立体几何题型地解题技巧适合总结材料提高用

1、第六讲立体几何新题型的解题技巧考点 1 点到平面的距离例 1（ 2007 年福建卷理） 如图，正三棱柱 A B CA 1 B 1C 1 的所有棱长都为2 ， D 为 CC1中点（）求证： A B 1 平面 A1BD ；AA 1（）求二面角 AA1 D B 的大小；（）求点 C 到平面 A1 B D 的距离CDC1BB 1P例 2.( 2006年湖南卷 ) 如图 , 已知两个正四棱锥-与P ABCDQ- ABCD的高分别为 1 和 2, AB=4.DC( ) 证明 PQ平面 ABCD；MOB( ) 求异面直线 AQ与 PB所成的角；A()求点P到平面的距离 .QADQ考点 2异面直线的距离例 3

2、 已知三棱锥SABC，底面是边长为42 的正三角形，棱SC 的长为 2，且垂直于底面 . E 、 D 分别为 BC 、 AB 的中点，求CD与 SE间的距离 .考点 3直线到平面的距离例 4 如图，在棱长为2 的正方体AC 1 中， G是 AA 1 的中点，求BD到平面 GB 1 D 1 的距离 .D 1C 1O 1A 1B 1HGDCOAB考点 4 异面直线所成的角A例 5（ 2007 年北京卷文）如图，在 R t A O B 中，O A B ，斜边 A B4 R t A O C 可以通过 R t A O B6D以直线 A O 为轴旋转得到， 且二面角 B A OC 的直二面角 D 是 A

3、B 的中点（I ）求证：平面 C O D平面 AOB ；（II ）求异面直线 A O 与 C D 所成角的大小EOBC例 6（ 2006 年广东卷）如图所示， AF、DE分别是 O、 O1 的直径 . AD与两圆所在的平面均垂直， AD8, BC是 O的直径， AB AC6， OE/ AD.( ) 求二面角 B AD F 的大小；( ) 求直线 BD与 EF所成的角 .考点 5直线和平面所成的角例 7. （ 2007 年全国卷理）四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCDAB2，BC22，SASB为平行四边形，侧面SBC底面 ABCD 已知 ABC45 ，S3 （）证明SABC ；（）求直线SD

4、 与平面 S A B 所成角的大小CBDA考点 6二面角例 8（ 2007 年湖南卷文）如图，已知直二面角PQ，APQ ，B，C，CACB ，BAP45，直线 CA 和平面所成的角为30 C（I）证明 BC PQ ；APQ（II ）求二面角BA CP 的大小B例 9 ( 2006年重庆卷 ) 如图，在四棱锥ABCD,DAB为直角， AB CD，AD=CD=2AB,P ABCD中， PA底面E、F 分别为 PC、CD的中点 .（）试证： CD平面 BEF；（）设 PA k·AB, 且二面角 E- BD- C的平面角大于 30 , 求 k 的取值范围 .考点 7利用空间向量求空间距离和角

5、例 10（ 2007 年江苏卷）D 1A1如图，已知 ABCDA1 B1C 1 D 1 是棱长为 3 的正方体，CB 1点 E 在AA1上，点 F 在CC1上，且 AEFC1 1FEM（1）求证： E， B， F ， D1四点共面；DAH（2）若点 G 在 BC 上， BG2CG B，点 M在 BB1上，3GM BF ，垂足为 H ，求证： EM 平面 BCC1B1；（3）用 表示截面 E B F D 1 和侧面 B C C 1 B 1 所成的锐二面角的大小，求tan例 11（ 2006 年全国卷）如图 ,l1、2 是互相垂直的两条异面直线，是它们的公垂线段，点、B在ClMNAl 1 上， C

6、在 l 2 上， AM=MB=MN（I ）证明 ACNB；AMN（II ）若ACB60，求 NB与平面 ABC所成角的余弦值.B考点 8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.例12.如图（ 1），将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器， 当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大 .例 13 . 如图左，在正三角形ABC中， D、 E、F 分别为各边的中点，G、H、I 、J 分别为 AF、AD、BE、DE的中点，将 ABC沿 DE、EF、DF折成三棱锥后，

7、GH与 IJ 所成角的度数为 （）GF(A、B、C)ACHHGJIDEDFIJBE、 90°、 60°、 45°、 0°ABCD例 14. 长方体 ABCDA1B1C1D1 中，D1C1A1B1设对角线 D1B与自 D1 出发的三条棱分别成、 、角求证： cos 2 cos 2 cos 2 1设 DB与自 D 出发的三个面成 、角，求证：11cos 2 cos 2 cos 2 2考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例 15.如图，在三棱柱 ABCA B C 中， AB2a， BC CA AA a，1111A 在底面 ABC上的射影 O在 AC上1

8、A1求 AB与侧面 AC1所成角；若 O恰好是 AC的中点，求此三棱柱的侧面积 .B1OADBA例 16. 等边三角形 ABC的边长为4， M、 N分别为 AB、 AC的MK中点，沿 MN将 AMN折起，使得面 AMN与面 MNCB所成的二面角为 30°，则四棱锥A MNCB的体积为（）BLA、 3B、3C、3D、 3A22例 17. 如图，四棱锥P ABCD中，底面是一个矩形，AB 3， ADNMKC1CNCCLB 1，又 PA AB， PA 4， PAD 60° 求四棱锥的体积；求二面角P BC D的大小 .PHEDCAB例 18 . （ 2006 年全国卷） 已知圆1

9、是半径为R的球O的一个O小圆，且圆 O1 的面积与球O的表面积的比值为2，则线段 OO19与 R的比值为.ORO1rA【专题训练与高考预测】一、选择题1如图，在正三棱柱- 1 11 中，已知=1，D在1 上，ABCABCABBB且 BD=1，若 AD与侧面 AA1CC1 所成的角为，则的值为（）A.3B.4C 1B 1A 1C.arctan10D.arcsin6D442直线 a 与平面成角， a 是平面的斜线， b 是平面CB内与 a 异面的任意直线，则a 与 b 所成的角（）A.B.A最小值，最大值最小值，最大值2C.最小值，无最大值D.无最小值，最大值43在一个 45的二面角的一平面内有一

10、条直线与二面角的棱成45 角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）A.30B.45C.60D.904如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为2，D 1C1BAD60，则对角线A C与侧面 DCCD所成111的角的正弦值为（）A1B11B.3DCA.2223ABD.C.245已知在 ABC 中 ，AB=9， AC=15，点的距离都是 14，那么点 P 到平面BAC120 ，它所在平面外一点P 到ABC 三顶ABC的距离为（）A. 13B. 11C. 9D. 76如图，在棱长为3 的正方体-1111中， 、分别是棱ABCDA B CDM ND 1C1A B 、A D 的中点，则

11、点 B 到平面 AMN的距离是（）N1111A.9B.3A1MB12C.6 5D. 2DA5AB7将QMN60，边长 MN=a 的菱形 MNPQ沿对角线 NQ折成60 的二面角，则 MP与 NQ间的距离等于 ( )A.3aB.3aC.6aD.3a24448二面角l的平面角为，在内，于，=2, 在内，于，120ABlBABCDlDCD=3, BD=1,M是棱 l 上的一个动点，则AM+CM的最小值为 ( )A.25B.2 2C.26D.269空间四点、 、 、D中 , 每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上 ,动点Q在AB C线段 CD上，则P 与 Q的最短距离为 ()A.1 aB.2

12、aC.3 aD.a22210在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A.( 26 ) aB.26C.( 13 ) aD.13aa2211已知长方体 ABCD-AB CD 中， AA=AB=2，若棱 AB上存在点 P，使1PC，则棱 AD11111D P的长的取值范围是()A.0 ,1B.0 ,2C.0, 2D.1 ,212将正方形 ABCD沿对角线 AC折起，使点 D在平面 ABC外，则 DB与平面 ABC所成的角一定不等于（）A.30B.45C.60D.90D1C1二、填空题A1EB11如图，正方体

13、 ABCD-A B CD 的棱长为1，E是 A B的中111111点，则下列四个命题： E到平面 ABC1D1 的距离是 1；DC2AB 直线与平面11 所成角等于45 ；BCABCD 空间四边形1 在正方体六个面内的射影围成ABCD面积最小值为1 ；21arcsin10 BE与 CD所成的角为102如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中， P 是 A1C1D 1C1上的动点，E为上的动点，四边形满PCDABCDA1B1足 _时，体积 V P AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3边长为 1 的等边三角形中 , 沿边高线ADDABCBCEC折起 , 使得折后二面角B- AD-

14、 C为60°, 则点 A到BC的距离为 _, 点 D到平面 ABC的距离AB为 _.4在水平横梁上A、 B 两点处各挂长为50cm的细绳，AM、 BN、 AB的长度为 60cm，在 MN处挂长为 60cm的木条， MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条绕过 O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了_.5多面体上， 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的方体的一个顶点A 在平面内 . 其余顶点在. 如图正的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别是1、 2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7.以上结论正确的为

15、.（写出所有正确结论的编号）O16. 如图，棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔O2（不计小孔直径）1、2、 3 它们分别是所在面的中心. 如果恰当放置容O3OOO器，容器存水的最大容积是 _m3.三、解答题1 在正三棱柱ABC A B C 中，底面边长为a,D 为 BC 为中点， M在 BB 上，且 BM=B M，1111113又 CM AC1;（ 1） 求证： CMC1D;（ 2） 求 AA1的长 .2 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA= 2 ，PA底面 ABCD， E 是 AD的中点， F 在 PC上 .(1) 求 F 在何处时， EF平面 PBC；(2) 在(1) 的条件下， EF 是不是 PC与 AD的公垂线段 . 若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3) 在(1) 的条件下，求直线 BD与平面 BEF所成的角 .3如图，四棱锥S ABCD的底面是边长为1 的正方形， SD垂直于底面ABCD， SB=3 （ 1）求证 BC SC；（ 2）求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小；（ 3）设棱 SA的中点为 M，求异面直线 DM与 SB所成角的大小4在直角梯形ABCD中，D= BAD=90,A