统计知识点及常见题型

1、统计知识点及常见题型1. 总体和样本：在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体T的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，心，,研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2. 简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、戈咲、排队等， 完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样 是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少 时，才采用这种方法。3. 简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法

2、；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允 许误差范围；概率保证程度。4 .抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5.随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。1. 系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽 取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K （抽样距离）二N （总体规模）/n （样本规模）前提条件

3、：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在 某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本幵始 抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种 循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。2. 系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的 要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助 变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大 大提高估计精度。1. 分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或

4、层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一 个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法：1. 先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2. 先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐 排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。2. 分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同 的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：(1) 以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。(2) 以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变 量作为分层变量。(3) 以那

5、些有明显分层区分的变量作为分层变量。3. 分层的比例问题：(1) 按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比 重来抽取子样本的方法。(2) 不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小， 其样本量就会非常少， 此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。 如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整 样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。1、 样 本均值：X 厘丄2Xnn2、.样本标准差：S碍J% X)2 % X)2 区k»n3. 用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理， 那么样本可以反映

6、总体的信息， 但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我 们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实 反映了总体的信息。4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准 差不变(2) 如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来 的k倍(3) 组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(X 3s,x 3s)的应用; “去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理1、 概念:(1)回归直线方程(2)回归系数2. 回归直线方程

7、的应用(1) 描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系(2) 利用回归方程进行预测；把预报因子(即自变量x )代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计，即可得到个体 Y值的容许区间。(3) 利用回归方程进行统计控制规定 Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中 NO的浓度和汽车流量间的 回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO的浓度。4应用直线回归的注意事项（1）做回归分析要有实际意义；（ 2）回归分析前 , 最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。题型一选择合适的抽样方法简单随机抽样 ，也叫纯随机抽样。 就是从总体

8、中不加任何分组、划类、排队 等，完全随机地抽取调查单位系统抽样 （等距抽样或机械抽样） ：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距 离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简 单随机抽样的办法抽取。分层抽样 （类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、 年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采 用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这 些子样本合起来构成总体的样本。1. 现有以下两项调查：某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员 每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为

9、1 : 5 : 9.为了调查全市商店每日零售额情况，抽取 其中15家进行调查. 完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A. 简单随机抽样法，分层抽样法B. 分层抽样法，简单随机抽样法C.分层抽样法，系统抽样法D .系统抽样法，分层抽样法2. 某社区有 400个家庭，其中高等收入家庭 120 户，中等收入家庭 180户，低收入家庭 1 0 0户.为了调查社会购买力的某项指标， 要从中抽取一个容量为 100的样 本记作；某校高一年级有 12名女排球运动员，要从中选出 3人调查学习负担情 况，记作；那么，完成上述 2项调查应采用的抽样方法是（）A.用随机抽样法，用系统抽样法B.用分层抽样法，用随

10、机抽样法C.用系统抽样法，用分层抽样法D. 用分层抽样法，用系统抽样法题型二： 系统抽样剔除个体数计算 当系统抽样中样本总量除以样本容量不是整数时，需要用简单随机抽样法剔除部分个体，剔除个35体的数量=样本总量一组距卅羊本容量。例.若总体中含有 1650 个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为的样本，分段时应从总体中随机剔除 个个体，编号后应均分为 _段，每段有 个个体.5,35,47题型三：分层抽样有关计算 样本容量分层抽样特点：各层抽样比例 =总体抽样比例=，每层抽取个体数量=该层个体总量 抽样总体容量比例。经典例题：某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法

11、抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了 60人，则高中部共有多少学生？练习.某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15 : 3： 2.为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量 门为（ ）C. 40D . 80题型四：频率分布直方图画法步骤作频率分布直方图分布的步骤求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）决定组距与组数，一般样本容量越大组数越多，经常分为512组，组距尽量取整。将数据分组，通过唱票计算各组的频数列频率分布表，根据各组频数计算频率，列出频率分布表画出频率分布直方图,横

12、轴只画最小值与最大值之间部分，纵轴表示频率组距的值题型五:由频率分布直方图估计众数、平均数、中位数（由频率分布直方图估计众数：一般先计算各部分小矩形的面积，找到面积最大的矩形，取该矩形横边中点对应的数即为所求（由频率分布直方图估计平均数：一般利用平均数公式 X X.P, x2p2xnpn来计算，其中Xn表示第n个矩形横边中点对应的数，Pn表示第n个矩形的面积。（由频率分布直方图估计中位数：就是平分直方图面积且垂直于横轴的直线对应的数。前n个小矩形面积不足时,不足部分数值中位数=下一个矩形横边左端点+x组距该小矩形面积题型六：频率分布表中未知量计算各组频数之和二样本容量，各组频率之和 =1,各组

13、频数我率二样本容 数据落在某区间的概率 V区间包括的各组频率之和经典例题：为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如下图），已知图中从左到右的 前三个小组的频率分别是，.第一小组的频数是5.（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；（2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？（3）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少?组试估计该年级学生平均跳绳次数，中位数、众数练习一.2005年降雨量的概率如下表所示:次数（1）求年降雨量在100,200范围内的概率；（2）求年降雨量在1

14、50,200或250,300范围内 的概率; 求年降雨量不在150,300范围内的概率；（4）求年降雨量在100,300范围内的概率.年降雨量/mm概率0. 120. 250. 160. 14练习2某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示年降水量（单位：:100，:150，:200，:250，mm150)200)250)300)概率则年降水量在150, 300 （mm范围内的概率为（）A. B . C .D练习3. （2014重庆文17）（本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分,（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示： 洞穿高考

15、预测题六（I）求频率分布直方图中a的值；（II ）分别求出成绩落在50,60与60,70中的学生人数；（III ）从成绩在50,70的学生中任选2人，求此2人的成绩都在60,70中的概率.题型七：用平均数和方差判断产品质量、成绩好坏、产量高低等平均数和方差（标准差）都是反映数据离散程度的工具。成绩好坏、产量高低等指标首先看平均数越高越好，当平均数相近或相同时，可以用方差（标准差）来刻画样本的稳定性。题型八：求线性相关的两个变量的回归直线方程，并作出适当预测第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算nn_xx nX y（Xj x）（yi y）求线性回归方程系数公式：I?匕,? y bX.X2 nX2（xi x）2i 1i 1重要结论正相关则 b> 0,负相关则bv 0,当解释变量增加一个单位时，预报变量相应增加（b>0）或减少（b v 0） | b丨个单位? y bx , （x, y）称为样本点的中心，此点一定在回归直线上。用回归直线方程计算出的 y值不是真实值，真实值在计算值的左右，可能大，可能小也可能相等。相关指数R2用来刻画拟合效果，R2的值越大，拟合效果越好，反之则越差，一般选择 氏值大的模型。