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1、三角形的外接圆与内切圆半径的求法江苏省海安县曲塘镇花庄初中(226661)马金全一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知:在ABC中,AB13,BC12,AC5求ABC的外接圆的半径.解:AB13,BC12,AC5,AB2BC2AC2,C90°,AB为ABC的外接圆的直径,ABC的外接圆的半径为.2、一般三角形已知一角和它的对边例2如图,在ABC 中,AB10,C100°,求ABC外接圆O的半径.(用三角函数表示)分析:利用直径构造含已知边AB的直角三角形.解:作直径BD,连结AD.则D180
2、6;C80°,BAD90°BDABC外接圆O的半径为.注:已知两边和其中一边的对角,以及已知两角和一边,都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图,已知,在ABC 中,AB10,A70°,B50°求ABC外接圆O的半径.分析:可转化为的情形解题.解:作直径AD,连结BD.则DC180°CABBAC60°,DBA90°ADABC外接圆O的半径为.已知两边夹一角例4如图,已知,在ABC 中,AC2,BC3,C60°求ABC外接圆O的半径.分析:考虑求出AB,然后转化为的情形解题.解:作直径AD,连结BD.作
3、AEBC,垂足为E.则DBA90°,DC60°,CEAC1,AE,BEBCCE2,ABADABC外接圆O的半径为.已知三边例5如图,已知,在ABC 中,AC13,BC14,AB15求ABC外接圆O的半径.分析:作出直径AD,构造RtABD.只要求出ABC中BC边上的高AE,利用相似三角形就可以求出直径AD.解:作直径AD,连结BD.作AEBC,垂足为E.则DBACEA90°,DCADBACE 设CEx, AC2-CE2AE2AB2-BE2 132-x2152-(14-x)2 x=5,即CE5AE12 AD ABC外接圆O的半径为.二、求三角形的内切圆的半径1、直角
4、三角形例6已知:在ABC 中,C90°,ACb,BCa,ABc求ABC外接圆O的半径.解:可证四边形ODCE为正方形.设O的半径为r,则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r, (a-r)+(b-r)=c, r=,即ABC外接圆O的半径为.2、一般三角形已知三边例7已知:如图,在ABC 中,AC13,BC14,AB15求ABC内切圆O的半径r.分析:考虑先求出ABC的面积,再利用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解:利用例5的方法,或利用海伦公式S(其中s=)可求出SABC84,从而ABr+BCr+ACr=84, r=4已知两边夹一角例8已知:如图,在ABC 中,cotB,AB5,BC6求ABC内切圆O的半径r.分析:考虑先通过解三角形,求出ABC的面积及AC的长,再利用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解:作ABC的高AD.解直角三角形可得AD3,CD2,AC,因为ABr+BCr+ACr=BCAD, 可求得r=已知两角夹一边例9已知:如图,在ABC 中,B60°,C45°,BC6求ABC内切圆O的半径
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