(x) =ax2(a >0)有两条公切线，则实数a的取值范 围是()°1 1八 11A、(0,-)B、(0)C、(-，)D、(丁尸)e2ee2e1 011、已知函数g(x)酒足g(x) =g<1)e - g(0)x + /x ,且存在头数X0使得不等式2m 1至g(X0)成立，则m的取值范围是。【1, +无穷】12、已知x = 1,x=3是函数f(x) =sinx +平) >0,愀<n)相邻的两个极值点，且f(x)在x=3处的导数f/3)<0,则f 口】=。(二分之一)2 2313、已知函数 f (x) =x -, g(x) = x2 -2ax + 4 ,若任意 x1 w 10,1 1存在x2 w11,2 】, x 1使