数值计算方法讲稿13

1、第五章 函数逼近与计算§1 引言与预备知识用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象（龙格现象），即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。所谓函数逼近是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n1个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,函数逼近就是从整体上使误差,尽量的小一些。“对函数类中给定的函数，要求在另一类较简单的便于计

2、算的函数类中，求函数，使与之差在某种度量意义下最小。”函数类通常是区间上的连续函数，记作；函数类通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式。区间上的所有实连续函数组成一个空间，记作。的范数定义为，称其为范数，它满足范数的三个性质： I），当且仅当时才有； II）对任意成立，为任意实数； III）对任意，有 III式称为三角不等式。度量标准最常用的有两种，一种是 在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近；另一种度量标准是 . 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近。这里符号及是范数。本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式逼近。用一致逼近，首先要解决存在性问题，即对上的连续函数，是

3、否存在多项式一致收敛于？维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出了下面定理：定理1 设，则对任何，总存在一个代数多项式，使在上一致成立。证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）假定函数的定义区间是0,1,可通过线性代换：把映射到。对给定的，构造伯恩斯坦多项式,此为n次多项式: ； 其中 ，且 这不但证明了定理1，而且给出了的一个逼近多项式。多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实际中很少被使用。 §2 最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数趋于无穷，而是固定，记次数小于等于的多项式集合为，显然。记,

4、 是上一组线性无关的函数组，是中的一组基。中的元素可表示为，其中为任意实数。要在中求逼近，使其误差这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。为了说明这一概念，先给出以下定义。定义1 ，称 为与在上的偏差。显然的全体组成一个集合，记为，它有下界0。若记集合的下确界为 则称之为在上最小偏差。 定义2 假定，若存在， 则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。定理2 若，则总存在，使 .证明略。2-2 切比雪夫定理为研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点定义。定义3 设，若在上有，则称是的偏差点。若，

5、称为“正”偏差点。若，称为“负”偏差点。由于函数在上连续，因此，至少存在一个点，使，也就是说的偏差点总是存在的。下面讨论最佳逼近多项式的偏差点性质。定理3 若是的最佳逼近多项式，则同时存在正负偏差点。证明: 因是的最佳逼近多项式，故。由于在上总有偏差点存在，用反证法，无妨假定只有正偏差点，没有负偏差点，于是对一切都有因在上连续，故有最小值大于，用表示，其中。于是对一切都有，故 ，即 .它表示多项式与的偏差小于，与是最小偏差的定义矛盾。同样可证明只有负偏差点没有正偏差点也是不成立的。 定理得证。定理的证明从几何上看是十分明显的。下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理。定理4 是的最佳逼近多

6、项式的充分必要条件是在上至少有个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有个点 ，使 ， 这样的点组称为切比雪夫交错点组。证明 只证充分性。假定在上有个点使上式成立。要证明是在上的最佳逼近多项式。用反证法，若存在，使 .即 由于 在点上的符号与 一致，故也在个点上轮流取“”、“”号。由连续函数性质，它在内有个零点。但因是不超过次的多项式，它的零点不超过。这矛盾说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式。 充分性得证。必要性证明较繁，但证明思想类似定理3，此处略。定理4说明用逼近的误差曲线是均匀分布的。由这定理可得以下重要推论。推论1 若，则在中存在唯一的最佳逼近多项式。推论2 若，则其最佳逼近多项式就是的一个拉格朗日插值多项式。证明 由定理4可知，在上要么恒为0，要么有个轮流取“正”、“负”的偏差点，于是存在个点 ，使。以为插值节点的拉格朗日插值多项式就是。 2-3 最佳一次逼近多项式定理4给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出却相当困难。下面先讨论的情形。假定，且在内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式。根据定理4可知至少有3个点，使 .由于在上不变号，故单调，在内只有一个零点，记为，于是，即 。另外两个偏差点必在区间端点，即，且满足.由此得到 解出