清华大学硕士生入学考试试题专用纸

1、清华大学硕士生入学考试试题专用纸求证：f0f(X)M go gx)R五、(25分)设f(0)存在,nf(0)=0,xn=2f (k/ n2).kT求证：nmxn存在，且!imx六、(25分)设f(X)忘C0,1且在(0,1)上可导，且求证：存在匕(0,1),使得f(匕)=-f(S/t七、(25分)设f,g在R上连续，f0 g(x)= gof(x);准考证号专业_ 试题内容:_ 系别_考试科目数学分析考试日期2003.01一、(15分)设(20分)设f(x, y)在R2(x0,y0)上定义,lim f (x, y)=A ,且3P0使得x0当0v| y-y0I VP时，lim f (x, y)=(

2、y)存在。x0求证：limlim f(x,y)=AyTy0,xT0二、(20分)设半径为r的球面刀的球心在一固定球面刀/： 取何值时，球面刀含在球面刀/内部的部分面积最大？x2+y2+z2=a2(a0)上，问当rx三、(20分)设f0(x)亡C-a,a(a0),fn(x)= fn-1(t)dt,(n=1,2,).求证：fn(x) 在-a,a上一致收敛于0.四、(20分)设f(x,y)在R2上二阶连续可微，f(x,2x)=x,f x(x,2x)=x2,且f xx(x,y)=fyy(x,y),V(x, y R2.求：fy(x,2x),fyy(x,2x)及f xy(x,2x).1/2f(1)=2xf

3、 (x)dx.清华大学硕士生入学考试试题专用纸求证：f0f(X)M go gx)RWx忘R,并且f(x) Mg (x) , Vx亡R.准考证号专业_ 试题内容:_ 系别数学科学系考试科目高等代数考试日期2003.01一、（20分）设f（X）=（X+1）4（X-1）3为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan标准型J有 几 种 可能？ 二、 （20分）（不计Jordan块的次序）设方阵I-2XA在实数域 给出证明。三、（20分）判断以下论断是否成立，证明自己的判断：对任意P,L,T使得PA=LT,其中P为对换方阵（即对换单位方阵I的某两行所得方阵）之积，L为下三角形方阵且对角线元素均为1,T为

4、上三角形方阵。R上是否相似域对角形（即有实方阵P使P-1AP为对角形）?在复数域C上呢?n阶可逆方阵A,存在方阵四、（20分）任给互异复数a,b和a。，印，a?,b。,S, b?是否存在多项式f （x）使得f (a) =ai, f (b) =bi(i=0,1,2)?证明之。（其中f（a）表示f（X）的次微商在a的取值）五、（20分）设方阵CoCiV.试求：（1）C的特征多项式f（X）;（2）C的极小多项式m（X）; （3）与方阵C（乘法）可交换的方阵全体Co六、（30分）1、设V是域 明V对适当定义的运算是2设V,V2为F上m,n维线性空间,F上n维线性空间，以V*表示定义域V上的线性函数全体

5、,F上线性空间（称为对偶空间），求其维数dim V*:V1T Va为线性映射，则有线性映射cr*：V1T试证V2,f T f。CT（称为CT的伴随映射）。若 b 对于Vi,V2的某基的方阵表示为A,试在V*,V2*的适当基下求CT的方阵表示A .3、当V1=V2=V为欧几里得空间时，七、（20分）设g , h是n维欧几里得空间V上两个对称双线性型,上述化为何种形式？当V1=壮=V为酉空间时又如何？h非退化，由下式定义V的线性变换化g（G, P） =h（ot,W（P）（对任意a ,P0,a0为常数）的通解可以表示成u（x,t）=F（x-at）+G（x+at）t 0三、（20分）证明边值问题(p(

6、x)y)+q(x)y + kP(x)y =0, (0吒x G0其中C0为常数)，则有估计其中M依赖于c(x)的界与O的直径。max u(x) 0且有界，则maxu(x) 0的部分，曲线的方向规定为从原点进入第一挂限的方向。四、（15分）计算lim ZZ匚I这里x为不超过x的最大整数。nT气吕y nL n五、(20分)设R种数列满足tan满足an4=bn-qan,n=1,2.,其中0q1,证明：（1）若付有界，则（2） 若收敛，则I2集。对X中的f,g,定义d(f ,g) =(f g)(x) +Siz1证明（X,d）是完备距离空间。准考证号专业_ 试题内容:系别_考试日期2001.1考试科目数学

7、分析一、（10分）其中b工0,二、（20分）作f（X）= X + 2e7图。六、（20分）设Xf壬c4(C, R)：sup (f (x) +2：LiT拼L2（X）V P其中0是R中的开 斷I清华大学硕士生入学考试试题专用纸清华大学硕士生入学考试试题专用纸0）0丿（2） 设方阵A满足A2=I（对合方阵），则可取可逆方阵P使P1AP为何种最简形式？证明之。（3） 设方阵A满足A2=0（幕零方阵），则可取可逆方阵P使P1AP为何种最简形式？证明之。 （20分）5设V是2维酉空间，T是V的酉变换且其行列式detT=1.证明：（1）T + T-1=Tr（ T）为数乘变换.（2）对任意a C V,内积a,T ot 的实部只依赖于a的长度同,即2?le 0.二、（15分）计算qxd密，其中L是椭圆与i X + ya2+爲=1沿逆时针方向,b2三、（15分）13222设|k| 0下的最大值和最小值。3四、（20分）设距离空间（X，d）是完