高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答

1、实用标准文案不等式的基本知识一、解不等式1 、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2bxc 0或 ax 2bxc 0 a0 的解集：设相应的一元二次方程ax 2bx c 0a0 的两根为x1、 x2 且 x1x2 ，b 24ac ，则不等式的解的各种情况如下表：000yax2bxcyax 2bxcyax2bxc二次函数yax2bxc（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bx c0x2 )x1 x2ba0 的根x1 , x2 ( x1无实根2aax2bx c0x xb(a0)的解集x x x1或x x2R2aax2bx c0x2(a0)的解集x x1 x2 、 简单

2、的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1 ）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2 ）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回 ；文档实用标准文案3 ）根据曲线显现f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。23如： x 1 x 1 x 20文档实用标准文案3 、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0 ，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f ( x)f ( x) g ( x) 0;

3、f ( x)f ( x) g ( x) 00g ( x)0g ( x)g ( x) 04 、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式若不等式f xA 在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间D 上 fxf xB 在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间D 上 fxminmaxAB二、线性规划1 、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+ By+ C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax + By+ C=0 某一侧所有点组成的平面区域 .（虚线表示区域不包括边界直线）2 、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+ By+ C=0

4、同一侧的所有点 ( x, y )，把它的坐标（x, y )代入 Ax+ By+ C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y 0)，从 Ax 0+ By0 + C 的正负即可判断 Ax+ By+ C 0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把 原点作为此特殊点）3 、线性规划的有关概念： 线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、 y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数 ：关于 x、y 的一次式 z=a x+b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数文档实用

5、标准文案 线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4 、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1 ）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2 ）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3 ）依据线性目标函数作参照直线ax+b y0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解文档实用标准文案三、基本不等式abab21、若 a,b R,则 a2+ b 2 2 ab ,当且仅当 a=b

6、时取等号 .2、如果 a,b 是正数，那么 abab (当且仅当 ab时取 号 ).2a2变形： 有 :a+b 2ab ； ab b,当且仅当 a=b 时取等号 .23、如果 a,b R+ ,ab=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值 2 P ;S2如果 a,b R+ ,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值.4注：1 ）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”2 ）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4 、常用不等式有：1）a2b2abab2(根据目标不等式

7、左右的运算结构选用) ；2211ab2） a、 b 、 cR， a2b2c2abbc ca （当且仅当 a bc 时，取等号）；3）若 ab0, m0bbm，则a（糖水的浓度问题） 。am文档实用标准文案不等式主要题型讲解一、不等式与不等关系题型一：不等式的性质1 、对于实数 a,b, c 中，给出下列命题： 若 ab,则 ac 2bc 2 ； 若 ac 2bc 2 ,则 ab ； 若 ab 0,则 a 2ab b2 ； 若 a b0,则 11 ；ab 若 ab 0, 则 ba ； 若a b0,则 a b ；ab 若 ca b 0, 则 ab； 若 a b, 11 ，则 a 0, b 0 。c

8、 ac bab其中正确的命题是 _题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2 、设 a2 ， p a1， q2 a 2 4a 2 ，试比较 p, q的大小a23 、比较 1+ log x 3 与 2log x 2( x0且 x1) 的大小4 、 若 a b 1, Plg a lg b , Q1 (lg a lg b), Rlg( a b ) ， 则 P, Q, R 的 大 小 关 系22是.文档实用标准文案二、解不等式题型三：解不等式5 、解不等式： 2x27x 4 04x 24x 1 06 、解不等式 ( x1)( x2) 20。5x7 、解不等式x2 2x 31文档实

9、用标准文案8 、不等式 ax 2bx 120 的解集为 x|-1 x 2 ，则 a =_, b=_9 、关于 x 的不等式 ax b0 的解集为 (1,) ，则关于 x 的不等式 axb0 的解集为x210 、解关于 x 的不等式 ax 2(a1) x10题型四：恒成立问题11 、关于 x 的不等式a x2 + a x +1 0恒成立，则a 的取值范围是 _12 、若不等式 x22mx2m10 对 0x1的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 .文档实用标准文案13 、已知 x19x ym 恒成立的实数 m 的取值范围。0, y 0 且1，求使不等式xy三、基本不等式ab题型五：求最值ab

10、214 、（直接用）求下列函数的值域111 ） y3 x 22 ）y x2 x 2x15 、（配凑项与系数）文档实用标准文案1 ）已知 x51的最大值。，求函数 y 4x 24 x 542 ）当时，求 yx(82x) 的最大值。x27 x 1016 、（耐克函数型）求 y( x 1) 的值域。x 1a注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)x的单调性。x17 、（用耐克函数单调性）求函数yx25 的值域。x24文档实用标准文案18 、（条件不等式）1）若实数满足 ab 2 ，则 3a3b 的最小值是.2）已知 x 0, y191 ，求 x y 的最小值。0

11、，且yxy 23 ）已知 x，y 为正实数，且x 21 ，求 x1 y 2 的最大值 .214 ）已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30 ，求函数yab 的最小值 .题型六：利用基本不等式证明不等式19 、已知 a,b, c 为两两不相等的实数，求证：a 2b 2c2ab bc ca文档实用标准文案20 、正数 a， b， c 满足 a b c1 ，求证： (1 a)(1 b )(1 c)8 abc21 、已知 a、 b、 c1111R ，且 a b c 1。求证：11 8abc文档实用标准文案题型七：均值定理实际应用问题：22 、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2 的

12、三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四、线性规划题型八：目标函数求最值2xy3023 、满足不等式组7 xy80，求目标函数k3xy 的最大值x, y0文档实用标准文案24 、 已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x2(1 a)xa b 1 0 的 两 个 实 根 为 x1 、 x2 , 并 且0 x1 2 , x2 2 则b的取值范围是a1x025 、已知 x, y 满足约束条件： 3x4 y 4 ,则 x2y

13、22x 的最小值是y0文档实用标准文案x2 y3026 、已知变量 x, y满足约束条件x3y30.若目标函数 z axy （其中 a0 ）仅在点y10（ 3 ， 0）处取得最大值，则a 的取值范围为。y，x， y1z x y127、已知实数满足y 2x 1的最小值为，则实数 m 等于，如果目标函数xym题型九：实际问题28 、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10 个，售价不超过350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？文档实用标准文案不等式的基本知识参考答案高

14、中数学必修内容练习- 不等式1、；2、 pq ；30x1或 x432log x 2 ；、当时， 1+ log x431xlog x 3 2log x2 ；当时， 1+43当 x时， 1+ log x 3 2log x 234、 ab1 lg a0,lg b0Q1（ lg alg b)lg alg bp2Rlg( ab )lgab1 lg abQR Q P。225、6、 x | x1 或 x2 ；7、 (1,1)U (2,3)）；8、不等式 ax 2bx120 的解集为 x|-1 x 2 ，则 a =_-6_, b=_6_9、 (,1)(2,) ） .10 、解：当 a0 时，不等式的解集为x

15、x1； 2分1)( x 1) 0 ；当 a0时，原不等式等价于1当 a0时， a(x(x )( x 1) 0aa不等式的解集为x x或1 ； .分61xa当 0a 1时， 1 1x 11； .分8，不等式的解集为xaa11 ，不等式的解集为1x1 ；.10分当 a 1时，xaa当 a 1时，不等式的解为 .分1211 、0x 412 、 m1）213 、 m,16116 值域为 6 ，+ ）14 、解： 1） y 3 x 2 223x 2 22x2x111112）当 x 0 时， y x2x 2 ；当 x0 时，yx=（x）2x = 2xxxxx文档实用标准文案值域为（， 2 2 ， + ）1

16、5 、1）解 Q x5 , 5 4x 0，y 4 x 2155 4 x132 3 144 x5 4 x当且仅当 5 4x11 时，上式等号成立，故当x 1时， ymax1，即 x。5 4x2）当，即 x2 时取等号当 x2 时， yx(82x) 的最大值为 8 。16 、解析一：当, 即时 , y2 （ x1)459 （当且仅当 x1 时取“”号）。x1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t= 1 ，化简原式在分离求最值。xy(t 1)27(t）t25t4t451 +10=ttt当, 即 t =时, y 2 t45 9（当t=2x时取“”号）。即 1t17 、解：令x24t (t2

17、) ，则 yx25x 241t1(t2)x24x24t因 t0, t11，但 t1解得 t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。t1t5因为 yt2,在区间 1,单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故y。t2所以，所求函数的值域为5 ,。218 、（条件不等式）1）解：3a 和3b 都是正数， 3a3ba3ba b2 3236当 3a3b 时等号成立，由a b2 及 3a3b 得 ab1即当 ab 1时， 3a3b 的最小值是 62）解： Q x19x yx19y9x10160, y 0,1，yyx10 6xyxyy9x191 ，可得 x4, y12 时， xy min 16当且仅当x

18、时，上式等号成立，又yyx文档实用标准文案3）解： x1y 2 x1 y 21y 22 2 x222下面将 x，1y 2分别看成两个因式：22x 2 (1y 2y 211y 22) 2x 231y 23222x22即 x 1 y 2 2 x222422430 2b30 2b 2 b 2 30 b4）解：法一： a b 1，ab b 1bb 1由 a 0 得， 0 b 152 t 2 34 t 31161616令 t b+1 ， 1 t 16 ，ab t 2 （tt） 34 t2t 8tt ab 18 y1当且仅当t 4，即 b 3 ，a6 时，等号成立。18法二：由已知得： 30 ab a2 b a 2 b22 ab 30 ab 22 ab令uab则u222u300， 5 2 3 2u ab13 2 ，ab 18 ，y1819 、已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca20 、正数 a， b， c 满足 a b c1，求证： (1 a)(1 b)(1 c)8 abc21 、已知 a、 b、 cR ，且 a bc1。求证：111 1118abc证明 ： Q a 、 b 、 cR ， a b c 1 。111 a b c 2 bc 。 同 理 1 12 ac ，aaaabb112abcc。上述三个不等式两边