数学奥林匹克题解【A整数-A2求解041-045】

1、A2041 一个幻方中，每一行，每一列及每一对角线上的三个数之和有相同的值图示一个幻方中的四个数，求x【题说】 第十四届（1996年）美国数学邀请赛题1【解】 幻方中两条对角线的和与第二列的和都为同一值s，这3s也是第一行的和加上第二行的和，再加上中央一数的3倍所以中央的左下角的数为19961114因此x3×1051996200A2042 对整数1，2，3，10的每一个排列a1，a2，a10，作和|a1a2|a3a4|a5a6|a7a8|a9a10|数求pq【题说】 第十四届（1996年）美国数学邀请赛题12【解】 差|aiaj|有如下的45种：这45种的和为1×92

2、15;83×74×65×56×47×38×29×1165每一种出现的次数相同，而在和|a1a2|a3a4|a5a6|a7a8|a9a10|中有5种，所以A2043 设正整数a、b使15a16b和16a15b都是正整数的平方求这两个平方数中较小的数能够取到的最小值【题说】 第三十七届（1996年）国际数学奥林匹克题4本题由俄罗斯提供【解】 15a16br2，16a15bs2于是16r215s2162b152b481b         &#

3、160;                           （1）所以       16r215s2是48113×37的倍数由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6的平方为0，±1，±3

4、，±4（mod 13），所以152（mod 13）不是任一数的平方因此，16r215s2（mod 13）时，必有13|s同样，由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9，±10，±11，±12，±13，±14，±15，±16，±17，±18的平方为 0，±1，±3，±4，±9，±12，±16（mod 37），所以必有 37|s于是

5、481|s由（1），481|r在rs481时，b（1615）×481481，a（1615）×48131×481，满足15a16br2，16a15bs2所以所说最小值为481A2044 设自然数n为十进制中的10位数从左边数起第1位上的数恰是n的数字中0的个数，第2位上的数恰是n的数字中1的个数，一般地，第k1位上的数恰是n的数字中k的个数（0k9）求一切这样的数n【题说】 1997年日本数学奥林匹克预选赛题 7【解】 设n的左数第k1位上的数字为nk（0k9），则数字k出现的次数为nk因为n是10位数，所以n0n1n2n910   &

6、#160;                                   （1）又数字k若在左数第nj1位上出现，则数字j在n中出现k次nk个k意味着有数字j1，j2，jnk，共出现knk次于是，又有ni2n29n910   

7、;                                      （2）由（2）显然n5，n6，n7，n8，n9，至多一个非零，且n6，n7，n8，n9均1若     

8、                     n5n6n7n8n90                            

9、            （3）则n05于是n中至少有一个数字5，与（3）矛盾所以n5，n6，n7，n8，n9中有一个非零，其余四个为0从而n12n23n34n45                           &#

10、160;            （4）（4）表明n1，n2，n3，n4中至少有两个为0，从而n中0的个数不少于6，即n06于是n6，n7，n8，n9中有一个为1，n50若n91，则n09，n11，这显然不可能若n81，则n08，n11，但无论n11或n11均不合要求若n71，则n07，n11或2，前者显然不合要求后者导致n21，n0n1n2n710也不合要求若n61，则n06，n12或3n12时，n21，数6210001000满足要求n13时，n30，n0n1n3n610，不合要求综上

11、所述，满足条件的10位数n只有6210001000A2045 求所有的整数对（a，b），其中a1，b1，且满足等式ab2ba【题说】 第三十八届（1997年）国际数学奥林匹克题5本题由捷克提供【解】 显然当a、b中有一个等于1时，（a，b）（1，1）以下设a，b2设tb2/a，则由题中等式得到bat，ata2t，从而ta2t1如果2t11，则ta2t1（11）2t11（2t1）2tt，矛盾所以2t11于是我们有0t1记K1/t，则Ka/b21为有理数，由abk可知KbK2          &#

12、160;                                                              （1）如果K2，则KbK21，与前