对坐标的曲面积分

1、 10.5对坐标的曲面积分一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是 双侧的， 曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的 曲面，我们称之为有向曲面。由方程Z =汉元尸)表示的曲面，有上侧 与下例之分，如果取它的法向量克的指 向朝上，我们就认为取走曲面的上侧.一张包围某一空间区域的团曲面,有外便与 内侧之分,如臬取它的法向量的指向朝外, 我们就认为限定曲面的外值.工是有向曲面，在工上取一小块曲面AS,设cos?是AS的法向量与z轴正向 的夹角了的余弦，9o)xy是AS在xoy面投影区域的面积值。我们规定：AS在

2、xoy 面上的投影9S)xy为(9)xy, COS 0(S)xy =, cos Y 0,所以()xy =(T)xy.又因(W G)是三上的一点,故q =zd),从而有nnR( i, i, i)JSi)xy =、R i, i,z( i, i)(二 i)xyi 1i 1令九T 0取上式两端的极限，就得到! R(x, y, z)dxdy =RIx, y, z(x, y)】dxdy(3)二Dxy这就将对坐标的曲面积分化为了二重积分。公式(3)表明：计算对坐标的曲面积分JR(x, y, z)dxdy时，只要把其中变量z 换成工方程z = z(x, y),然后在工的投影区域Dxy上计算二重积分就成了。必须

3、注意：公式(3)的曲面积分是取在曲面 工上侧的；如果曲面积分取在曲面工下侧，这时cos0 ,应取正号；反之,如果工取后侧，即cosa 0 ,应取负号。如果工由y = y(z, x)给出，则有!Q(x, y,z)dzdx ：十！Qx, y(z,x), zdzdx,Dzx等式右端的符号这样决定：若积分曲面工是方程y = y(z,x)所给出的曲面右侧,即cospA0,应取正号；反之，如果工取左侧，即cosp0, y 0),利用极坐标计算这个二重积分如下:222 11xy, 1 -x - y dxdyDx y二1322scos 毋 or d-r dr215从而11 x y z dxdyy215五、两类

4、曲面积分之间的联系设工是由方程z = z(x, y)给出的曲面上侧，由对坐标曲面积分计算公式有! R(x, y, z)dxdy = R k, y, z(x, y) IdxdyDx y另一方面，工的法向量的方向余弦为一 ZxZy221Zx - Zy122ZZzxZy(6)cos :-.1 Z2 - Z2由对面积的曲面积分计算公式有| R(x, y, z)cos dS = R x, y, z(x, y) dxdyDxy由此可见，有11 R(x, y, z) dxdy 11 R( x, y,z) cos dS工X如果工取下侧，则有! R( x, y, z)dxdy - - Rx, y, z(x, y

5、) dxdyDx y此时，工的法向量的方向余弦应取为Zx二Zy,cos P = = Zx - zy. 1 - Zx - zy! ! R(x, y,z)cos dS ：Rx, y, z(x, y)dxdy三Dxy因此(6)式仍成立。类似地，我们可导出关系式P(x, y, z)dydz = P(x, y, z) cos 二 dS(7)i iQ(x, y,z)dzdx = Q(x, y, z)cos - dS(8)合并(6) , (7) , (8)三式，得两类曲面积分之间的如下联系：! Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcosqi + Q cos - Rcos )dS (9) 其中cosct,

6、cosP,cosy是有向曲面工在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。若引入记号：A = p,Q,R, 6 = cosa,cosP,cosY, dS = dydz,dzdx,dxdy) 由(9)式有dS = dydz, dzdx,dxdy J = 1 cos二 dS, cos ： dS, cos dS=ndS 两类曲面积分的关系式可简单地表示为A dS = A ndS y我们称dS = ndS为有向曲面元。【例2】计算曲面积分Iii(z2 x)dydz - zdxdy其中工是旋转抛物面z=(x2 +y2)介于平面z=0及z=2之间部分的下侧 2由两类曲面积分之间的关系式，有I(z2 x)x22

7、x y 1dS二8 二= xz2 x2 ydS,x2 y2 1dxdy)：(x2 y2)2 x2 1(x2 y2)Dxy - 42利用二重积分的性质，ff -(x2 + y2)2 dxdy = 0 ,于是Dxy 4I = x2Dxy -1(x2 y2) dxdy22 .12 i：r cos 1 r rdr2解法二：由两类曲面积分的关系式，有222COS -ii(z x)dydz = (z x) cos ： dS = (z x) dxdy c COS在曲面工上，有x.1cos a = , cos t1 x2 y2. 1 x2y2故 dydz = cos - dxdy = ( - x )dxdy cosI =(z2