勾股定理16种证明方法

1、勾股定理的证明（看前5个就可以了）【证法1】（课本的证明）baaabbab做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等.即2 a14 ab24 ab整理得a2 b2【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积ab等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.CGaHFbaBAbv Rt HAE 坐

2、Rt EBF, / AHE = / BEFv / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.v Rt GDH坐 Rt HAE, / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 98, / EHA + / GHD = 98. 又v / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o.2 ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 心）.（a+bYh-ab+c22 22. a +b【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角

3、边（ba）,以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角1 ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状v Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c1 2.v EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 900.2 EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于 ba .1 2 2.4H-ab+（ba） =c 2 . a2 b2 c2.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）B三点在一条直线上以a

4、、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、eav Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一个等腰直角三角形,1 2 c 它的面积等于2./ EBC = 90o,又 v / DAE = 90o, AD/ BC ABCD是 一个直角梯形，它的面积等于知b)2a2 b2二 c2【证法5】（辛卜松证明）Aba_aba2b2abDb设直角三角形两直角边的长分别为

5、 a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为2 2 2(a+bf=a +b +2ab ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，贝卩正方形 ABCD勺面积为2 1 2(a+b)=4 汉一ab+c22= 2ab +c2.2 2 2ab2ab 二 2ab c ,2 丄-22abc .【证法6】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上. 点p八、v D、E、F在一条直线上,且Rt GEF坐Rt EBD, / EGF = / BEDv

6、/ EGF + / GEF = 90, / BED + / GEF = 90, / BEG =18Gb90o= 90o.又 v AB = BE = EG = GA = c , ABEG 曰 / ABC + / CBE = 90o.v Rt ABC 幻 Rt EBD, / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 90o.即/ CBD= 90).又 v / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a .G 是个边长为c的正方形. BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,则2 2 1a2 b2 =

7、S 2 ab,22 1 c2 = S 2 ab2 ,.a2+b2=c2.a、b，斜边长为c.把它 过C作AC的延长线交DF于IKDaFa、b （ba），斜边长为使 E、A、C三点在一条cCb/ a的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H C B三点ca、b,斜边AB的长为c,过【证法7】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形， 直线上.E过点Q作QP/ BC交AC于点P. 过点B作BML PQ垂足为M；再过点 F作FNL PQ垂足为Nv / BCA = 90o, QP/ BC / MPC = 900,v BM 丄

8、 PQ / BMP = 90o, BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90cqv / QBM + / MBA = / QBA = 90o, / ABC + / MBA = / MBC = 98, / QBM = / ABC 又 v / BMP = 90o,/ BCA = 90o, BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA 同理可证Rt QNF坐Rt AEF 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法8】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、 在一条直线上，连结 BF CD 过 C作 CL DE 交AB于点M交DE于点L.v AF = AC , AB = AD , /

9、FAB = / GAD FAB 坐 GAD1av FAB的面积等于2 GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM勺面积二a 同理可证，矩形MLEB勺面积v正方形ADEB勺面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB勺面积 c2=a2+b2 ,即 a2+b2=c2.【证法9】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ABC中 ,设直角边AC BC的长度分别为4欢迎下载点C作CDL AB垂足是DC在厶ADCffiA ACB中，v / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC ADCs ACBAD： AC = AC : AB, 即 AC $ = AD AB .同理可证，

10、CDBs ACB2 2 2. AC +BC =(AD +DB “AB = AB，即 a2+b2=c2【证法10】（杨作玫证明）a、b（ ba），斜边长为c. 过A作AF丄AC, AF交GT做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形 于F, AF交DT于R.过B作BP丄AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为 E, DE交 AF于 Hv / BAD = 90o,Z PAC = 90o, / DAH = / BACRHP4536ccQ7c19/2又 v / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c

11、 , Rt DHA坐 Rt BCA DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形, 所以 Rt APB 坐 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a,从而 PH = b a.v Rt DGT 坐 Rt BCA , Rt DHA坐 Rt BCA Rt DGT坐 Rt DHA. DH = DG = a，/ GDT = / HDA. 又 v / DGT = 90o, / DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TF丄AF

12、, TF = GT GF = b a . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + （b a） 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为2c = S1 S2 S3 S4 S5S8 S3 S4fb b 一八 k b 一异babS3 S4 =b2 _丄 ab _S82b2-S8把代入，得2 2c = S1S2 b Si S8 S8S92=b +S2 +S9 = b2 +a2.a2 b2 二 c2【证法111 （李锐证明）面积的编号（如图）.T / TBE =/ ABH =90o , / TBH =/ ABE又T / BTH =/ BEA =90o

13、 ,BT = BE=b , Rt HBT 坐 Rt ABER a A设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为c.做三个边长分别为a、 b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A E、G三点在一条直线上.用数字表示 HT = AE = a . GH = GT HT = b a. 又T / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH +t DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF坐 Rt BDC 即 $ =S2.过 Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o,可知 /

14、 ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S厂 S5.由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE t / AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE / FQM = / CAR/ QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a, 即S4 =民.+S2 +S3 +S4 +S5 a2 =Si +S6S S5 S4 =Si S6 S3 S7 S8Rt QM

15、F坐 Rt ARC2 cb2S3S7S8S72 a二 S2b2=SiS4S3S2S52=c ,a2b22二 c .【证法12】（利用切割线定理证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半 径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D E,贝S BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o, 点C在。B上，所以ACM B的切线.由切割线定理，得AC2 二 AE AD在Rt ABC中，设直角边 BC= a, AC= b,斜边AB = c （如图）.过点A作AD/ CB 过点B作BD/CA则ACBE为矩形，矩形ACBD内接于一

16、个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB *D AD *BC AC *BD ,AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 =BC2 AC2，即 c2 =a2 b2 , a2+b2=c2.BDaarCAb【证法14】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边AB = c.作Rt ABC的内切圆 O,切点分别为DE、F （如图），设 O的半径为r.v AE = AF , BF = BD, CD = CE,AC BC - AB P AE CE BD CD - AF BF=CE

17、 CD = r + r = 2r,a b -c =2ra +b =2r +c.(a +b f = (2r +c fa2 b2 2ab = 4 r2 rc Lc21S.Abc = 2 ab2ab 二 4S A BCS.Abc - Saob S.Boc Saoc丄cr 2r arbr 丄 a b c rr2 rc2 2 2 =22.4 r rc = 4S abc.2-4 r rc = 2ab a2 +b2 +2ab =2ab+c2/. a2+b2=c2 【证法15】（利用反证法证明）如图，在Rt ABC中，设直角边AG BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过 点C作CDL AB垂足是D假设a

18、2+b2c2，即假设 AC2+BC2式AB2，则由AB2 =AB AB二 AB AD BD =AB AD AB BD可知 AC2式ABAD，或者 BC2式ABBD.即AD: 心 AC AB 或者BD: BC BC AB在厶 ADCF ACB中,v / A = / A,.若 AD: AO AG AB / ADCZ ACB在厶 CDBF ACB中,v Z B = Z B,.若 BD BC BC AB,则Z CDBZ ACB又v Z ACB = 90o,.Z AD字 90o,Z CD字 90o.这与作法CDLAB矛盾.所以，AC2 BC2 = AB2的假设不能成立.a2 b2 二c2.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c.做两个边长分别为a、 b的正方形（ba）,把它们拼成如图所示形状，使 E、H M三点在一条直线上.用数字表BCa示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA 贝卩AD = c