数学奥林匹克竞赛讲座 07面积问题和面积方法

1、竞赛讲座07-面积问题和面积方法基础知识1面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用设，分别为角的对边，为的高，、分别为外接圆、内切圆的半径，则的面积有如下公式：（1）； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似

2、比的平方；（6）共边比例定理：若和的公共边所在直线与直线交于，则；（7）共角比例定理：在和中，若或，则3张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，则三点共线的充要条件是：例题分析例1梯形的对角线相交于，且，求例2在凸五边形中，设，求此五边形的面积例3是内一点，连结并延长与分别交于，、的面积分别为40，30，35，求的面积例4分别是的边和上的点，且，求的面积的最大值 例5过内一点引三边的平行线，点都在的边上，表示六边形的面积，表示 的面积求证：例6在直角中，是斜边上的高，过的内心与的内心的直线分别交边和于和，和的面积分别记为和求证：例7锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，

3、直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似求证：（1）三角形的面积是六边形的面积的二倍；（2）三角形的面积至少是三角形的四倍例8在中，将其周长三等分，且在边上，求证：例9在锐角的边边上有两点、，满足，作，（是垂足），延长交的外接圆于点，证明四边形与的面积相等三面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题例10凸六边形内接于，且，求此六边形的面积例11已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：例12在内，且，求征：例13在的三边上分别取点，使，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积例14为圆内接四边形的边

4、的中点，于，于，于，求证：平分例15已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：例16正正，求证：例17在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点例18已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值例19设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当时，直线与以为直径的圆相切训练题1设的面积为10，分别是边上的点，且若，求的面积2过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积3在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的4锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的 面积5在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：6三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长7已知及其内任一点，直线分别交对边于（），证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于28点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：9已知P是内一点，延长分别交对边于，其中，且，求之值1