(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一， 它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例

2、如：（ 1） (a+b)(a- b) = a2222-b) ；-b -a-b =(a+b)(a(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2 a 2 ±2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a22333322；-ab+b ) =a+b - a+b =(a+b)(a-ab+b )(4) (a-b)(a 2+ab+b2 ) = a3-b3 -a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：2222(5)a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a

3、2 +b2+c2-ab-bc-ca) ；例 .已知 a，b， c 是ABC 的三边，且 a2b2c2abbcca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形B 等腰三角形C等边三角形D 等腰直角三角形解： a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc 2ca( a b)2(b c) 2(c a)20a b c三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考1

4、虑两组之间的联系。解：原式 = ( aman )(bmbn)= a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！= ( mn)( ab)例 2、分解因式： 2ax 10 ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay)(5bybx)原式 = (2axbx )( 10ay5by)= 2a( x5 y)b( x5 y)= x(2ab)5 y(2ab)= (x5 y)( 2ab)= (2ab)( x5y)练习：分解因式1、 a2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y 2axay分

5、析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x2y 2 )(axay)= ( xy)( xy)a( xy)= ( xy)( xy a)例 4、分解因式： a 22abb2c 2解：原式 = (a22abb2 )c 2= (a b) 2c2= (a b c)(a b c)练习：分解因式 3、 x2x9 y23 y4、 x2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 yxy 2y3（ 2） ax2bx 2bxaxa b（ 3） x 26xy9 y 216a28a1 （ 4） a 26ab 12b9b24a（ 5）

6、 a42a3a 29（ 6） 4a 2 x 4a2 y b 2 x b2 y（ 7）x 22xyxzyzy 2（ 8）a 22a b 22b2ab 1（ 9） y( y2)(m1)( m1)（ 10） (ac)(ac)b(b2a)（ 11）a2 (b c)b2 (ac)c 2 (ab) 2abc（ 12）a3b 3c33abc2四、十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( pq)xpq( xp)( xq) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例 . 已知 0 a 5，

7、且 a 为整数，若 2x23x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解 析：凡是能十 字相 乘的 二次三项式ax2+bx+c ， 都要 求b24ac>0 而且是一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数， a 1例 5、分解因式：x25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2× 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2× 3的分解适合，即2+3=5 。12解： x 25x6 = x 2(2 3) x 2 313= (x2)( x 3)1× 2+

8、1 × 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x27x6解：原式 = x 2( 1)( 6) x ( 1)( 6)= ( x1)( x6)1 -11 -6（ -1） +（ -6） = -7练习 5、分解因式 (1)x 214 x24(2) a215a36 (3) x24 x5练习 6、分解因式 (1)x 2x2(2) y 22 y 15(3) x 210x243（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（ 1） a a1a2a1c1（ 2） cc1c2a2c2（ 3） ba1c2a2 c1b

9、 a1 c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 x c1 )(a2 xc2 )例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11解： 3x 211x 10 = ( x2)(3x5)练习 7、分解因式： （ 1） 5x27x 6（ 2）3x 27x 2（ 3） 10 x 217 x 3（ 4）6 y 211 y 10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 28a

10、b 128b2 = a 2 8b( 16b)a 8b ( 16b)= (a8b)(a16b)练习 8、分解因式 (1) x23xy2 y 2 (2) m 26mn8n 2 (3) a 2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x 27xy 6y 2例 10、 x2 y23xy 21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)( 2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9、分解因式： （ 1） 15x 27xy4 y2（ 2） a 2 x26ax84综合练习 10、（ 1

11、） 8x67x 31（ 2） 12x 211xy15 y2（ 3） ( x y)23( x y)10（ 4） (a b)24a4b3（ 5）x2 y 25x 2 y 6x2（ 6）m24mn4n 23m6n2（ 7） x 24xy4 y 22x4 y3（ 8） 5( ab) 223(a 2b 2 )10(ab) 2（ 9）4x24xy6x3yy 210（ 10）12( x y) 211(x 2y2 )2( xy) 2思考：分解因式：abcx2(a2 b 2c 2 )x abc五、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x 2(2005 21) x2005（ 2） ( x 1)( x2)(

12、x 3)( x6)x 2解：（1）设 2005= a ，则原式 = ax 2( a 21)xa= (ax1)( xa)= (2005 x 1)( x2005)（ 2）型如 abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = (x 27x 6)( x 25x 6) x 2设 x25x6 A，则 x 27x 6 A 2x原式 =(A2 x) A x 2= A22 Ax x2= ( Ax)2 = ( x26x 6) 2练习 13、分解因式（1） (x（ 2） (x（ 3） (a2xyy2 ) 24xy( x2y 2 )23x2)(4x 28x3) 9021) 2(a 25) 24(

13、a 23) 2例 14、分解因式（1） 2x 4x36x 2x 2观察： 此多项式的特点是关于x 的降幂排列， 每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x2 ( 2x2x611) = x 22( x 2 1) (x1 )6xx 2x2x设 x1t ，则 x 21t 222x2x222原式 =x22)t6= x2tt 10（ t5= x2 2t 5 t 2 = x2 2x25 x12xx= x·2x25 ·x·x12= 2x 25x 2 x 22x 1xx=

14、 ( x1) 2 (2x1)( x2)（ 2） x 44x3x 24x 1224x141= x2x214 x1解：原式 = x ( xx2 )x 21xx设 x1y ，则 x21y 22xx2原式 = x2 ( y24 y3)= x2 ( y1)( y3)= x2 ( x11)( x13) = x2x 1 x23x 1xx练习 14、（ 1） 6x47 x336x27x6（ 2） x 42x3x21 2( x x 2 )六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1） x3 解法 1拆项。原式 = x31 3x 23= (x1)( x2x1)= ( x1)( x 2x1= (x1)( x24

15、x4)= (x1)( x2) 23x 24解法 2添项。原式 = x33x24x 4x 43(x 1)( x 1)= x(x 23x4)(4x4)3x 3)= x(x1)( x4)4( x1)= (x1)( x24x4)= ( x1)( x2) 2（ 2） x 9x 6x33解：原式 = ( x91) ( x61)( x31)= ( x31)( x 6x 31) (x 31)( x31) ( x31)= ( x31)( x 6x 31 x31 1)= ( x1)( x 2x 1)( x62x33)练习 15、分解因式（ 1） x 39x8（ 2） (x 1) 4(x 21) 2( x 1) 4

16、（ 3） x 47 x21（ 4） x4x22ax1a2（ 5）444222222444xy( xy)（ ）2a b2a c 2b ca bc66七、待定系数法。例 16、分解因式 x2xy6 y2x13 y 6分析：原式的前3 项 x2xy6y 2可以分为 (x 3y)( x2 y) ，则原多项式必定可分为 ( x 3y m)( x2 yn)解：设 x 2xy6 y 2x13 y6 = ( x3ym)( x 2 yn) (x 3ym)( x2 yn) = x2xy6 y 2(mn) x(3n2m) ymnx2xy6y 2x13y6 = x2xy6 y2(mn) x(3n2m) ymnmn1m

17、23n对比左右两边相同项的系数可得2m 13 ，解得3mn6n原式 = ( x 3y 2)( x 2 y3)例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式 x 2y 2mx5 y 6 能分解因式，并分解此多项式。（ 2）如果 x3 ax 2bx8 有两个因式为 x1和 x2 ，求 ab 的值。（ 1）分析： 前两项可以分解为(xy)( x y) ，故此多项式分解的形式必为 ( xya)( xyb)解：设 x 2y 2mx5 y6 = ( xya)( xy b)则 x 2y 2mx 5 y 6 = x2y 2(a b) x (b a) y ababma2a 2比较对应的系数可得：ba5 ，解得：b3

18、 或 b3ab6m1m1当 m1 时，原多项式可以分解；当 m 1时，原式 = (xy2)(xy3) ；当 m1时，原式 = ( xy2)( x y3)（ 2）分析： x3ax 2bx8 是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc 的一次二项式。解：设 x3ax2bx8 = ( x 1)( x2)( xc)则 x3 ax2bx 8 = x3 (3 c) x2(2 3c)x 2c7a3ca7 b23c解得 b14 ，2c8c4 a b =21练习 17、（ 1）分解因式x2310y2x9y2xy（ 2）分解因式 x23xy2 y 25x7 y6（ 3） 已知： x2

19、2xy3 y 26x14 yp 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。（ 4） k 为何值时， x22xyky 23x5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的 _的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m3-4m=.3. 分解因式： x 2-4y 2= _.4、分解因式：x24x4=_ _ 。n分 解 因 式 的 结 果 为 (x 2+y2)(x+y)(x-y)， 则n 的 值5. 将 x -y n为.6、若 x y5, xy6 ，则 x2 y xy 2=_，2x22y2=_。二、选择题7、

20、多项式 15m3n25m2 n20m2n3的公因式是 ()A、 5mnB、 5m2 n2C、 5m 2n D、 5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、 a 3 a 3 a29B 、 a2b2a b a b823C、a24a 5 a a 4 5D 、m 2m 3 m m 2m10. 下列多项式能分解因式的是（）(A)x 2-y(B)x2+1 (C)x2+y+y2(D)x2-4x+4211把（ x y） （ y x）分解因式为（）A（ x y）（ x y1）C（ y x）（ y x1）B （ yx）（ x y 1）D （ yx）（ y x 1）12下列各个分解因式中正确的是（

21、）A 10ab2c 6ac 2 2ac2ac （ 5b2 3c）B（ a b）2（ ba） 2（ ab） 2（ ab 1）C x（ bc a） y（ ab c） a b c（ b ca）（ x y 1）2D（ a 2b）（ 3a b） 5（ 2b a） （ a 2b）（11b 2a）13.若 k-12xy+9x 2 是一个完全平方式，那么k 应为（）A.2B.422C.2yD.4y三、把下列各式分解因式：14、 nxny15、 4m29n216、 m mnn nm17、 a3 2a2b ab218、 x222416x19、9(m n)216(m n) 2；9五、解答题20、如图，在一块边长a

22、=6.67cm 的正方形纸片中， 挖去一个边长 b =3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。21 、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d 45cm，外径D75cm，3m 。利用分解因式计算浇制一节这样长 l的管道需要多少立方米的混凝土？( 取 3.14 ，结果保留 2 位有效数字 )lDd22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5) 个等式。(1) x2 1 x 1 x 1(2) x4 1 x2 1 x 1 x 1(3) x81x4 1 x21x1x1(4)x161x8 1 x41x21x1 x 1(5)_10经典二：因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多

23、项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解

24、法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（ 2）若上述方法都行不通， 可以尝试用配方法、 换元法、 待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1.分解因式 x 5x4x 3x2x1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把11x 5x 4x 3 和 x 2x1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后， 再进一步分解； 也可把 x 5x4 ， x 3x 2 ， x1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式5432( xxx)(xx)1x3 (x 2x

25、 1) ( x2x 1)( x 31)( x2x1)( x1)( x 2x1)(x 2x1)解二：原式 = ( x5x 4 )(x 3x2 )( x)1x4 (x1)x 2 ( x1)( x1)( x1)( x 4x1)( x1)( x 42x 21)x2 ( x1)( x 2x1)(x 2x1)2. 通过变形达到分解的目的例 1.分解因式 x3x 243解一：将 3x 2 拆成 2x 2x 2 ，则有原式x 32x 2( x 24)x 2 (x2)(x2)( x2)( x2)( x 2x2)( x 1)( x2) 2解二：将常数4 拆成13 ，则有原式x 31( 3x 23)( x1)( x

26、2x1)(x1)(3x 3)( x1)( x24 x4)( x1)( x2) 23. 在证明题中的应用例：求证：多项式 ( x 2)( x 210x)421 100 的值一定是非负数12分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明： ( x24)( x210x)10021(x2)( x 2)( x3)( x7)100(x2)( x 7)( x2)( x3)100(x 25x 14)( x 25x6)100设 y x2 5x ，则原式( y 14)(y6) 100y 28y 16 ( y 4 )2无论 y取何值都有( y4)

27、 20( x 24)( x 210x21)100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：(a2 bc) 3(ab) 3(bc) 3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B原式 (AB) 3A 3B 3A 33A2B3AB 2B3A 3B 33A 2B3AB 23AB (A B)3( ab)( bc)( a2 bc)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。13中考点拨例 1.在ABC 中，三边 a,b,c满足 a 216b 2c26a

28、b 10bc 0求证： ac2b证明：a 2b 2c26ab10bc016a26ab 9 b2c210bc25b20即 (a3b) 2(c 5b) 20(a8bc)( a2 bc)0abca8b，即a8bc0c于是有 a2bc0即 a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： x12，则 x 31_xx3解： x 3 1( x1 )( x 211 )x3xx(x1)( x1) 221xx212说明：利用 x21(x122等式化繁为易。2x)x题型展示1. 若 x 为任意整数，求证：(7x)( 3 x)( 4 x 2 ) 的值不大于 100。解

29、： (7 x)(3 x)(4x 2 )10014(x7)(x2 )( x3)( x2)100(x 25x14)( x 25x6)100( x 25x)8( x25x)16(x 25x4) 20(7 x)( 3x)( 4x2 )100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将a 2(a1) 2(a 2a) 2 分解因式，并用分解结果计算 6 27 2422 。解： a 2(a1) 2(a2a) 2a2a 22a1(a 2a) 22( a 2a)1(a 2a) 2(a 2a1)

30、2627 2422(366124321849)说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：（1） 3x510x48x 33x210x 8（ 2 ） (a 23a3)( a23a1)5（ 3） x22 xy3y 23x5y2（ 4 ） x37 x 6152.已知： xy6， xy1，求： x 3y 3 的值。3. 矩形的周长是28cm，两边 x,y 使 x 3x 2 y xy 2y 30 ，求矩形的面积。4.求证： n35n 是 6 的倍数。（其中 n 为整数）5.已 知 ： a、 b、 c是非零实数，且a2b2c21，a( 11)b( 11)c( 11 ) 3 ，求 a+b+c

31、 的值。bccaab6. 已知： a、 b、c 为三角形的三边，比较 a2 b 2 c 2a 2 b 2的大小。和 416经典三： 因式分解练习题精选一、填空：（ 30 分）1、若 x 22(m3)x16 是完全平方式，则m 的值等于 _。2、 x2xm( xn) 2 则 m =_ n =_3、 2x3 y 2 与 12x 6 y 的公因式是4、若 xmy n = ( xy2 )( xy2 )( x 2y4 ) ，则 m=_，n=_。5、在多项式3y 2 ?5y315y5 中，可以用平方差公式分解因式的有 _ ，其结果是 _ 。6、若 x 22(m3)x16 是完全平方式，则m=_ 。7、 x

32、2(_) x2(x2)( x_)8、已知 1xx 2x 2004x20050, 则 x 2006_ .9、若 16(ab) 2M25 是完全平方式M=_ 。10、 x26x_(x3) 2 ，x2_9( x3) 211、若 9x2ky 2 是完全平方式，则k=_ 。12、若 x 24x4 的值为 0，则 3x212 x5 的值是 _。13、若 x 2ax15(x1)( x15) 则 a =_ 。1714、若 xy4, x 2y 26 则 xy_。15、方程 x 24x0 ，的解是 _。二、选择题： （ 10 分）1、多项式a( ax)( xb) ab(ax)(bx) 的公因式是（）A 、 a、B

33、、a(ax)( x b)C、a(a x)D 、a( x a)2、若 mx2kx9(2x3) 2 ，则 m， k 的值分别是（）A 、m= 2，k=6 ，B、m=2 ，k=12 ，C、m= 4，k= 12、D m=4 ，k=12、3 、下列名式：x 2y 2 , x 2y 2 ,x 2y 2 , ( x) 2(y) 2 , x4y 4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 个， B、2 个， C、3个， D、4 个4、计算(111112 )(13 )(12 )(1102 ) 的值是（）239A 、 1B、 1 ,C. 1 ,D.112201020三、分解因式： （ 30 分）1 、 x 42x335 x 22 、3x 63x 23 、25( x2y) 24(2 yx) 2184、 x24xy14y 25、 x5x6、 x317、 ax 2bx 2bxaxba8、 x418x2819 、 9x 436 y 210、 ( x1)( x2)( x3)( x4)24四、代数式求值（15 分）1、 已知 2x y1， xy2 ，求 2x 4 y 3x3