利用空间向量解立体几何

1、向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题， 它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角 等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、 线面垂直及计算线 线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分 内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的 想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1. 数量积：a b a b cos2. 射影公式：向量a在b上的射影为a blb3. 直线

2、Ax By C 0的法向量为A,B，方向向量为 B, A4. 平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2. 垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直 线与面的法向量平行面面垂直 两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离1点点距离点P与Q Xzyz的距离为 pq 2X1f（y2yp（Z2纤2点线距离求点P Xo,yo到直线l : Ax By C 0的距离：)n =|Axo By。C nVa2 b2的距离.方法：在直线上取一点Q x, y ，则向量PQ在法向量n A,B上的射影即

3、为点P到I的距离.3. 点面距离求点P Xo，yo到平面的距离：方法：在平面 上去一点Q x,y，得向量PQ计算平面的法向量n， 计算PQ在上的射影，即为点P到面四、用向量法解空间角1. 线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角2. 线面夹角求线面夹角的步骤:先求线的方向向量与面的法向量的夹角， 若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3. 面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法 向量同进同出，贝匸面角等于法向量的夹角的补角 .实例分析亠、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b所成角B,只要在两条异面

4、直线a, b上各任取一个向量uuir uuiruuir uuur 亠AA和 BB'，贝卩角 <AA',BB'>=0 或 n - 0,因为B是锐角，所以uuir AA'uuirBB'1 ULr I|aa|uuirBB'COS 0 =不需要用法向量A1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a的法向量为n= (x, y, 1)，则直线AB和平面a所成的角0的正弦值为uuu rsin 0 = COS（ 3 - 0 ） = |cos< AB , n >| 二uuu r AB ? nturnAB?n2、运用法向量求二面角设二面角的两个面

5、的法向量为 需，则 带,養或n -爲 是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定n-i,n2 是所求，还是n -< n-j, n2>是所求角二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为 在a、b上任取一点A、B,则异面直线 离uuu rd =AB cos / BAA =|ABr?n|n|略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直线，/ / / /在a、b上任取一点A B,过A作AA = EF,交a于A , uuuir r/ uun r则AA? / n，所以/ BAA =<BAn> （或其补角）uuu r二

6、异面直线 a、b 的距离 d =AB cos/ BAA =| AB?n 1 *uuur uuu（或图中的AE,BF ）,|n|其中，n的坐标可利用a、b上的任r 、及n的疋义得n ?a 0 r r n?b 0r解方程组可得n2、求点到面的距离求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为 n (x, y,1)，在auun r内任取一点b,则a点到平面a的距离为d =凶鬥 n的坐标由n与|n|'平面a内的两个不共线向量的垂直关系， 得到方程组(类似于前面所述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n (1,y,0),下同)。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离

7、，设平面a的法向量法为 n (x,y,1)，在 直线a上任取一点A,在平面a内任取一点B,则直线a到平面a的uur r距离 d = 1 AEr?n|n|4、求两平行平面的距离设两个平行设平面a、 B的公共法向量法为n (x,y,1),在平面a、uju rB内各任取一点A B,则平面a到平面B的距离d = 脾口|n|三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面a、B,两个面a、B的法向量为, 则LTuua/ a naa/n1ir uuir uu/m / n2n1 n2四、应用举例：例1:如右下图，在长方体ABCAiBCD中，已知AB= 4, AD =3,AA二2. E、F分别是线段

8、AB BC上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角C- DE- C的正切值;求直线EG与FD所成的余弦值.解：(I )以A为原点， 建立空间直角坐标系，贝S D(0,3,0)、D(0,3,2)C(4,3,2)uuu 于是，DE 设法向量n r uuu n DE r uuu n EGluurluur(3, 3,0), EG (1,3,2), FD1( 4,2,2)(x,y,2)与平面CDE垂直，则有3y 03xx 3y 2z 01, 1,2),UUU(0, 0,2)与平面n (Q向量AA1r uuun与人几所成的角r uuun? AAs甘 uuur|n| |AA12设EG与FD所成角为B,

9、则 uuu uuu EC, ? FD, I imI I inLJULolUI LJUUI|EG | |FDjQ costan(II )cosC101022 76Z/| J 14 丁0043AlAIECDE垂直.21141 ( 4)3 22 2.'123222. ( 4)22222例2:如图，已知四棱锥 P-ABCD底面ABCD是菱形，/ DAB=60, PDL平面 ABCD PD=AD 点 E 为AB中点，点F为PD中点。(1)证明平面PEDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：(1)v面ABC兎菱形，/ DAB=60 ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD

10、/ EDB=30, / BDC=60EDC=90如图建立坐标系 D-ECP设AD=AB=1贝S PF二FD,ED=2 2二 P (0, 0,1)，E(T，0,0)，BV，2，0)uuu G PB=(宁,1uuu1，-1 )，PE =(于，0, -1),uuur平面PED的一个法向量为DC = (0,1,0),设平面PAB的法向量为 n= (X, y, 1)r uuu n PB r uuu n PE近1(x, y,1)?(, , 1)2 2爲(x,y,1)?(,0, 1)2x2.3x212y 1r 2.n= ( A, 0, 1)uuxriuur r DC n=0 即 DC 丄 n .平面 PED

11、L平面 PABr o(2) 解：由(1)知：平面PAB的法向量为n= (一2亍0,1),设平面FAB的法向量为n1二(x, y, -1),由(1)知:1 uuaF (0, 0, f ), FB =ULTFEniniuuu FB uuu FE(X, y,(x, y,73 1 11)?-,-,-)2 2 2巧11)?( ,0,-)22、3x2、3x212y1 02n 1=(-,0, -1)二二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos 0=|cos< n , n 1>|5.714例3:在棱长为4的正方体ABCD-A1CD中，C是正方形ABGD的中心，点P在棱CG上，且CG=4CP.(I )

12、求直线AP与平面BCGB所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(II)设O点在平面DAPh的射影是H,求证：DH丄AP;(皿)求点P到平面ABD的距离.解：(I )如图建立坐标系D-ACDT棱长为4 A (4, 0, 0), B(4, 4, 0), P (0, 4, 1)uuu- uuurAP = (-4, 4, 1),显然 DC = (0, 4, 0)z为平面BCGB的一个法向量umrDC >| =16/42 421 ?、44 3333二直线AP与平面BCGBi所成的角B的正弦值sin 0 = |cos< AP ,0为锐角直线AP与平面BC®所成的角0为arcsin

13、垮(皿)设平面ABD的法向量为n= (x, y, 1),uuuuuju AB= (0, 4, 0), AD1 = (-4 , 0, 4)r uuu rujuu由n丄AB , n丄AD1得y 0n= (1,0, 1),点P到平面ABD勺距离d =4x 4 0uuu rr n3、22例4:在长、宽、高分别为 2, 2, 3的长方体ABCD-A1C1D中，0是底面中心，求A0与BC的距离解：如图,建立坐标系 D-ACD,则0( 1，1,(2, 2, 3),jjjr二 AO ( 1,1,C(0, 2, 0)UUJT3) BQ ( 2,0,3)设AO与BC的公共法向量为n(x, y,1),r umr n

14、 AO r uujr n BQ(x,y,1)?( 1,1, 3) 0(x,y,1)?( 2,0, 3) 0x2xt'i,1) A1O与BC的距离为uuuj r d =|ABr?n| |n|0,2,0 ?刍I,12 2I22332231123 2211例5:在棱长为1的正方体ABCD/BCD 中,的中点，求A到面BDFE的距离。E (1 , 1, 1)2uuuuuu1uur BD ( 1, 1,0)BE ( ,0,1)A1B2解：如图，建立坐标系 D-ACD,则B (1,r nuuu BD(x, y,1)?(1, 1,0) 0x y 0ruuu11nBE(x, y,1)?(,0,1) 02x 102r n(2, 2,1)设面BDFE勺法向量为n (x, y,1)，则ujjr r A1 到面 BDFE的距离为 d =1AB?£J |n|UUJAB1 (0,2,0)E、F分别是BC、CD1, 0), A1 (1, 0, 1),o,1'1?2, 2g 1222 2 1 31五、课后练习:1、如图,已知正四棱柱 ABCD-ABCD, AB=1,AAi=2,点E为CG中点,点F为BD中点.（1） 证明EF为BD与CG的公垂线；（2）求点D到面BDE勺距离.2、已知正方形ABCD边长为1,过D作PDL平面ABCD 且 PD=1E、F分别是AB和BC的中点，（1