数学奥林匹克高中训练题(133)-新

1、 中 等 数 学 所以， 实数 的取值范 围为 一 、 、 、 五点 共 圆 ， 得 ， 或 或 ， ， （ ） 一 ， 当 时 有 （ ） 于是 ， 、 、 、 四点共 圆 【 】 注 当点 沿 方向运动到线段 之 外 时 ， 论 仍 成 立 （ 用 坐 标 法 统 一 证 结 可 明） 二 、 口 卢 由 ， 且 （ ） 一 的两 个 根 为。 ， 一 只 有 ， 在 ， 上 则 ） 上单调递减 ， ， 厂 在 ， （ 在 上 单调递增 ， 且 有 。 ± ： ， ：一 ， ） ÷， ） （） 厂 因此 ， 函数 （ 在 ， 的最 大值 厂） 上 即。 ） 为 

2、7;， 最小值为 一 加 一 ） （ 则 口 。 （ ） 口 ： 试 、 （） 由已知有 ，上 ） 于是 ， 上 又 上 则 是 的垂心 ， 故 ） 卢 （ ） ： 故通 过 的 也 是三角形 的高线 ， 得 【 一 进 而 ， 、 五点 共 圆 （ 、 、 或说 点 在正方形 的外接 圆上 ） 如图 联结 ， 、 则 、 在 ： （ ） （ 。 （ ） ： 的 同侧 ， 有 （ 一 ） （ ） 又（ ） ） （ 卢 卢 。 图 （ 卢 ） ） （ 卢一 ） 一 （ ） 又 由 是 的垂 心 ， 有 、 、 、 的四点共 圆 于是 ， 。 由式、 有 ： 注 意到 ） ） 则 一 （ ） 于是

3、 ， 与 重合 因此 ， 、 三 点共线 、 （ ） 知 、 、 由（ ） 、 四点共 圆及 、 故 年第 期 一 一 ： 星 一 （ ） 二 （ 十 ） （ 一 口 ）一口 此时， 由于 、： 、 中必 有三 个数 、 、 其 和能被 整 除 ， 设 （ （ ） ） 三 、 虑 数 列 关 于 模 的 余 数 列 考 由 口 是 。 的个 位 数 ， 知 （ ） 则 。的重 心也是 整点 同理 ， 若纵 坐标 中有 五个模 同余 ， 结论 同样 成立 （ ） ， ， 若 ， 的横 坐 标 中任 意 五 递 推得 个模 不 同余 ， 且纵 坐 标 中任 意 五 个 也 模 不 同余 ， 则，

4、： ， 被 除 时 ， 数 取 遍 ， ， 余 ， ， （ ）（ ） （ ） § （ ） （ ） 同理 ， ） ， ， 被 除时 ， 数 也取遍 ， ， 余 ， ， 从而 ， 中至少 有两 种 余数 出现 次 ， 不 妨设 ； ， （ ） （ ） 一 （ ） 则 川 （ ） （ ） （ ） 此时， 若 （ ） 可 见 ， 是周期 为 的周期数 列 ， 有 口 × ， （ ） 【 ， 】 （ ） 口 ， （ ） × 暮 （ ） × 或 （ ） 有 一个成 立 ， 命题 已真 则 否则 ， 、）对 模 恰 有 两个 余 数 （ ）、， ， ， 记 为 ， ，

5、且 卢， ： ） ， ， ，） 同理 ， 、 模 也 恰 有 两 个 余 数 、对 （ 为 或 可能 ： 因为偶数 的平方被 整除， 奇数 的平方 被 除余 所 以， ， ， 为 、 或 为 卢、 或 ， ） 也就 是 说 ， 、 、 、 模 的余 数 只 有 两 种 。 、， 、对 ， （） 括全 部 ， ， ， 包 ， ） ； ； ） ； （ 于是 ， 能被 整 除 不 四、 对 个顶 点 作 三 染 色 ， 必有 个 顶 点 同色 ， 不妨 设 （ ，。 （ ， ） ） ， ， 同 为 红色 （只包 括、 但 每 一个重 复 ） 口， 次 此时 ， ，）使 。 取 ， （ ） 于是 ， 存在、（ ， ）使 戈 三 ） （ ， 下 面证 明 ： 必存 在 一 个 三 顶 点 均 为 红 色 的 （ ）其 重心 ， 卢 ， （ ） （也 ， ） 也 是整 点 且 ）， ） ， ）兰 （ ， 【 卢 ， 卢 卢 （ ） 其 中之一 成立 从 而 ， 的重 心 也是整 点 （ 罗增 儒 陕 西