空间几何体的表面积与体积公式大全

1、空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）1、柱体 棱柱h hS侧 c hS全2 S底S侧 圆柱S2、锥体 棱锥： S棱锥侧12 c底 hS全 S底S侧h 圆锥： S圆锥侧12 c底 lS3、台体1 棱台： S棱台侧(c上底c下底 )h2S全S上S侧S下 圆台： S棱台侧1(c上底c下底 ) l24、球体S上S上球：S球 42rh 球冠：略S下S下 球缺：略二、体积1、柱体 棱柱S hh hV 柱 圆柱SS2、锥体 棱锥1hhV 柱3 S h 圆锥ShSlSS3、台体V 台1S上 S下S下 ) 棱台3 h ( S上 圆台122V 圆台3h (r 上r 上 r 下r下 )4、球

2、体 球：V球433 r 球冠：略 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高侧面积计算时使用母线l 计算。三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）S上S上hhlS下S下h 计算；而圆锥、圆台的夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r 的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的2 。3分析：圆柱体积： V 圆柱S h (23r )2r2r圆柱侧面积： S圆

3、柱侧c h2(2r )2r4 r因此：球体体积： V 球234332r3r球体表面积： S球24r通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：V 台1(S上S上 S下S下)3 h证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。延长两侧棱相交于一点 P 。P设台体上底面积为 S上 ，下底面积为 S下高为 h 。DEC易知： PDC PAB ，设 PEh1 ，则 PF h1 h由相似三角形的性质得： CDPEAFBABPF即：S上h1(相似比等于面积比的算术平方根 )S下h1 h整理

4、得： h1S上 hS下S上又因为台体的体积 =大锥体体积小锥体体积V 台1（h） 11(S下S上 )13 S下 h13 S上 h13 h13 S下 h代入： h1S上 h得：V台1S上 h( 下上)1下S下3 S下S上S上S S3 S h即：V台1S下S上 )11(S上S上 S下S下)3 S上 h (3 S下 h3 hV 台1S上 S下S下)3 h (S上4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（n层 ）， n 越大，每一层越近似于圆柱， n时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为r ，则：n每个圆柱的体积 V i Si h =2 rr i n半球的体积等于这些圆柱的体积

5、之和。0 r)22r2rr1(n21 r)2r2rr 2(n22 r)2r2rr 3(n220) 1 (n2r 221) r 11 (n2o22) 1 (nr nr2r 12(n 1r )( n 1) 222nn半球体积为： V 半球V nr222n(r 1r 2.r n )02122r2)n 1= nr n1 (.(.()nn2n222= n2(n1) 01 2n r3.n1 (n1)n(2n1)( n1)( 2n1)=36r3n212n rn6 n(11)(21)r1n6n 3当 n时， 10n(111)(2)1 62)32 r 3V半球r 3 1n 6n r 3 (1球体积为： V 球4

6、33r5、球体表面积公式推导分析：球体可以切割成若干（ n个 ）近似棱锥，当 n时，这些棱锥的高111为球体半径， 底面积为球面面积的n ，则每一个棱锥的体积 V 13n S球 r，则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有：1433n S球 rn 3 r2 S球 4 r1S球no6、正六面体（正方体）与正四面体（ 1）体积关系如图：正方体切下四个三棱锥后，剩下的部分为正四面体设正方体棱长为 a ，3则其体积为： V 正方体 a四个角上切下的每一个三棱锥体积为：V 三棱锥1112133 S h3(2 a ) a6 a中间剩下的正四面体的体积为：2V 正三棱锥3 S h32 ( 2a)sin 60

7、( 2a)( 22a3) 3 a111221332这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体即：131336 a43 aa（2）外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。 （理由：过不共面的四点确定一个球。）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回顾： 两点定线 三点定面 三点定圆 四点定球如图：(a)正方体的体对角线 =球直径(b)正四面体的外接球半径= 3 高4(c)正四面体的棱长 =正方体棱长2(d)正方体体积：正四面体体积=3：1(e)正方体外接球半径与正四面体外接球半径相等（3）正方体的内切球与正四面体的关系（a）正方体内切球直径 =正方体棱长（b）

8、正方体内切球与正四面体的四条棱相切。（c）与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半（d）设正四面体棱长为 a ，则与其棱都相切的球半径为r1有： r11a2224 a7、利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。证明：作如下构造： 在底面半径和高都是r 的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图：r 球1hr 锥 1hR在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半径均为 R ，截面高度均为h ，倒圆锥的截面半径为 r 锥 1，半球截面半径为r 球1，则：挖去圆锥后的组合体的截面为：S122Rr锥 1半球截面面

9、积为： S22r 球1倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易得：r锥1h在半球内，由勾股定理易得：r 球122Rh S122S222RhRh即： S1S2 ，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得： V 1V 2所以半球体积： V 半球1222R23Sh3Sh3Sh3R3 R即，球体体积： V 球234323R3R8、正方体与球（1）正方体的内切球正方体的棱长 aV 正方体3V 球aV正方体：V 球6 :（2）正方体的外接球正方体的体对角线3 aV 球3r33( d )4342V球： V正方体3 : 2球体的直径 d( d )3434133r36a2球体

10、的直径 d332 a（ 3）规律：正方体的内切球与外接球的球心为同一点；正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上；正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：1 :3正四面体内切球与外接球体积之比为：1：3 3正四面体内切球与外接球表面积之比为：1：3正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：3:2：1正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：33:6:正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：3:6:9、正四面体与球（1）正四面体的内切球解题关键：利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥，每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内切

11、球的半径 r。利用体积关系得：112r )1124 （ 32 a sin 603(2 a sin 60 ) h所以： r1，其中 h 为正四面体的高。4 h212由相关计算得： h23)6aa3( a3216 r 4 h12 a44636即：V 球333r3(a)216a12V 正四面体11262332 a sin 603 a12 a：18: 3V 正四机体 V 球（2）正四面体的外接球外接球的半径 =33223 a)4高4a (322= 6 a43V 球434(6 a)3r34638 aV 正四面体1126a2332 a sin 60312 aV 球 :V 正四面体63233 3: 28a

12、:12a（ 3）规律：正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1：3 正四面体内切球与外接球体积之比为： 1：27 正四面体内切球与外接球表面积之比为： 1：9 正四面体外接球半径、 正四面体棱长、内切球半径比为： 3 6 :12： 6 正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为： 27 3 : 18 : 3 正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为： 9 : 6 2 :10、圆柱与球（1）圆柱容球（阿基米德圆柱容球模型）圆柱高 =底面直径 =球的直径球体体积 = 2 圆

13、柱体积3球面面积 =圆柱侧面积（2）球容圆柱球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。设球体半径为 R ，圆柱高为 h ，底面半径为 r22222即： Rh4 r则有： (2R)h(2r )2四、方法总结下面举例说明立体几何的学习方法例：已知正四面体的棱长为a ，求它的内切球和外接球的半径思路：先分析球心的位置。因为正四面体是特殊的四面体，显然内切球与外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂直于每一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下，球心到每个顶点的距离相等。A方法 1：展平分析：（最重要的方

14、法）如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！连接 DO 并延长交平面 ABC 于点 G，连接 G O1连接 D O 并延长交 BC 于点 E，则 A、G、E 三点共线。A1在平面 AED 中，由相似知识可得：E O1EG1O1 DGA2 GO1/ AD且G O1AD GO O DOA1即： AO3 AO13h44GO1BDO13E OO11CAO336 a6 a434O1 O1AO11h16a6a444312V 外接球4DO36338aV 内切球43633OO1216a方法 2：体积分析：（最灵活的方法）如图：设正四面体ABCD 的内切球球心为 O ，连接AO、BO、CO、DO，则正四面体被

15、分成四个完全一样的三棱锥。设内切球半径为r ，正四面体的棱长为 a23 a)2则正面四体的高为：26ah a (332则： 4 个完全一样的三棱锥体积=正四面体体积AOD有： 4112r 1126a3(2 a sin 60 )3(2 a sin 60 )3 r6 a12 V内切球436a33r21644663633V 外接球3(hr )3(3aa)8 a12方法 3：方程分析：（最常见的做法）如图：显然 AO 、DO 是外接球半径， OO1 是内切球半径。在 RtDO O 中，由勾股写得可得以下方程：1222DOOO1DO21其中： DO123 aB32DO DO1 AO1h63a代入方程解得

16、：DO6 a、 OO16a412V 外接球4DO36338aV 内切球43633OO1216aAODO1C方法 4：补形分析（最巧妙的思考）把正四面体补成正方体进行分析。如图：此时，正四面体与正方体有共同的外接球。正四面体的棱长为a ，则正方体棱长为： a2正方体的外接球直径为其体对角线D3 (a )6 a22正四面体的外接球半径为：D6 a24内切球半径为： D16 az2312AV 外接球43633R8a4363BOV 内切球3r216aD方法 5：坐标分析（最意外的解法）y建立如图所示的空间直角坐标系：C则 A（0，0，6 a），B（0，3 ax， ），330（13 a，0），D（1 a

17、，3a ，0），设球心位置为 O（ x ， y ， z ，）a ，C2626由得： OA2222|OA | |OB| |OC| |OD | ROB OCOD即：xy(z22(x1226 a) x ( y3 a) za) ( y6 a) z222223323122= (xa)622( ya)z3解得： xy 0， z6 a，即： r6a， R6a6a6a12123124V 外接球43633R8 a4363V 内切球3r216a主要方法：一、统一思想1、公式的统一对于每个几何形体的面积与体积公式，我们很想找出一个万能公式全部适用于所有形体，但是这只是一个理想状况，实际上不可能，最多只可能适用于一部

18、分而已。即使是这样，也只减小我们对公式的记忆难度，增强学习的灵活性。（1）梯形的面积公式：S1 ( a b) h ，同样适用于三角形、平行四2边形、长方形、正方形、扇形的面积计算。只是在使用时作微调而已。在分析三角形时，上底变为 0；分析长方形、正方形、平行四边形时， 上下底变成一样； 在分析扇形时， 上底变为 0，下底变成弧长，高为半径。（2）台体的侧面积公式： S侧1(c，同样适用于圆柱、 棱柱、2c) h圆锥、棱锥、球的侧面积计算。只是在使用时作微调而已。在分析圆柱、棱柱时，上下底周长变成一样；在分析棱锥时，上底周长变为0；在分析圆锥时，上底周长变为0，斜高变成母线；在分析球体的面积时，上下底都取最大圆的周长，高取直径，即： S球122( 2 r2 r )2r4 r（3）台体的体积公式：V1 (上上下下 )，同样适用于圆3SS SSh柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。只是在使用时作