(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第26讲抛物线与直线形(1)--由动点生的特殊斯四边行问题

1、§26抛物线与直线形（2）由动点生成的特殊四边形问题科学家的好奇心是永远满足不了的，因为随着每一个进展，正如巴普洛夫所说： “我们打到了更高的水平，看到了更广阔的的天地，见到了原先在视野之外的东西。”贝弗里奇知识纵横抛物线与直线形的结合另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式：（ 1 ）抛物线上的点能否构成平行四边形；（ 2 ）抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；（ 3 ）抛物线上的点能否构成梯形；特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、 数形结合、 分类讨论是解这类问题的关键。例题求解【例 1 】如图，抛物

2、线 y x 22x 3 与 x 轴交 A, B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线 l 与抛物线交于 A,C 两点，其中 C 点的横坐标为 2 （1）求 A, B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2） P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使 A,C , F ,G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由（义乌市中考题）思路点拨对于（ 3 ）， AF 可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能组成四边形的

3、情况由多种，需全面讨论。7【例 2 】如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A 6,0 和 B 0,4 2（1 ）求抛物线解析式及顶点坐标；（2 ）设点E x, y是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以 OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；当平行四边形OEAF 的面积为是否存在点E ，使平行四边形24 时，请判断平行四边形OEAFOEAF 为正方形？若存在，求出点是否为菱形？E 的坐标；若不存在，请说明理由（河南省中考题）思路点拨对于（ 2 ），若 OEAE ，则平行四边形OEAF 为菱形；若OAEF 且O

4、AEF ，则平行四边形OEAF 为正方形。先求出E 点坐标，再看E 点是否在抛物线上。【例3 】如图：二次函数yx2axb 的图象与x 轴交于A1 ,0,B 2,0两点，且与2y 轴交于点C （1 ）求该抛物线的解析式，并判断（2 ）在 x 轴上方的抛物线上有一点ABC 的形状；D ，且 A,C, D,B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；（3 ）在此抛物线上是否存在点P ，使得以 A,C , B, P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由（临江市中考题）思路点拨问题（ 1 ）中已经确定了ABC 的形状，只需再构造直角就可解决问题（3

5、 ）。点 P 是直线与抛物线的交点，但梯形的另一直角顶点不确定。【例4 】如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC 的A, B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y轴的负半轴上已知OA: OB1:5，OBOC，ABC 的面积SABC15 ，抛物线yax2bxc(a0) 经过A, B,C三点。(1) 求此抛物线的函数表达式；(2)设 E是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于 x 轴于点G ，再过点E 作EH垂直于x 轴于点H ，得到矩形 EFGH 则在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；(3) 在抛

6、物线上是否存在异于B,C 的点 M ，使ABC 中BC 边上的高为 7 2 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（ 2011年成都市中考题）分析对于（ 2 ），设出E 点的坐标， 由 EHEF，建立方程； 对于（ 3 ），假设存在点M，使MBC 中BC 边上的高为 7 2 ，则点M应在与直线BC 平行且与直线相距7 2的两条平行线上。学力训练1. 如图，抛物线y5x 217x1 与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一44点 B，过点B作BCx 轴，垂足为点C 3,0（1 ）求直线AB 的函数关系式；（2 ）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每秒一个单位的速度向C

7、 移动， 过点P 作x 轴的垂线， 交直线 AB 于点 M ，抛物线于点N ，设点 P 移动的时间为x 秒，线段 MN 的长为s个单位，求s 与x 的函数关系式；（3 ）在（ 2 ）的条件下（不考虑点P 与点O 、点C 重合的情况），连接CM , BN ，四边形BCMN能否为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由（ 2011年广州市中考题）2. 已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数yx3 的图象与y 轴交于点A ，点M在正比例函数y3 x 的图象上，且MOMA 二次函数yx 2bxc 的图象经过点2A,M （ 1 ）求线段 AM 的长；（ 2 ）求这个二次函数的解析式；

8、（3 ）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数yx3 的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标（ 2011年上海市中考题）3. 如图，已知抛物线yx 2bx3a 过点 A 1,0 , B 0, 3 ，与 x 轴交于另一点C （1 ）求抛物线的解析式；（ 2 ）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以 P,Q , B,C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（烟台市中考题）4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y3x3与抛物线 y1x 2bx c 交于 A、 B424两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为8（ 1 ）求该抛物线的解析式；（ 2 ）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点 （不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，交直线 AB于点 D ，作 PEAB于点 E设PDE 的周长为