高中数学极坐标与全参数方程大题(详解)

1、参数方程极坐标系解答题1已知曲线C：+=1，直线 l ：（ t 为参数）（）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程（）过曲线C上任意一点P 作与 l 夹角为 30°的直线，交l 于点 A，求 |PA| 的最大值与最小值考点 ：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系专题 ：坐标系和参数方程分析：（）联想三角函数的平方关系可取x=2cos 、 y=3sin 得曲线 C的参数方程，直接消掉参数t 得直线 l 的普通方程；（）设曲线C 上任意一点P（2cos ， 3sin ）由点到直线的距离公式得到P 到直线 l 的距离，除以sin30 °进一步得到 |PA| ，化积后由三

2、角函数的范围求得|PA| 的最大值与最小值解答：解：（）对于曲线C：+=1，可令 x=2cos 、 y=3sin ，故曲线 C 的参数方程为，（为参数）对于直线l ：，由得： t=x 2，代入并整理得：2x+y 6=0；（）设曲线C 上任意一点P（2cos ， 3sin ）P 到直线 l 的距离为则，其中为锐角当 sin （ +） =1 时， |PA| 取得最大值，最大值为当 sin （ +） =1 时， |PA| 取得最小值，最小值为点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴

3、重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线 C 的参数方程为：（为参数）（ I ）写出直线 l 的直角坐标方程；（）求曲线 C上的点到直线 l 的距离的最大值考点 ： 参数方程化成普通方程专题 ： 坐标系和参数方程分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线 C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解解答：解：（ 1）直线 l 的极坐标方程为：，（sin cos） = ， x y+1=0（2）根据曲线C 的参数方程为：（为参数）得（ x 2） 2+y2=4，它表示一个以（2， 0）为圆心，以2 为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，曲线 C

4、 上的点到直线l 的距离的最大值= 点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题3已知曲线C1：（ t 为参数）， C2：（为参数）（ 1）化 C1， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C1 上的点 P 对应的参数为t=， Q为 C2 上的动点，求PQ中点 M到直线 C3：（ t 为参数）距离的最小值考点 ： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程专题 ： 计算题；压轴题；转化思想分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1 表示一个圆；曲线C2 表示一个椭圆；（2）把 t 的

5、值代入曲线C1 的参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2 的参数方程设出 Q的坐标， 利用中点坐标公式表示出M的坐标， 利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值解答：（ t 为参数）化为普通方程得： （ x+4）2+（y 3） 2=1，解：（ 1）把曲线 C1：所以此曲线表示的曲线为圆心（4， 3），半径 1 的圆；把 C2：（为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为8，短半轴为3 的椭圆；（2）把 t=代入到曲线C1 的参

6、数方程得：P（ 4， 4），把直线 C3：（ t 为参数）化为普通方程得：x 2y 7=0，设 Q的坐标为 Q（ 8cos， 3sin ），故 M（ 2+4cos， 2+ sin ）所以 M到直线的距离d=，（其中 sin = ， cos = ）从而当 cos =， sin =时， d 取得最小值点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，简求值，是一道综合题灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化4在直角坐标系xOy中，以 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点， P 是

7、圆 C 上不同于A，B 的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求 PAB面积的最大值考点 ：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（）由圆 C 的极坐标方程为，化为 2=，把代入即可得出（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出解答：解：（）由圆C 的极坐标方程为，化为 2=，把代入可得：圆 C 的普通方程为x2+y2 2x+2y=0，即（ x 1） 2+（ y+1）2 =2圆心坐标为（1， 1），圆心极坐标为；（）由直线l 的参数方程（ t 为参数），把

8、 t=x 代入 y= 1+2t 可得直线l 的普通方程：，圆心到直线l 的距离，|AB|=2=，点 P直线AB距离的最大值为，点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）以o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值考点 ：椭圆的参数方程；椭圆的应用专题 ：计算题；压轴题分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到

9、直线距离的最大值和最小值解答：解：将化为普通方程为（4 分）点到直线的距离（6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为（ 10 分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题6在直角坐标系xoy 中，直线 I 的参数方程为（ t 为参数），若以 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=cos （ +）（ 1）求直线 I 被曲线 C所截得的弦长；（ 2）若 M（ x，y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值考点 ：参数方程化成普通方程专题 ：计算题；直线与圆；

10、坐标系和参数方程分析：（1）将曲线 C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值解答：解：（ 1）直线 I 的参数方程为（ t 为参数），消去 t ，可得， 3x+4y+1=0；由于 =cos （ +） =（），222，），半径为 r=，即有 = cos sin ，则有x +y x+y=0，其圆心为（圆心到直线的距离d=，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（为参数） ，则设M（，），则 x+y=sin（），由于R，则x+y的最大值为1点评：本题考

11、查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题7选修 4 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为（）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（）若 Q为 C上的动点，求PQ中点 M到直线 l ：（ t 为参数）距离的最小值考参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程点：专坐标系和参数方程题：分（ 1）利用 x= cos ， y= sin 即可得出；析： （ 2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解解 （ 1）

12、 P 点的极坐标为，答：=3，=点 P的直角坐标把 2=x2+y2， y= sin 代入可得，即曲线 C的直角坐标方程为（ 2）曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的普通方程为x2y 7=0设，则线段PQ的中点那么点 M到直线 l 的距离.，点 M到直线 l 的最小距离为点 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的评： 单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题8在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（为参数）以 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆C的极坐标方程；（）直线l 的极坐标方程是

13、（sin +） =3，射线 OM： =与圆 C 的交点为O， P，与直线l 的交点为 Q，求线段 PQ的长考点 ：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系专题 ：直线与圆分析：（I ）圆 C的参数方程（为参数） 消去参数可得： （x 1） 2+y2=1把 x= cos ， y= sin 代入化简即可得到此圆的极坐标方程（II ）由直线 l 的极坐标方程是（ sin +）=3，射线 OM： = 可得普通方程：直线l，射线 OM分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出解答：解：（ I ）圆 C 的参数方程（为参数） 消去参数可得： （ x 1） 2+y2=1把 x= cos ，

14、y= sin 代入化简得： =2cos，即为此圆的极坐标方程（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是（sin +） =3，射线 OM： = 可得普通方程：直线 l，射线 OM联立，解得，即Q联立，解得或P|PQ|=2点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题9在直角坐标系xoy中，曲线C1 的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为sin（ +） =4（ 1）求曲线C1 的普通方程与曲线（ 2）设 P 为曲线 C1 上的动点，求点C2 的直角坐标方程；

15、P 到 C2 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标考点 ：简单曲线的极坐标方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x= cos 、 y= sin ，把极坐标方程化为直角坐标方程（2）求得椭圆上的点到直线 x+y 8=0 的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的的值，从而求得点P的坐标解答：解：（ 1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线 C1 的普通方程为：由曲线 C2：得：，即 sin + cos =8，所以 x+y 8=0，即曲线 C2 的直角坐标方程为：x+y 8=0（2）由（ 1）

16、知椭圆C1 与直线 C2 无公共点，椭圆上的点到直线 x+y 8=0 的距离为，当时， d 的最小值为，此时点P 的坐标为点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题10已知直线l 的参数方程是（ t 为参数），圆 C 的极坐标方程为=2cos （ +）（）求圆心C的直角坐标；（）由直线l 上的点向圆 C引切线，求切线长的最小值考点 ： 简单曲线的极坐标方程专题 ： 计算题分析：（I ）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos =x， sin =y， 2=x2+y2

17、 ，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可解答：解：（ I ），圆 C 的直角坐标方程为，即，圆心直角坐标为（5 分）（II ）直线 l 的普通方程为，圆心 C 到直线 l 距离是，直线 l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是（ 10 分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化， 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化体会在极坐标系和平面直角1

18、1在直角坐标系xOy 中，以 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（ t 为参数），曲线 C1 的方程为（ 4sin ） =12，定点 A（ 6， 0），点 P 是曲线 C1 上的动点， Q为 AP的中点（ 1）求点 Q的轨迹 C2 的直角坐标方程；（ 2）直线 l 与直线 C2 交于 A， B 两点，若 |AB| 2，求实数 a 的取值范围考点 ： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程专题 ： 坐标系和参数方程分析：（1）首先，将曲线12的直C 化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹 C角坐标方程；（ 2）首先，将直线方程化为

19、普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围解答： 解：（ 1）根据题意，得曲线 C1 的直角坐标方程为： x2 +y2 4y=12，设点 P（ x， y）， Q（ x， y），根据中点坐标公式，得，代入 x2+y2 4y=12，得点 Q的轨迹 C2 的直角坐标方程为： （x 3） 2+（ y1） 2=4，（ 2）直线 l 的普通方程为： y=ax ，根据题意，得，解得实数a 的取值范围为：0， 点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解考查比较综合， 属于中档题，12在直角坐标系xoy中以O为极点，x 轴正半轴为极轴建

20、立坐标系圆C1，直线C2 的极坐标方程分别为=4sin， cos（）=2（）求C1 与 C2 交点的极坐标；（）设 P 为 C1 的圆心， Q为 C1 与 C2 交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（ t R为参数），求 a，b 的值考点 ：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程专题 ：压轴题；直线与圆分析：（I ）先将圆 C1，直线 C2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（ I ）得， P 与 Q点的坐标分别为（0，2），（ 1， 3），从而直线 PQ的直角坐标方程为xy+2=0，由参数方程可得 y= x

21、+1，从而构造关于a， b 的方程组，解得 a，b 的值解答：解：（ I ）圆 C1 ，直线 C2 的直角坐标方程分别为x 2+（ y 2） 2 =4， x+y 4=0，解得或，C1 与 C2 交点的极坐标为（4，）（ 2，）（ II ）由（ I ）得， P 与 Q点的坐标分别为（ 0，2），（ 1， 3），故直线 PQ的直角坐标方程为 x y+2=0，由参数方程可得y=x+1，解得 a= 1， b=2点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题13在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P（4， 2）且倾斜角为的直线；在极坐标系（

22、以坐标原点O为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为 =4cos （）写出直线l 的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求 |PM|+|PN| 的取值范围解答：解：（ I ）直线 l 的参数方程为（ t 为参数）曲线 C 的极坐标方程 =4cos 可化为 2=4 cos 把 x= cos ， y= sin 代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2+y2=4x，即（ x 2）2+y2=4（II ）把直线 l 的参数方程为（ t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin +cos） t+4=0 曲线 C 与直线相交

23、于不同的两点M、 N，2 =16（ sin +cos） 16 0，又 t 1+t 2= 4（ sin +cos）， t 1t 2=4|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t 2 |=4|sin +cos |=，|PM|+|PN|的取值范围是点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题14在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为 =2 （）写出 C的直角坐标方程；（） P 为直线 l 上一动点，当sin P 到圆心C 的距离最小时，求P的直角坐标考点 ：点的极坐

24、标和直角坐标的互化专题 ：坐标系和参数方程分析：（I ）由 C 的极坐标方程为=2sin 化为 2=2，把代入即可得出； （II ）设 P，又 C利用两点之间的距离公式可得 |PC|=，再利用二次函数的性质即可得出解答：解：（ I ）由 C的极坐标方程为 =2sin 2=2，化为 x2+y 2=，配方为=3（II ）设 P，又 C|PC|=2 ，因此当 t=0时， |PC| 取得最小值 2此时 P（ 3， 0）点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知曲线 C1 的极坐标方程为=6cos ，曲线 C2

25、 的极坐标方程为 = （ p R），曲线 C1， C2 相交于 A， B 两点（）把曲线 C1， C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦 AB的长度考点 ： 简单曲线的极坐标方程专题 ： 计算题分析：（）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用222C2 及曲cos =x， sin =y，=x +y ，进行代换即得曲线线 C1 的直角坐标方程（）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3， 0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度解答：解：（）曲线 C2：（ p R）表示直线 y=x，曲线 C1： =6cos ，即 2=6 cos 2222所以 x +y =6x 即（ x3）+

26、y =9（）圆心（3， 0）到直线的距离，r=3 所以弦长AB=弦 AB 的长度点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题16在直角坐标系xOy 中，以 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为sin （ +） =，圆 C 的参数方程为，（为参数，r 0）（）求圆心C的极坐标；（）当 r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3考点 ：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系专题 ：计算题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去可得曲线 C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可（2）由点到直线的距离公式、两角和