专题07三角形及四边形的计算与证明解析版

1、专题07三角形及四边形的计算与证明考点遠從9令一、三角形1.三角形的概念及性质2）三角形按边可分为：非等腰三角概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.（形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形.性质：（1）三角形的内角和是 180°三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.（2）三角形的U任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.2 .三角形中的重要线段（1 ）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性：三角形的三

2、条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心.（2）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高.特性：三角形的三条高线相交于一点.（3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性：三角形的三条中线交于一点.3 .全等三角形的性质与判定概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.性质:全等三角形的对应边、对应角分别相等.等腰三角形的性质:判定:(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS);有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA )；有两角和其中一角的对边对应相

3、等的两个三角形全等，简记为（AAS );有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL ).4.等腰三角形等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形.（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形是轴对称图形.（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“

4、等角对等边”).5 .等边三角形的性质与判定等边三角形的性质:(1 )等边三角形的内角相等，且都等于60°(2 )等边三角形的三条边都相等.等边三角形的判定:(1 )三条边相等的三角形是等边三角形;(2 )三个角相等的三角形是等边三角形;(3) 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.6 .直角三角形咱勺性质与判定(1)直角三角形的两锐角互余.(2)直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2 .平行四边形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.(6)

5、有两角互 除的三角形是直角三角形.(7)(8)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角 三角形.二、多边形1 .多边形概念 定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.2 .性质n边形的内角和为(n 2) 180 :外角和为360三、平行四边形1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.(1) 平行四边形的对边相等且平行.(

6、2) 平行四边形的对角相等.(3)平行四边形的对角线互相平分.(4 )平行四边形是中心对称图形.3 .平行四边形的判定两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2 .正方形的性质:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.对角线相互平分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.四、矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的性质:(1) 矩形的四个角都是直角.(2) 矩形的对角线相等.(3) 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是对角线的交点.矩形的判定:(1) 有三个角是直角的四边形是矩形.(2

7、) 对角线相等的平行四边形是矩形.五、菱形菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质:(1 )菱形的四条边都相等.(2 )菱形的对角线互相垂直且平分，并且每 ”一条对角线平分一组对角.菱形的判定:(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(2) 四条边都相等的四边形是菱形.六、正方形1.正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.(1 )正方形的四条边都相等，四个角都是直角.(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角.(3) 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.3

8、.正方形的判定:一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.(2)一组邻边相等的矩形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.方法技巧1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.2 .“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.3 .根据多边形的一个内角和一个相邻外角的互补关系，灵活选择公式求内角或外角.4 .牢记平行四边形的性质和判定方法，注意它们的区别与联系，可以提高解决平行四

9、边形问题的速度和准确性.5.牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理，它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的，分类记忆，便于灵活应用.6 .适当进行动手操作训练，从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性，再进行相应的证明和计算，也是正确解答综合性问题的有效途径.W'.核心考点 三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近近年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行 四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题.【经典示例】如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.1所

10、示的图形,(1)在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图AF经过点C,连接DE交AF于点M，观察发现：点 M是DE的中点.F面是两位学生有代表性的证明思路:思路1:不需作辅助线，直接证三角形全等;思路2 :不证三角形全等，连接 BD交AF于点H .请参考上面的思路，证明点 M是DE的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2,在（1）的前提下，当/ ABE=135。时，延长AD、EF交于点N，求NE的值;AF（3 ）在（ 2）的条件下，若k（ k为大于屈的常数），直接用含的值.MFk的代数式表示匮11答题模板AB=EF , AB / EF，贝CD=EF , CD

11、第一步，利用菱形性质得 AB=CD , AB/ CD，利用平行四边形的性质得/ EF，再根据平行线的性质得/ CDM = / FEM，则可根据“ AAS ”判断 CDM FEM，所以DM=EM ；第二步，由CDM FEM 得到 CM = FM，设 AD=a, CM=b，贝FM=b, EF=AB=a，再证明四边形 ABCD为正方形求出AC,接着证明 ANF为等腰直角三角形得出 NF然后计算的值;NE第三步，由于=念/b = +b贝y旦=_，然后表示出ab k-V2FMAB，再把bL代入计算即可b k -V2第四步，查看关键点、易错点，解题时要参考题中两位学生有代表性的证明思路，求出所求的值.【满

12、分答案】（1）如题图1 , 四边形 ABCD 为菱形， AB=CD , AB / CD,四边形ABEF为平行四边形,AB=EF , AB / EF ,CD = EF, CD / EF, / CD1M= / FEM ,在 CDM 和 FEM 中，/ CMD = / FME , / CDM = / FEM , CD = EF, DM=EM ,即点M是DE的中点;(2) CDM FEM , CM=FM , 设 AD=a, CM=b, / ABE=135° , / BAF=45°四边形ABCD为菱形，/ NAF=45°四边形ABCD为正方形， AC=AD=a, / AB

13、/ EF, / AFN= / BAF=45° ANF为等腰直角三角形,NF=1£aF=%(72a+b+b) =a+运 b,2 NE=NF+EF=a+ 运 b+a=2a+ 血 b.AM 运a+bNE= = =2a+72b 姻血a+b) 2AM = da+b = Qb=k,aABb- -=k- a=3=化+皿2+1=6 -FM【解题技巧】本题主要考查了三角形与四边形的综合题，解题关键是要灵活运用平行四边形和菱形的性质;全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用代数法表示线段之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.如图，在正方形 AB

14、CD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=1 AB4(1)求证：EF丄AG；(2)若点F、G分别在射线 AB、BC上同时向右、向上运动，点 G运动速度是点F运动速度的2倍,EF丄AG是否成立(只写结果，不需说明理由).（3）正方形ABCD的边长为4, P是正方形ABCD内一点，当SA = SAB ,求 PAB周长的最小值.【答案】（1）证明见解析；（【解析】（1）证明：四边形 ABCD是正方形, AD=AB, / EAF = / ABG=90°点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=-AB,4AF _ 1 BG_ 1AE = 2 BA= 2AF BGAE BA:. AEF s

15、bag，/ AEF = / BAG ,/ BAG + / EAO=90° , / AEF+ / EAO=90° ,/ AOE=90° , EF 丄 AG;（2）成立；理由如下:AF 1根据题意得：仝匚=丄BG 2AE 1AB 2 AF AEBG AB又/ EAF = / ABG , AEF BAG ,/ AEF= / BAG ,/ BAG + / EAO=90° ,/ AEF+ / EAO =90°,/ AOE=90° , EF 丄 AG;(3) 过 O 作 MN / AB，交 AD 于 M , BC 于 N ,如图所示:则MN丄AD

16、 , MN=AB=4,t P是正方形 ABCD内一点，当$ PAB=SaOAB ,点 P 在线段 MN 上,当P为MN的中点时， PAB的周长最小，此时 PA=PB,1P M = MN=2,2连接 EG、PA、PB,EG/ AB, EG=AB=4,/ MN / AB,.EMA" 112 AM= AE= X2= ,555OF AF = 1OE " EG 4OF 1=一,OE 4由勾股定理得：PA =JpM 2 + am2 = 265 PAB周长的最小值=2PA+AB=应26 +45直通中考/ A=/C.1 .（ 2018?广州）如图,【答案】证明详见解析【解析】 在 AED和

17、 CEB中,AE =CE4ED =NCEB ,DE =BE:. AEDCEB ( SAS),/ A =/ C (全等三角形对应角相等)2 .(2018?广东)如图，矩形 ABCD中,AB>AD，把矩形沿对角线 AC所在直线折叠，使点 B落在点E处,AE交CD于点F，连接DE .(1)求证：ADE CED ;(2)求证：DEF是等腰三角形.C证明详见解析.【答案】(1)证明详见解析；(2)【解析】(1)四边形ABCD是矩形， AD = BC, AB = CD .由折叠的性质可得：BC = CE,AB= AE, AD = CE, AE = CD .” AD =CE在 ADE 和 CED 中，

18、AE =CD ,de =ED ADE N CED ( SSS).(2)由(1 )得 ADE CED ,/ DEA = / EDC，即/ DEF =/ EDF , EF = DF , DEF是等腰三角形.3. ( 2018?广东)已知 RtA OAB , / OAB = 90°,/ ABO= 30°，斜边 OB = 4,将 RtAOAB 绕点 O 顺时针旋转60°，如图1,连接BC.(1)填空：/ OBC =(2)如图1,连接AC,作OP丄AC,垂足为P,求OP的长度;如图2，点M , N同时从点O出发，在 OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OB7C路径匀

19、速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为 x秒， OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少?【答案】(1) 60;( 2) XU7(3)当X=8时，y有最大值，最大值为33【解析】(1)由旋转性质可知：OB= OC，/ BOC = 60°, OBC是等边三角形，/ OBC = 60°.故答案为 60.(2)在图1 中,/ OB = 4,/ ABO = 30°, OaJoB = 2, AB = 73oA= 2巧,21 1- SAOC = ?OA?AB =丄2 X 23 =2 巧,2

20、 2 BOC是等边三角形,/ OBC = 60°,/ ABC =/ ABO+ / OBC = 90°,- AC = Jab2 +bc2 =2 巧,.OP = 2S aoc伍 2 厉AC27778(3)当0<x< 时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时在图 2中，过点N作NE丄OC且交OC373于点 E,贝U NE= ON?sin60°=x,2 Smmn =-?OM?NE = -x 1.5XX 逅 X,2 2 2 y = x2. X = 8时，y有最大值，最大值为应33 3 8当<x< 4时，M在BC上运动，N在OB上运动.33作 MH 丄

21、 OB 于 H （如图 3）.贝U BM = 8- 1.5x, MH = BM?si n60 ° = （8- 1 5x）,2 y = 1xONX MH =-3x2+2 73x.2 8当x=8时，y取最大值，yv8巧OG丄BC于G （如图4）.3当4<xW 4.8时，M、N都在BC上运动，作MN = 12- 2.5X, OG = AB = 23 y =-?MN?OG= 12/3x,2 2当x= 4时，y有最大值,8综上所述，当x = -时，y有最大值，最大值为34. （ 2018?宜昌）如图，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90 ° / A = 40 °

22、 ABC 的外角 / CBD 的平分线 BE 交AC的延长线于点E.（1）求/ CBE的度数;【答案】（1）(2)过点 D 作 DF / BE,65°( 2) 25°【解析】（1）在 Rt ABC 中，/ ACB = 90° / A = 40°/ ABC = 90-/ A= 50°/ CBD = 130° BE 是/CBD的平分线,1/ CBE = / CBD = 65 °2(2) / ACB = 90° / CBE = 65°/ CEB = 90° -65°= 25°/ D

23、F / BE,/ F = / CEB= 25°5.（ 2018?淄博）已知：如图， ABC是任意一个三角形，求证:/ A+ / B+/ C = 180【答案】证明详见解析.【解析】过点A作EF / BC,/ EF / BC,/ 1 + / 2+ / BAC= 180°/ BAC + / B+/ C = 180°即/A+ / B+/C = 180°(2018?乐山)如图，已知 / 1= / 2, / 3 = / 4,求证：BC= BD .C【答案】证明详见解析.【解析】/ ABD+ / 3 = 180°/ ABC+ / 4= 180°

24、且/ 3 = / 4,/ ABD = / ABC,在 ADB 和 ACB 中， AB = ABjzABD =NABC:. ADB ACB (ASA ), BD = BC.（2018?昆明）如图，在/ D, / 1= / 2 .求证：BC = DE .【答案】证明详见解析.【解析】/ 1= / 2,/ DAC + / 1 = /2+ / DAC/ BAC = / DAE,在ABC 和 ADE 中，AB =ADNBAC =NDAE ADE ABC (ASA ), BC = DE .（2018?铜仁市）已知：如图，点 A、D、C、B在同一条直线上， AD = BC, AE= BF, CE = DF

25、,求证：AE / FB.【答案】证明详见解析.【解析】/ AD = BC , AC = BD,AC = BD在 ACE 和 BDF 中，« AE = BF ,CE = DF ACE BDF ( SSS), AE / BF .C, / A=E9.（ 2018?卯州）如图，AE和BD相交于点/ E, AC= EC .求证： ABCEDC .【答案】证明详见解析.pA-NE【解析】在 ABC和EDC中，AC = ECnacb=necd ABC EDC (ASA ).10.（ 2018?通辽）如图， ABC 中,D是BC边上一点，E是AD的中点，过点 A作BC的平行线交 BE的延长线于F，且

26、AF = CD，连接CF.ADCF的形状，并证明你的结论.(1)求证： AEFDEB;（2）若AB= AC,试判断四边形【答案】（1）证明详见解析；（2）四边形ADCF是矩形，证明详见解析.【解析】（1） E是AD的中点， AE = DE,/ EAF = / EDB ,/ AF / BC, / AFE = / DBE , AEFN DEB (AAS );(2)连接DF ,/ AF / CD , AF = CD , 四边形ADCF是平行四边形,/ AEFN DEB , BE= FE , AE= DE , 四边形ABDF是平行四边形， DF = AB,/ AB= AC, DF = AC,二四边形

27、ADCF 是矩形.11.（ 2018?鄂州）如图，在四边形 ABCD中，/ DAB = 90,DB = DC,点E、F分别为DB、BC的中点,连接 AE、EF、AF .(1)求证：AE= EF;(2)当 AF = AE 时，设 / ADB = a,/ CDB = 3B之间的数量关系式.求a【答案】（1）证明详见解析；（2）2 a+ 3= 60°【解析】（1 ）点E、F分别为DB、BC的中点, EF1=CD ,2/ DAB = 90° AE=1bD2 ，/ DB = DC , AE = EF;/ AEF = 60°(2) / AF = AE, AE= EF , AEF 是等边三角形,/ DAB = 90°点E、F分