一元二次方程的根的判别式

1、1.根的判别式:2+bx+c=0(a工0)可以用配方法将其ax对于任何一个一元二次方程2-4acbb2变形为：(x+)=2_ _ _4a2a22+bx+c=0的根的情这样一元二次方程ax所以4a0,因为a0,24ac来判定。 况可由b22+bx+c=0ax的根的判别b4ac叫做一元次方程我们把24ac。式，用希腊字母/来表示，即/=b2+bx+c=0 (a工0),ax一元二次方程24ac0时，有两个不 相等的实数根；当/=b没有实数根。当/=b上述性质反过来也成立2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况;(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围;证明方程的根的性质;运用于解

2、综合题。(4)数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确 理解判别式的性质，熟练 灵活地运用它，是本节的重点， 同时也是难点。、例题解析1不解方程，判断下列方程根的情况例元二次方程的根的判别式学习指导、基本知识点:24ac=0时，有两个相等的实数根;当/=b24ac0时，、重点与难点元二次方程的根的判别式的性质是初中25X+10=0-(1) 2X23X+3=0 (2) 16x8-210=0 (3) (-2)x-5X+32)-1)=0 (k X为常数2kx+4(k2)1)=0 (m(5) 2X为常 数(4m1)x+(m22(6) 4x) +2nx+(n2n+5)=0 (n为常数205)

3、-4X 2X 10=55 0 2) X = (3) / 10=5 (-5)-34(4 -方程有两个不相等实根22- 1)=4k16k+16 1 X 4(k- (4) / =( - 2k) - 4X220 2)-4k+4)=4(k =4(k- 方程有实数根24 X 2 X (m-/(5) = 一(4m1)1)28m+18m+8 =16m22+51)0-=16m-16m+9=4(2m方程有两个不相等22 2n+5) 4X (6) / =(2n)4(n22+32n 16n=4n80 2+32n 12n80 =41762=12(n) 0时方程有两个不相等的实根，解得mv1当mv 1时方程有两个不相等实

4、根程有两个相等实根，方(2).24ac =0/=b 4m+4=0解得m=1当m=1时方程有两个相等实根为-(m-2)bx=x=22i12a2-4(3).方程有实根，24ac0二/=b. 4m+40解得m0时，方程有实数根，反之也成立。当/说明：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由/的不同情况求得。22+3x+2=2x1)m为非负整数，且关于x的方程m(x例3已 知有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。分析， 首先要把方程整理成一般形式， 注意应保证二次项系 数不24ac0等于零。因为已知方程有两个实数根，所以/=b，由此可求出m的取值范围，再由m是非负

5、整数来确定m的值，从而使问题得解。2(2m3)x+(m+2)=0 : (m解：整理原方程，0方程有两个实数根，/m-2=0 2)(m+2)03)- (2m或m=l22=03x当m=0时，原方程为2x1 x=。解这个方程得：x=2,2I223=0。m=1时，原方程为xx当131 解这个方程，得:x=2131131+=。xx=,2I22例4证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次2+bx+c=0总有实数根。方程ax分析：要证明一元二次方程有实数根， 只需证明它的判别式大于或等于零。24ac,又b=a+c,=b证明/a0。22。c) =(a+c)4ac=(a-/ 二20 c)-(a

6、24ac0。=b /2总有实数根。+bx+c=0ax的一元二次方程x关于22+nx+2nx没有实数根，求证:x方程+2xn+1=0例5已知方得一2)X24ac=b2-4(m-25。解得mW且m工212是非负整数。m。m=0程1=0必有两个不相等的实数根。2+2xn+1=0没有实数根，分析：由已知方程x可得到一个关于n2+nx+2n1=0的根的判别式的关系式，再以此为基础2 4( n+1) v 0 , 2即nv 0。x1=0+nx+2n nv 0,2 0, 8n n 0, 2 8n+4 0 n o24(2n1)0/. =n。2+nx+2n1=0必有两个不相等的实数根。方程X22(m的方程(m+2

7、)x1)x+m+1=0有两个不相等已知关于例6X的实数根，并且一次项系数不小于零，试求m的取值范围。分析：由已知条件可知m的取值范围应同时满足:24ac0，= b二次项系数不等于零， /一次项系数不 小于零这三个条件，因而可列出不等式组求解。解：根据已知条件，可得m+2工02-4(m+2)(m+1)0 1)2(m-2(m-1)0解这个不等式组，得:证明方程X24ac0/=b,问题即可得解。2+2Xn+1=0证明：方程x没有实数根，2228n+41)=n，的判别式/=n且4(2n v方程m工2 1 m-5 m0. m工0且/=b m04(4m。/=b4ac =16m5.m 45m且k工0 i 16162+16x+10=0有两个不相等实根，；3)方(B)没有实(C)有两个不相等的实数根可能(D)以上三种情况均有11(A) k-求m1)x的取值范围。3.方程(m210kx+15k+2=0有两个相等的实数根，kx求k的值及方4.方程程的根。22mx+2m+5=0的根的判别式的值是40, (m5.若方程4)x求m的值。2+6=0没有实数根，求k4)x的最小整2x(kx6.元二次方程-数值。2+3x+a=0有整数根，a是非负整数，求方7.已知程x程的整数根。五、答案4;(2) 2,m= ;1. (1)m=021311。k工0且,k；(4) k0.