数学奥林匹克题解【A整数-A3数字问题001-010】

1、A 整数 A3 数字问题     A3001 在数3000003中，应把它的百位数字和万位数字0换成什么数字，才能使所得的数能被13整除？【题说】 1950年1951年波兰数学奥林匹克三试题2【解】 设所求数字为x和y，则有因为106、104、102除以13时，分别得余数1、3、9，所以n33x9y33（2x3y）（mod 13）当且仅当x3y2被13整除，即x3y213m（m为自然数）              &

2、#160;                  （1）时，n被13整除由于x3y293·9238所以m只能取1或2当m1时，由方程（1）及0x，y9，解得x8，y1；x5，y2；x2，y3当m2时，解得x9，y5；x6，y6；x3，y7；x0，y8故本题共有7个解：3080103，3050203，3020303，3090503，3060603，3030703，3000803A3002 求出所有这样的三位数，使其被11整

3、除后的商数等于该三位数各位数字的平方和【题说】 第二届（1960年）国际数学奥林匹克题1本题由保加利亚提供【解】 设这个三位数除以11以后的商为10ab，其中 a是商的十位数，b是商的个位数若ab10，则原数为100（a1）10（ab10）b若ab10，则原数为100a10（ab）b以下对这两种情形分别讨论先考虑第一种情形由题设有（a1）2（ab10）2b210ab                   &#

4、160;              （1）若ab10，则有（a1）2（ab10）2b2（a1）21（11a）2故若（1）式成立，只能有ab10将b10a代入（1）解得唯一的一组正整数解a7，b3再考虑第二种情形此时由题设有a2（ab）2b210ab                  

5、60;                          （2）若ab5，则有a2（ab）2b22（ab）·a2b210ab故若（2）成立，只能有ab5注意在（2）式中左边和10a都是偶数；因此b也是偶数若ab5，则b只能为2，将b2代入（2）得不到整数解，因此只能有ab5将b5a代入（2）得唯一的一组正整数解a5，b0综上所述，合乎要求

6、的三位数只有550，803A3003 下面是一个八位数除以一个三位数的算式，试求商，并说明理由【题说】 1958年上海市赛高三题1【解】 原式可写成：其中所有未知数都表示数字，且下标为1的未知数都不等于零x1x2x3等表示x1·102x2·10x3等（1）因为得到商的第一个数字7后，同时移下两个数字a5、a6，所以y20，同理y40（2）四位数a1a2a3a4与三位数b1b2b3之差为两位数c1c2，所以a11，a20，b19，同理，c11，c20，d19，于是a4b3，b29，a30（3）由7×x1x2x399b3，所以x11，x249907×1401

7、0，所以x32，b34，从而a4b34（4）由c11，c20可知y37（5）y5×142是四位数，所以x58又因y5×142的末位数字是8，所以y59于是商为70709，除数142，从而被除数为10040678A3004 证明：在任意39个连续的自然数中，总能找到一个数，它的数字之和被11整除【题说】 1961年全俄数学奥林匹克八年级题 3【证】 在任意39个连续自然数中，一定有三个数末位数字为0，而前两个数中一定有一个十位数字不为9，设它为N，N的数字之和为n，则N，N1，N2，N9，N19这11个数的数字之和依次为n，n1，n2，n9，n10，其中必有一个是11的倍数【

8、注】 39不能改为38例如999981至1000018这38个连续自然数中，每个数的数字和都不被11整除本题曾被改编为匈牙利1986年竞赛题、北京市1988年竞赛题A3005 求有下列性质的最小自然数n：其十进制表示法以6结尾；当去掉最后一位6并把它写在剩下数字之前，则成为n的四倍数【题说】 第四届（1962年）国际数学奥林匹克题1本题由波兰提供【解】 设n10m6，则6×10pm4（10m6），其中p为m的位数于是m2（10p4）/13，要使m为整数，p至少为5，此时，n153846A3006 公共汽车票的号码由六个数字组成若一张票的号码前三个数字之和等于后三个数字之和，则称它是幸

9、运的证明：所有幸运车票号码的和能被13整除【题说】 1965年全俄数学奥林匹克八年级题 4【证】 设幸运车票的号码是A，则A999999A也是幸运的，且AA因为AA999999999×1001含因数13而所有幸运号码都能如此两两配对所以所有幸运号码之和能被13 整除A3007 自然数k有如下性质：若n能被k整除，那末把n的数字次序颠倒后得到的数仍能被k整除证明：k是99的因子【题说】 第一届（1967年）全苏数学奥林匹克十年级题5【证】 k与10互质事实上，存在首位为1且能被k整除的数，把它的数字倒过来也能被k整除，而此数的末位数字为1取以500开头的且被k整除的数：500abcz，

10、（a，b，c，z是这个数的数字），则以下的数均被k整除：（1）zcba005（2）和（3）把（2）中的和倒过来zcba00010abcz（4）差由此看出，99能被k整除 A3008 计算由1到109的每一个数的数字之和，得到109个新数，再求每一个新数的数字之和；这样一直进行下去，直到都是一位数为止那么，最后得到的数中是1多，还是2多？【题说】 1964年全俄数学奥林匹克八年级题3考虑整数被9除的余数【解】 一个正整数与其数字之和关于9是同余的，故最后所得的一位数为1者，是原数被9除余1的数，即1，10，19，999999991及109同理，最后所得一位数为2者，原数被9除余2，即2

11、，11，20，999999992二者相比，余1者多一个数，因此，最后得到的一位数中以1为多A3009 求出具有下列性质的所有三位数A：将数A的数字重新排列，得出的所有数的算术平均值等于A【题说】 第八届（1974年）全苏数学奥林匹克九年级题 5由此可得222（abc）6（100a10bc），即7a3b4c，将这方程改写成7（ab）4（cb）当0b2时，abc，或ab4且cb7当7b9时，ba4，bc7，从而A111，222，999，407，518，629，370，481，592显然这15个三位数都合乎要求A3010 当44444444写成十进制数时，它的各位数字之和是A，而B是A的各位数字之和，求B的各位数字之和（所有的数都是十进制数）【题说】 第十七届（1975年）国际数学奥林