培优专题5-平移与旋转-(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上培优专题5 平移与旋转 平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果 旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径 平移、旋

2、转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的 例1 如图，在ABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE 分析 利用平移变换，将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和 练习11如图，梯形ABCD中，ADBC，已知AD+BC=3，AC=， BD=，求此梯形的面积 2如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积 3如图，ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且

3、BE=CF，试说明EF<BC例2 如图，ABC中，ACB=90°，M是AB的中点，PMQ=90°，请说明PQ2=AP2+BQ2 分析 本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中，如果将它们平移，使PQ、BQ分别转化为PD、AD，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解 练习21如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，BEG与CFH都是锐角，已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积2如图，ABC中，B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，AN、CM交于点P，若BC=AM，BM=CN，求APM的度数3如图

4、，六边形ABCDEF中，ABDE，BCEF，CDAF，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF的六个角是否都相等 例3 如图，在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K，并且BAM=MAK 求证：BM+KD=KA 分析 把RtBAM绕点A顺时针旋转90°到ADM，使BM与DN拼成一条线段的KM，只要证明KM=KA即可 练习31如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMB=MBC，求的值2如图，P是等边ABC内一点，APB、BPC、CPA的大小之比为5：6：7，求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大）3

5、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=BCD=90°，AHBC，且AH=1，求四边形ABCD的面积 例4 如图，在等腰三角形ABC中，CAB=90°，P是ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=，求APC的度数 分析 本题将BAP绕点A旋转90°，得到CAQ，构造直角三角形，利用勾股定理求解 练习41等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为_2如图，P是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数3如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD各有一点P、Q，若APQ的周长为2，求PCQ 例5 如图，在ABC

6、中，AB=3，AC=2，以BC为边的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值 分析 通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值 解：把ABP绕B点顺时针旋转60°得DBC，则ABPDBC DC=AP，BD=BA，DBA=60° ABD是等边三角形，AD=AB=3 在ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC5，即AP5 在ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC1，即AP1由得AP最大值为5，最小值为1 练习51如图，正方形ABCD中，有

7、一个内接三角形AEF，若EAF=45°，AB=8，EF=7，求EFC的面积2如图，在ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长 3如图，已知ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，ADB>ADC试证明：CD>BD答案: 练习1 1解：将BD平移到CE交AD延长线于点E， 则四边形BDEC为平行四边形 DE=BC，CE=BD，SBCD=SCDE ABC与DBC同底等高， SABC = SBCD = SCDE S梯形ABCD= SABC + SACD = SCDE + SACD = SACE 又AE=AD+DE=3=， ACE为直角三角形，ACE=90

8、° S梯形ABCD= SACE =·AC·CE=2解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c），宽（a-c）的空白长方形，其面积为（b-c）（a-c）=ab-bc-ac+c2 3解：将EF平移为BG，BF平移为FG，作CFG的角平分线交BC于D，连结DG，则由平移知四边形BEFG是平行四边形 EF=BG，BE=FG BE=CF，FG=CF 1=2，FD=FD FGDFCD（SAS） DG=CD在BGD中， BG<BD+DG，EF<BC 练习2 1解：过E、F、G、H分别平移AD、AB，交点分别为P、Q、

9、R、T，则四边形PQRT为矩形设正方形边长为a，PQ=b，PT=c，由勾股定理得b= ，c=， SAEH =STEH， SBEF =SPEF， SCFG=SQFG， SDGH =SRGH 则S正方形ABCD+S矩形PQRT=2S四边形EFGH a2+b·c=10 即a2+·=10 5a2=44，a2= S正方形ABCD= 2解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点D，则MC=AD APM=NPC=NAD BM=NC，CD=AM=BC， DCN=CBM=90°， DCNCBM 从而DN=MC，DN=DA CMB=DNC BC

10、M+DMB=90°， BCM+DNC=90° 即MCAD NDAD 由，得APM=45° 3解：六个角都相等且都等于120° 将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER， EF沿着FA平移到AP， ABED，BCEF，CDAF， AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE AB-ED=CD-AF=EF-BC， QC-CR=ER-PE=AP-AQ 即PQ=PR=QR 1=2=3=60° 由平行线性质知：A=B=C=D=E=F=120° 练习3 1解：将BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点

11、变为P点，连结MP， 则BAMBCP BPC=BMA=CBM=NMB BM=BP，NMP=NPM MN=NP=NC+CP=NC+AM 设AB=1，AM=x，在RtMND中， 则有+x= x= 即= 2解：将ABP绕B点顺时针旋转60°得BCP，连结PP， 则ABPCBP AP=PC，BP=BP， APB=CPB PBP=60°， BPP是等边三角形 PP=BP，BPP=60°=BPPAPB：BPC：CAP=5：6：7，又APB+BPC+CPA=360°， APB=100°，BPC=120°，CPA=140°， 1=120&#

12、176;-60°=60°， 2=100°-60°=40°， PCP=180°-60°-40°=80°由PA=PC，PP=PB， PPC是由PA、PB、PC组成的三角形 三内角之比为2：3：4 3解：将ABH绕A点旋转90°得ADP， 则ABHADP APD=AHB=90°， AH=AP BAD=BCD=90°，HAP=90° 四边形AHCP是正方形 AH=1， S正方形AHCP=1=S四边形AHCD+SADP S四边形ABCD=S四边形AHCD+SABH 又SAOP

13、 =SABH S四边形ABCD=S正方形AHCP=1 练习4 1解：如图，以A为中心将ACP绕A顺时针旋转60°，则C与B重合，P与P重合，连结AP，BP，PP 则AP=AP，BP=CP，PAP=60° APP是等边三角形，PP=3 BPP中，BP=4，PP=3，BP=CP=5 由32+42=52 BPP为直角三角形，BPP=90° BPA=150° 过B作BEAP，交AP延长线于E EPB=180°-150°=30°， 在RtBEP中，BP=4，BE=2，EP=2， RtABE中，BE=2，AE=2+3，AB2=22+（2

14、+3）2=25+12 2解：将ABP绕B点旋转90°，得CBP，连结PP，则ABPCBP PB=BP=2，AP=PC=1，APB=CPB 在RtPBP中，BP=BP=2， PP=2，BPP=45°在PPC中，PC=3，PC=1，PP=2有PC2=PC2+PP2， PPC是直角三角形， PPC=90° APB=CPB=BPP+PPC=135° 3解：将CDQ绕C点旋转90°，得CBM，则CDOCBM，QCM=90° D=90°，CBA=90°， P、B、M在一条直线上 QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2

15、， QP=DQ+BP BM=DQ，PM=PB+BM， QP=PM 又CP=CP，CQ=CM CQPCMP QCP=PCM又QCP+PCM=QCM=900 PCQ=45° 练习5 1解：把ADF绕A点旋转到ABD的位置 D和ABC均为直角， D、B、E三点在一条直线上， EAF=45°，DAE=45° 在ADE和AEF中， AD=AF，AE=AE，DAE=EAF， ADEAFE SDEF =2SADE =SABEFD=S正方形ABCD-SEFC SEFC =S正方形ABCD-SABEFD=S正方形ABCD-2SADE =82-2××8×7=8 2解：将ADC绕D点旋转180°得BDE BD=CD C