等差数列地认识与公式运用

1、等差数列的认识与公式运用知识点拨一、等差数列的定义 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起， 每一项都比前一项大(或小 )一个常数 (固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列譬如： 2 、5 、8 、11 、14 、 17 、 20 、 L从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100 、 95 、90 、85 、 80 、 L从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 首项：一个数列的第一项，通常用a1 表示末项：一个数列的最后一项，通常用an 表示，它也可表示数列的第n 项。项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示；和

2、：一个数列的前n 项的和，常用Sn 来表示二、等差数列的相关公式(1) 三个重要的公式 通项公式：递增数列：末项首项(项数1)公差， ana1 （ n1） d递减数列：末项首项( 项数1 )公差， ana1 （ n1） d回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这样一个有用的公式：anam （nm） d ，（nm）page 1 of 15 项数公式：项数(末项首项 )公差 +1由通项公式可以得到：n （ ana1） d1 (若 ana1 ) ； n （ a1an） d1

3、(若 a1an )找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的譬如：找找下面数列的项数：4、7、 10、13 、 L、40、 43、46，分析：配组：(4 、5 、6)、(7 、8、9)、(10 、11 、12) 、(13 、 14、15) 、 L 、 (46 、47 、48) ，注意等差是 3 ，那么每组有3 个数，我们数列中的数都在每组的第1 位，所以46 应在最后一组第1 位， 4 到48 有 484145项，每组 3 个数，所以共45315组，原数列有15 组 当然还可以有其他的配组方法 求和公式：和 =( 首项末项 )项数÷ 2对于这个公式的得到可以从两个方面入

4、手：(思路1)1 2 3L 9899100（）（2）（）（）101 50 5050110099398 L50511444444442444444443共 50个 101(思路 2) 这道题目，还可以这样理解：和= 1234L9899100+和100999897L321即，和倍和101101101101L1011011012(1001)1002101505050(2) 中项定理： 对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数譬如：4812L3236（4 36）9 220 9 1800，题中的等差数列有9 项，中

5、间一项即第5 项的值是 20 ，而和恰等于 209；656361L53 1（1 65）332 33 33 1089，题中的等差数列有33 项，中间一项即第17 项的值是 33 ，而和恰等于3333page 2 of 15例题精讲模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识16101418229812123456124816326498765432 33333333 1 0 1 0 l 0 1 0213456767778224689698100313578789914471013404346310021258111421page 3 of 15【例 4 】 已知一个等差数列第9 项

6、等于 131 ，第 10项等于 137 ，这个数列的第1 项是多少？第19 项是多少？【巩固】一个数列共有13 项，每一项都比它的前一项多7 ，并且末项为125 ，求首项是多少？【巩固】在下面 12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、 16 已经填好，这 12 个数的和为。?16?10?【例 5 】从 1 开始的奇数：1 ，3 ， 5 ， 7 ， 其中第100 个奇数是 _。【例 6 】观察右面的五个数：19 、 37 、 55 、a 、 91 排列的规律，推知a =_ 。page 4 of 15等差数列公式的简单运用【例 7 】2 、 4、 6、 8 、 10

7、、 12 、 L是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320 ，求它们中最小的一个【巩固】 1 、3 、5 、7、 9、11 、 L 是个奇数列，如果其中8 个连续奇数的和是256 ，那么这8 个奇数中最大的数是多少？【巩固】 1 、4 、7、 10 、13 、 这个数列中，有6 个连续数字的和是159 ，那么这 6 个数中最小的是几？【例 8 】在等差数列6 ， 13 ， 20 ， 27 ， 中，从左向右数，第_个数是 1994 【巩固】 5 、8 、11 、14 、17 、20 、L，这个数列有多少项？它的第201 项是多少？ 65 是其中的第几项？【巩固】对于数列4、7、10 、13

8、 、16 、19 ，第10 项是多少？ 49是这个数列的第几项？第100 项与第 50项的差是多少？page 5 of 15【巩固】已知数列 0 、4 、8 、12 、 16 、 20 、 ，它的第43 项是多少？【巩固】聪明的小朋友们，PK 一下吧 3 、 5 、 7 、 9、 11 、13 、15 、 ，这个数列有多少项？它的第102 项是多少？ 0、 4、 8、 12 、16 、 20 、 ，它的第 43 项是多少？已知等差数列 2、 5 、 8 、 11 、 14 ，问 47 是其中第几项？已知等差数列 9、 13 、 17 、 21 、25 、 ，问 93 是其中第几项？【例 9 】

9、如果一个等差数列的第4 项为 21 ，第 6 项为 33 ，求它的第8 项.如果一个等差数列的第3 项为 16 ，第 11 项为 72 ，求它的第6 项.【巩固】已知一个等差数列第8 项等于 50 ，第 15 项等于 71. 请问这个数列的第1 项是多少？【巩固】如果一等差数列的第4 项为 21 ，第 10 项为 57 ，求它的第16 项page 6 of 15等差数列的求和【例 10 】一个等差数列2 ， 4 ，6 ， 8， 10 ， 12 ， 14 ，这个数列各项的和是多少？【巩固】有 20 个数，第 1 个数是 9 ，以后每个数都比前一个数大3这 20 个数相加，和是多少？【巩固】求首项

10、是 13 ，公差是 5 的等差数列的前30 项的和【例 11 】 15 个连续奇数的和是1995 ，其中最大的奇数是多少？【巩固】把 210 拆成 7 个自然数的和，使这7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5 ，那么，第 1 个数与第6 个数分别是多少？【例 12 】小马虎计算1 到 2006这 2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1 。小马虎求和时漏掉的数是。page 7 of 15等差数列找规律找规律计算【例 13 】1 只青蛙 1 张嘴， 2 只眼睛 4 条腿；2 只青蛙 2 张嘴

11、， 4 只眼睛 8 条腿；只青蛙张嘴， 32 只眼睛条腿。【例 14 】如图 2 ，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当 N =5 时，按这种方式摆下去，当 N =5 时，共需要火柴棍根。page 8 of 15【例 15 】观察下面的序号和等式，填括号序号等式11236335715558112477111533LL L L（）（）（） 7983 （）【巩固】有许多等式 :2461353；81012147911134；161820222415171921235 ；那么第 10 个等式的和是_【巩固】观察下列算式：246 2×3，246 12 3×4246 82

12、0 4×5然后计算： 24 6 100 。【例 16 】将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第 1 个图形中有6 个小圈，第 2 个图形中有10个小圈，第3 个图形中有16 个小圈，第 4 个图形中有24 个小圈， ，依此规律，第6 个图形page 9 of 15有个小圈。5202010525【例 17 】观察下列四个算式：=20 ，=10 ，=，=。从中找出规律，写出第五个算1242816式：。规律计数【例 18 】从 1 到 50 这 50 个连续自然数中，去两数相加，使其和大于50 有多少种不同的取法？【巩固】从 1 到 100的 100个数中，每次取出两个不同的自然数相

13、加，使它们的和超过100 有几种不同的取法？【例 19 】有多少组正整数a 、 b 、 c 满足 abc2009page 10 of 15数阵中的等差数列【例 20 】如下图所示的表中有55 个数，那么它们的和等于多少？171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【巩固】下列数阵中有100 个数，它们的和是多少？111213L1920121314L2021131415L2122MMMMMM202122L2829【巩固】下面方阵中所有数的

14、和是多少？1901190219031904L19501902190319041905L19511903190419051906L1952MMMMLM1948194919501951L19971949195019511952L1998【例 21 】把自然数从1 开始，排列成如下的三角阵：第1 列为 1 ；第 2 列为 2， 3， 4；第 3 列为 5， 6 ，7 ，8 ， 9 ， ，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以 1 开头的行”是这个三角阵的对page 11 of 15称轴，如图则在以1开头的行中，第2008个数是多少L5L26L137L48L9 L L【巩固】将自然数按下图的方式排

15、列，求第10 行的第一个数字是几？136101521L2591420L481319L71218L1117L16L【巩固】自然数按一定规律排成下表，问第60 行第 5 个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749. . .【例 22 】把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197 排在第几行的第几个数？13 5 791113151719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49page 12 of 15【巩固】将自然数按下面的形式排列123456789101112131415161718192

16、02122232425LL问：第 10 行最左边的数是几？第10 行所有数的和是多少？【例 1 】 将正整数从 1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中 2 在第 1个拐角处， 3 在第 2 个拐角处，5在第3个拐角处，7在 第 4个拐角处，那么在第 100个拐角处的数是22211098720112161912345181314151617【巩固】一列自然数： 0 ， 1， 2 ， 3 ， ， 2024，第一个数是0 ，从第二个数开始，每一个都比它前一个大 1，最后一个是 2024 现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列， 则 2005在数表中位于第_行第 _列。page 13 of 15【例 2 】下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如A 格应填的数是 1013130，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？【例 3 】如图的数阵是由77个偶数排成的，其中20， 22， 24 ， 36 ， 3